книги из ГПНТБ / Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие]

то

что и требовалось доказать.

В заключение этой оврии теореи мы докажем следующий резуль­

тат, принадлежащий Аткинеону!

Теорема

а.10. Для любого оператора

Нетера В>

существует

такое £ Г > 0 ,

что каждый ограниченный

оператор

Ё»

, удов­

летворяющий

условию

,

также будет

нетеровым

оператором

и его

индекс равен индексу

оператора В

:

K B ' - И В + И ( В - В ) - 1 + К + Щ в -

В),

110.*)

В'И - B l i + . B t f J *

I +

tf +(В -

В Ж

I

то

Если Ц Й - В ' К

столь мала,.что

Й И Н В - В М

операторы

обратимы, следова­

тельно, по теореме

Никольского рператоры

являются

операторами

Нетера.

Более

soro,

они кваэифредгольмовы, а тогда по

второй

теореме

Аткиноона

В -

оператор Нетера. Равенство Х(В')

~ Х ( В )

вытекает из

(10.8) и

{ЮЛ).

(

Теорема

4,10.

Пусть

& а

у В>( ^{Е^ —?

\

»

операторы

Нетера.

Предположим,

что

существует семейство

операторов

зависящее от комплексного, вообще говоря,параметра Д. ,

кото­

рое

удовлетворяет

следующим

требованиям:

a v B O e ) = B o , B t t ' ) = B< .

2 ° .

В плоскости

комплексного

переменного

^

существует

непрерывная

кривая

Р

конечной

длины,

соединяющая

точки .Я

и

такая,

что

вдоль нее выполняется для всякого

наперед

веданно­

го

L уО

неравенство

ц в а ' ) ' В а " ) ! 1 < £ ,

(

И Л )

как

только

3° . Для

всех Л 6

Г оператор

неторов.

При этих условиях в о

и

В / |

имею! один и

тот

же

индекс:

Доказательство. Для каждого^ £

Рсуществуе*

такая

дуга

г-*

W% кривой

Г

, оодвржащая строго внутри оабя точку

Я

, что

для

всех

выполняется равенство irt-d

B D ) - ^ d

В ( Л ) .

Это

заключение

вытекает И8 свойства 2 ° ,

еоли учесть

равенство

B ( ^ ) - B ( ^ ) + B U ) - B ( A )

'

и в

о

о п о л ь

а о

В а 1 ь с я

теоремой

8.10.

Ив системы

дуг

( l i i ! , ^ Я ^ Г

,

воопольвовавшись

леммой,

hi

" И

Гейне-Бореля,

можно выделить

конечное

покрытие \

М Д К Г К _ ; |

Сравнивал

индексы

оператора ВЭДна

оооедних

интервалах,

начи­

ная

о того, которому принадлежит \

, получим

равенство

1п,с1Ь0

В., » что

й требовалось донавать,

Баметйм,

что

Операторы В в и В^

» удовлетворяющие

условиям

теоремы ^ 4

Ю ,

навываютоя £омбтЬпныци. В §

15

будет приведен

при­

мер

приложения

теоремы

4*10.

Полное описание всех допустимых возмущений

иетерова

оператора

дает

ояедующая

Теорема

5+Ю,

Пуоть

-

оператор

нетера и

В ^

{ E - i

* Ej_^

4 ДЛЯ того» чтобы операторА+В был операто­

ром

Нетера,

имеющий Тот

же

индекс,

что й Д

,

Необходимо

я

доста­

точно» чтобы ол был представим £ вида

или

а)

А + В

=

Щ

+

(Ю . 5)

б)

А + &

-

"

М

где

обратимые &ператоры»1^,-Н^- вполне Непрерывные

(вонечноиерние)»

ДОКаёаФвЛвйтао. Достаточность вытекает йе теорем

1.9

и

1.10.

Необходимость!

так

май А 4 В Й А

-

операторы

Нетера,

то

по

-

53 -

Следовательно,

по теореме

Никольского

• W A + & ) = u ; + f t ; ( A + B ) i i = u J L +

5 S ; ,

( I 0 . 6 )

где 1^

^ [ Е< ~> ВД

, UJL^

ЕЦ]~

обратимые операторы, а

£ { Е4 ~^

}

j ^ R . ^ { Е ^ Е ^ -

конечномерные.

А

Применяя к

первому

из

равенств

(IU . 6 )

оператор

слева,

а ко второму - оправа, получим

(1+1С*)СА+

A i X i

,

( 1 0 . 7 )

( A t & ) ( i +

U ' ) - i r t

A + - ^ A .

Иа первого

ооотношения

(10»?)

получаем

первую формулу (10.5).

Иа второго Ооотношения (10,7) следует второе равенатвО

(10.Ь).

Теорема

доказана.

^

Следствие d . Пусть

A

. A

£

{ Е4 " i 1 £ ^

-

операторы

Нетера,

имеющие

одинаковый

индекс*

Тогда

где

имеют тот же смысл», что и выше.

Следствие 2*

Пуоть

Л* t { Е Ё

} ? Л

^ ( Е Е

} -

операторы Нетера.

Тогда

справедлива

формула

'

конечномерные

операторы,

,

-

обратимые

операторы.

Доказательство

вытекает из следствия

i

и того, что Операторы

\

являются

операторами Нетера,

имеющими один

и 'ют же индекс.

( Х> " г л адкий, простой,

замкнутый контур}

Q ( t )

, ECt) -

заданные

функции,

удовлетворяющие условию

( X й ( t ) — ^

( t ) ^ O ) .

