книги из ГПНТБ / Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие]

Если

р

- оператор

Нетера

о

с|_- х а р а к т е р и с т и к о й ^ - ^ ) ,

то оператор

[3

отображает [li

взаимно однозначно

на

Fq

+ * * ~

и имеет

на

t

ограниченный

обратный

D

. Отсюда

выте^ -

ет,

что

для всех

. Таким

образом,

2>

будет

левым

обратным

Дли В

• Теорема доказана

полностью.

Свойства односторонне обратимых операторов подробно описаны

(см . [б],

стр.

22-28

й

(Щ)„

§ 13. Эквивалентная регуляризации операторов

Введем

следующие

определений. Левый

регуляризатор

Uj\

на­

зывается

Левым

эквивалентным,еоли

уравнений

R f l B s C

~ R j l ^

эквивалентны,

т . е . кавдое

решение

одного

яв­

ляется в

to

же нремя решение^ другого.

Правый

регуляризатор

RH

Называется

правый

эквивалентным,

если

уравнений

одновременно разреши­

мы или неразрешимы, причем В Нервом олучае

любое решение

уравне­

ния

B& =/tj

• V^^Efc, представимо в виде

X-Rn.'t . Это

означает,

ч№

уравнение

ЦцЬ 3

3 р а з р е ш и м о

для всех !Х*0 £ Ё,,_

так

как

любой

такой

элемент

ЭСа

я'вляетей

решением

уравнения

Таким

образом,

в

случае

правой эквивалентной

регуляризации

ний,

так Kaif

кавдое

решение регулпризованного уравнения

BRn"t= / ^

порождает

решение

X=Rft"b исходного

уравнения

[ Х Х - / Ь | , и

наоборот,

если

-

решение

уравнения

E b X - ' j ,

то "Ь

» найденное

из

уравнения

Rn't

— ОС

, будет

удовлетво­

рять

уравнению В

r\

h Ь — ^j

,

Теорема $ 43 ,

(об эквивалентной

регуляризации).

Если В -

оператор

Нетера,

то его всегда можно

эквивалентно

регуляривоваты олева,

вали К(В) ^ 0^и оправа^

еоли1{(В)'40 >

Доказательство*

Дри К(&)^0

применим к Ё> слева

какой-

либо регуляризатор

Ц.

,так 4

1

0

где

Г)

- вполне

непрерывный

оператор. З а м е т и м т е

1 И я ц ^ 0 »

Воспользовавшись

формулой

( i l . l ) . предоТавйм 14.

в

виде

где

14-

имеет

& - характеристику

-

впол­

не

непрерывный

оператор,

Иэ (L3ii)

Я (18,2)

Получим

,

I I е В

* I + T i ~ T f t .

Оператор

'Т' В

~ вполне

непрерывный и поэтому

Ц " -

левый

регуляризатор

оператора

J3 • А

«ак уравнение

U OS* = О

не

Имени решений}

отличных он H y j i e s b f O j то регуляризация

э к в и о и -

лентнпн.

Edл и

I то Применим К оператору

D

оправа

какой-либо его регулярна мо р

В данном

случает

L H t i

» Опять

будем исходить

из представ-

г д е

имеет

А - характеристику

( - X I B J O )

, г

Г • нпоине

понрершшчи о п е р а т и р ,

?ом

\ )

Имг

B V e

= r + T « . - B > T \

Так как ВТ^

-

вполне

непрерывный оператор, то

"\У

л< Л

регулярнаатор

оператора

В . Уравнение

\Г

Ъ — ОС

разрешимо

при любом ЗС

,

так как

U °

имеет

ot-

характеристику

Х.(В)? сО

.

Следовательно,

по определению,

V

- эквива­

уравнение с оператором, ядро

которого совпадает о ядром

исходно­

го оператора (соответствующие однородные уравнения

имеют

одни и

те же решения). В случав же отрицательного

индекса

(при

правой

эквивалентной, регуляризации)

это не так. А именно,

СХ(В). где 1 Г

-

любой правый равносильный

регуляриватор.

Для. доказательства

вспомним

(ом.доказательство

теоремы о

компо­

зиции операторов Нетера), что число

нулей

оператора

В1Г°

следовательно,

равно

ак как - ^ ( В ^ О и

% 4

(t^L )

1 4 1 0

и

требовалось

доказать.

Следующее утверждение чаото используется на практике при

установлении эквивалентности

уравнений.

Цвима. Пусть

- ограниченный

оператор. Для

того,

чтобы

уравнения

были

эквивалентны

при

любом

овободном члене 1J

,

необходимо и достаточно,

чтобы

оператор

1|

нв имел других нулей,

кроме

тривиального

^

- О .

Доказательство. Начнем с достаточности, любое решение

урав-

• нения

DSC-'tj

удовлетворяет

и уравнению

наоборот, если X

-

решение

уравнения tfBx^lf'U

, т . е .

H ( B i - i j ) = 0 . ™ В х - о ^ О .

Необходимость

докажем так. Пусчь

=

0

. Уравнения

X

— Wllo

по предположению эквивалентны, причем

второе уравнение сводится к однородному

у которо­

го обязательно будет

нулевое

решение X—

О

. Это решение

должно удовлетворять

и исходному

уравнению

В

^ С —

«

откуда

IJ

Q^

O

; следовательно, любой

нуль оператора

IX

является

тривиальным, что и требовалось

установить.

Из доказанного

утверждения

следует,

что в случае

отрицатель­

ного индекса Х"(В)

нельзя

эквивалентным

образом

слева

регу-

ляризовать нетеров

оператор В

• В самом

деле,

индекс

регулярв-

эатора

-~Х(В)

должен быть положительным и у него в соответст­

вии с

замечанием, сделанным

в конце § 11, будет

минимум.

-Х(В)

нулей,

что, согласно

леиме,

исключает равносильность

данного и

регулнризованного

уравнений.

Необходимые и достаточные условия левой эквивалентной

регу­

ляризации содержит следующая теорема С.Г.Мяхлина.

'Георека 2.13. Для того,

чтобы оператор

тан как по условию уравнений

= О

экви­

валентны. Остается доказать, что

0(B)

конечно

и Ж(Ь)

=

Уравнений

эквивалентны

при

любом

» Следовательно, условием необходимым

и достаточным

для

разрешимости уравнений

буду! равенства, обеспе­

чивающие

разрешимость уравнения

Фрвдгольма

где

и у

- решения уравнений

Условий

(13.8) перепишем s виде

Таким обравом^ функционалы

U*9fc j к Х ^ * Ц

•• ••jc <CMt5.)

удовлетворйЮт

уравнений

и условий

(13.4)

являются

необходимыми

й достаточными дли

разрешимости уравнения

В х = ^

Отсюда следует, что 9SK функционалы исчерпывают

ядро оператора

cX(b*)4t<№)<LW.

так как

', т о

теоремы

1.13

об

эквивалентной регуляризации.

Необходимость:

пусть

\У

-

эквивалентный

правый регуляриаатор.

Предположим,

вопреки

точу,

что

требуется

доказать,

что

К С&) = 1^^^? О .

Следовательно,

а это

противоречит

тому,что

уравнение

U С

-

ОС

разрешимо

1 ил любого

X

(= £Г-| ,

Теорема

4,13.

Пусть

В

<с {F^~^

Н"Я|

~

оператор

Метера,

ЪС (В)

О

• Длп того,чтобы

его

правый

регуляри­

эатор IT" бил

эквивалентным

рагулнризатором»

необходимо

и доста­

точно,

чтобы

его

flL-

характеристика

имела

вид (~V(B>) ? 0 ) .

Доказательство. Необходимость: пусть

\Т

-

правый

экви­

валентный

регуляриэатор. Тогда

и

урапиение

V b ^ T C o

должно бить разрешимым при любой

Х о €

H-j

,

следовательно,

Достаточность!

так

как

с{ - характеристика

оператора

имеет

вид

, то уравнение

разрешимо

при

любом

ОС

, т . о .

хг

-

эквивалентный

регуляриаатор.

Теорема

2.13

диет полную характеристику

множества

операторов,

допускающих

левую

эквивалентную регуляризацию;

В случае

гильбер­

това пространства можно дать такую же характеристику

множества

операторов,

допускающих

левую регуляризацию

вообще

(не

обязатель­

но эквивалентную): И.Ц.Гохберг доказал, что для

того,чтобы опера­

тор

допускал левую регуляризацию,

необходимо и дос­

таточно,

чтобы он бил нормально разрешим и имел

конечное число

уже не ииеет места. И.Нието доказал, что

для существования

левого регуляризатора у

оператора

необходимо и

достаточно, чтобы

( В )

было конечным

числом и образ В-

ратора В & { " " ^

правого регуляризатора необходимо и дос­

таточно, чтобы

было конечным числом и ядро В

имело

»

I , 9-12. }и

} . I . j/iet o

(Mathema - tisch e

Ли>га£еиъ; 1968,

Б

178, I,

62-77 ) .