В зависимости от коэффициентов Q ( t ) n B ( t )

индекс

К-

опе­

ратора

может быть положительным, нулевым или отрицатель­

ным,

а

Д,-характеристика этого оператора может иметь лишь

три

формы:

1)

{Ъ€ , 0 )

-

в случае } £ > О

,

2)

(О , О)

-

В случае Х = Ф ,

8)

( 0 ? - Н )

~ в олучае Х < О •

Многие вопросы теории сингулярных уравнений с ядром Коши

решавтоя

при помощи

выделения из полного сингулярного оператора

на случай

произвольного

оператора Нетера

В .

Пуоть

ind В

~ # ( - r | i ^ G .

Покажем, что оператор

где

- конечномерный оператор,

а оператор Нетера 13

имеет

(j -. характеристику вида ( 0 } - " > 1 ) .

Воспользуемся конструкцией из

леммы Шмидта

В Х = В Х Г Y. U X )

^

- . ( И . 2 )

Ясно, что индекс

оператора

^

равен

УС

, так как ^>

отличается

от В

на конечномерный оператор. Мы покажем, что

оператор В

н е

имеет других нулей, кроме тривиального. Отсюда

будет следовать,

что его

cl -

характеристика

имеет вид

( О ^ - Х . ) . Таким

обравом,

иа ( I I . 2 ) получим представление (11.1)

'от К = 1

до к

=

$ J3 по числу

функционалов

^ к

. Число

элементов

2 К

равно

^>7/ <А

^следовательно,

влементов % к

хватит для образования

суммы

*^

^ к ( X )

•

Пусть ССо ~ какое-либо

решение уравнения

Е ) Х = 0 . Так

как В Х 0 ^

В

, т о

t j C B X . b O j j ^ V - ' P -

Учитывая

это, положим в (11.2) 1 = З С а

и применим к обеим час­

тям полученного равенства функционалы ц«

. В результате

получим

Ы. •

3

-

Отсюда, ограничиваясь

значениями ^

И учитывая

равенства

£ j C H : K ) c C y

,

получаем

£ к

( Х о ) = О для

К = Н , 8 , .

Это означает, что Х о

является

решением уравнения

5 x ^ 0 ,

т . е . Х о ^ ^ ^ С к Х ^

.

Из равенств

£ к

( Х „ ) -

О

вытекает,

что все

- О

,

т . е . Х 0

-

О

» 4

1 0 и

требо­

валось доказать.

-

58 -

является оператором

Нетера и

^ ( A + J ^ C ) — ^ ( А ^ ) .

Доказательство.

При выполнении условий

([20],

стр. 218-215).

Следовательно,^ по теореме Никольского

он

представим в виде

I +

^ [A

j

С ~^<+T{JM, где

-

обратимый,

a j | J 4 -

вполне

непрерывный

операторы, действ

вующие в проотранотве£.

Легко

убедиться

непосредственной

проверкой, что оператор

Д + ^ С

можно представить в

виде

(ом. § 10,

формула

10.5)

A + ^ C ~ A U [ ,

(" . 5)

-

обратимый

оператор,

a J v » о п р е ­

деляется

равенством

U - T A T { r ^ T A l A - ] " C + A " K ^ .

<«.«

Так

как3{j4 и Т д

вполне

непрерывны, т о * } ^ -

вполне

непрерав­

ный оператор,

следовательно,

по теореме 5.10

из представления

(11.5)

вытекает, что

оператор

Нетера и

^

(Д

jr \^С-*)в$(.(А)«Теорема

t.ll

доказана Е.А.Ивановым.

§ 12.

Односторонняя обратимость характеристических

операторов

Теорема 1.12.

Для того,чтобы оператор

Нетера (3

имел

d,-

характериотик/

вида

О )

,

необходимо

и достаточно,

чтобы

он был обратим

справа.

Доказательство. П^оть у

оператора

Нетера В

есть правый

обратный

оператор

Рассмотрим уравнение

& Х = ^

, . ^ £ г Ё ^

. Решением

этого

уравнения

при любом Ц £ £ «

будет X = В~^

•

следова­

тельно,

^>(В) =0

и

ct~

характеристика

этого

оператора-

будет иметь вид ( К

, 0 )

,

где Х ^ О

и конечно» так как

В

по условию оператор

Нетера,

Таким обравом, мы доказали

достаточ­

ность

уоловий теоремы. Пусть

теперь

В

-

оператор

Нетера

о ,

Ctхарактеристикой вида ( К , О ) ,

ЪСУ/О . 8то означает, что

уравнение

BXs'tJ

разрешимо для воех

"t| £• E"j, * Это решение

можно .записать

в виде

QC =

^

"Ы

Г

(ом. § 3) . Таким образом, для произн)льного ^ £

Ь&

имеет

меото соотношение

(3

^5 ^ ~

1J , т . е . оператор

В» ^

является правым обратным дли В

• В

т и м

Доказана

необходимость

условий

теоремы.

Аналогичное утверждение имеет меото я для операторов о

cLхарактеристикой

вида

(Oy-}t)»

Теорема 2.12. Для того,чтобы

оператор

Нетера

В

вмел

c t -

характериотику

вида ( O j - K ) ,

необходимо

и достаточно,

чтобы

он был обратим

олева.

i

f

Докааатвльотво. Пуоть

BJ-J

е .

В ~ 1

- л

е в ы

й

обратный

оператор

для оператора В

,

. Т^ак как каждый

т . €: тЕ^^Еа.)

ВЗ, В = 1 ,

нуль

оператора

Р

является нулем

оператора

то

уравнение

ВХ^О

имеет

не больше

решений,

чем уравнена

1 х

= 0

. Таким образом,

vi

(В)

-

О'

- .Число ^ ( & )

конечно

в силу

того, что

~ оператор

Нетера. Достаточность

условий

теоремы

доказана. В