§ ЗЛ. Эквивалентная регуляризация уравнений

До сих пор мы рассматривали эквивалентную

регуляризацию

операторов. Были установлены

неооходиыые

и достаточные

условия

того, что

уравнение

В х ^ Ц

и регуляриаованное уравнение

эквивалентны

для воех Ц

иэ области

значений

оператора

В

. Иожно

поставить вопрос

и по-другому.

Пусть дано

уравнение

В Х - Ц

о фиксированной

правой частью

^

.

Спрашивается, можно

ли так подобрать регуляризатор 1i

, что урав

нение

будет уравнением Фредголъма, эквивалентным

уравнению б х ^ ' ^

? Наибольший интерес, разумеется,

представ­

-

б? -

Теорема d.14. Пусть В)

-

линейный

оператор, действующий

в гильбертовом

проотранотае Н

и

^

,

принадлежит области

определения сопряженного оператора

В*.

Если при этом уравнение

В х = ^

разрешимо,

то оно эквивалентно

уравнению

Доказательство.

Пуоть

; тогда

1оли еще какой-либо

элемент 9С6с

удовлетворяет последнему

уравне-

шт. т . е .

,

то обязательно

т . е . Т[! будет

и решением исходного

уравнения. В самом

деле,

имеем

В * В х = , B * t j , 6 * B X o = B 1 >

отсюда

находим

Умножая обе чаоти этого

равенства окалярно

на

Х ^ — ,

получим

( Х о - х ^ В ( х 0 - 5 с ) ) = 0 ,

отоюда

имеем

( g, ( х в

- Ж ) В

( Х 0 - 5 б ) ) я О»

Следовательно,

В ( Х о — 5 5 . ) а

О

, т . е .

Е Ь ^^ВХо - ^ ,

что и утверждалось.

Заметим далее, что оператор О

является

оператором Нетера,

причем

(В * ) —-VC'('B>) (он,следствие

из второй теоремы Атнив-

сона Б § 7) . Отоюда

вытекает,

ч»о

*В

-

оператор Нетера

М'СВ* В

) ~ 0

. Из последнего

'оооФномевия

заключаем, что В В

$3>

ляризовать

слеза. Пусть

- лешыИ эквивалентный регуляриватор

оператора

- вполне

непрерывный

оператор. Тотда

уравнение

эквивалентно исходному уравнению В ОС = t j ,

Таким обрааом Получаем следующее утверждение

Теорема. 2.14. Если в уравнении В Х —

, где В

-

оператор

Нетера^ удовлетворяющий уОЛовинм теоремы 1.14,

правая

часть

'Ij

принадлежи» облаотй определения сопряженного

оператора

и такова,

что это уравнение разрешимо, то его можно эквивалентно

регуляривовать слева.

§ 15. Примеры линейных операторов

1,

Нуль-оператор определяется равенотвой

Вос^ОЖ,

V x t E j

. очевидно

AlinlceH В - d t m E ^ M oU&)

может быть как конечным,

так и бесконечным в зависимости

от того,

конечномерно

или бесконечномерно Пространство Е^ • Для определе­

ния

Я*ея,

что' уравнение

В Х ^ ^

разрешимо

лишь

n p H l j f t O

. ПОЭтОыу

В ( В ) ж Ш

, если d i m Е \ =•

и

р ( В ) < с ^

,

воли (д 1ж

Ь ^

. Таким образом, при

различных предположениях относительно размерности пространств

1^

и

Ejt

нупь-ОПоратор

может оказаться

кай оператором Нетера,

так й ф ^ . ,

ф *

OrtepatfopbMJ

также

возможен случай,

когда оба

числа о\[Ъ)

й р[$)

бесконечны.

2. Едйнйчвый

оператор B x

^

I X

определен, еслиЕ)— Е^ .

Ясно,

ЧтЬ

t e / l f t - O

При лйбом

выборе пространства

£ц ,

т . е .

с К ( В ) - 0 • Второе

дефектное

Число

«ависит от того,

каково

пространство

. Если

Б ^ —

Е"^

i

ю

j ^ ( B ) - 0

и оператор