книги из ГПНТБ / Рогожин В.С. Теория операторов Нетера [учеб. пособие]

Учитывай биортогональность элементов

•{ ^ к }

функционалам

заключаем,

что

C v n - ^ m ( ^ j )

•

Следовательно,

первое

ив уравнений (4.8) примет вид:

Будем решать

0

ю н

•

^

г

С ^

, тогда

это уравнение в пространстве

Распорядимся

постоянными

Ц_ц

так^чтобы

удовлетворить соотно­

шениям

Cm3 * ^ 0 * 0

р -

,

Таккак

ftf1

(lj -

Qlj )

£ . E T ^

• 3 , "а9

на таких

элементах

функ-

ЦйоналЫ

| ж

йсЧвааюТ|

то

G l h 1

= l )

t r i

( Ш

Итак,

«*..

j

Первое утверждений леммы ||щид|^ донаваИо.

Пустд теперь

£

1~й

i

*ьгдв

^ - к ( ' ^ ) - 0

в формуле

(4.9) Й ?

Ц ^ ^

* Д 6 | § ° е с | &

е*'И* РА В Е Н С 1 В с л в д У е т и

а

определений

пространств[ространотва

t^l i

» а

второе-из

первого и из

определения

проектора1 | [ д

:

с*

Отсюда вытекает

искомое

равенство X

— £->

** t5 Ц ,

что и

завершает доказательство

леммы

Шмидта.

Выводыt I ) Из первой

части

лемыЫ Шмидта

вытекает,

что

т . е . квааифредгольмов

оператор

рпредотавим

в виде суммы

обра­

тимого о п е р а т о р а ^

и конечномерного

(проектора

2 ~^кСЯ)5^к)»

2) Иа второй

части леммы шмидта

следует,

что оп.-.рШр

| £

яяляезу-

ей расширением оператора

р

о пространства

на вое

пространство

Е<|.

В) Оператор Ц>

устанавливает

веаикко

Однозначное О0от»э?отвив

между бааиеом

{ З С к }

н У л В Й оператора

В

'и элементами

- [ ^ w j »

биор**гоиаяьными

дефектным функ«»«шалам

{J^kA

* $ о й

м О

Й

Д е й й »

так как 1L

-

Q l

t *

%L - X t s = P .

Замечание. Роль

Слагаемого

j j "

^ f c ( * ^ ) ^ k

> Ходящего

» такова: если

'Ч

£

fc

•

12,§$*$**ви~

но свести свободный Член уравнения в

ОроЬтранЬтВо

Ь. ^

.

добавляя

к

^

Элемент иа Пространства £ ^ ,

т . е . некоторую

линейную

комбинацию

элементов

5ЕК

i

Коэффициенты

этой

линейной

комбинации,

являющиеся

функционалами,

действующими

на искомый

-

22

элемент

X

» подбираются так,чтобы полученное однородное урав­

нение имело лишь тривиальное решение. Подобные рассуждения часто

применяются при исследовании разрешимости различных функциональ­

ных уравнений.

Теорема

С.М,Никольского. Для того,чтобы оператор

\

~ ^

L t \

был

квавифредгольмовым оператором, необходимо

и

достаточно выполнение одного ив следующих условий:

а) В> — A " l ~ ^ »

Г Д 8

А

имеет ограниченный обратный А »

a

U

- вполне

непрерывный;

б) 13 ^ A i ^ l X ) ,

где

имеет ограниченный обратный А-i

у

-

конечномерный.

Имеем: уравнение

BX

— ^J

эквивалентно

уравнению

,

иными словами,

Но

п \) -~vi

вполне

непрерывный оператор

как

композиция

ограниченного Д

и

вполненепрерывного ЦТ

,

а

для

уравнений

о

вполне-непрерывным

оператором

fj{_ справедлива

теория

Фредголь-

иа.

Теорема { . 5 . Пуоть

В> - нормально разрешимый оператор.

Для того .чтобы

уравнение

BiXss'lJ

было

разрешимо,

необходимо

и достаточно,чтобы для

всех

функционалов

£

,

удовлетворяющих

однородному уравнению

£ )

^ зй 0

, сопряженному

о

уравнением

(1.1), выполнялось соотношение

Доказательство. Необходимойть условий теоремы доказывается

следующим обрааом. Еоли X

является решением

уравнения В ОС * 1J ,

то для любого

£ ^

имеем

^

( В х } 2 1 ^

(^j),

следовательно,

по определению

сопряженного

оператора

^}(x)=£(^j) ^

Отсюда следует,

что для

£

,

удовлетворяющих

уравнению

выполняется соотношение

^C^jJ^O

* 4 1 0

"

Утверждалось .Ф.

линвйно-невавиоимых непрерывных функционалов

Н (B)a |^D(^ f

такое,

что условия

^р<(/Ц\зьО

необходимы и достаточны для .

раарешимооти уравнения

— ^

» Отсюда

выводим, что

указан­

ные функционалы удовлетворяют сопряженному уравнению. В самом

деле,

уравнение

Bx.OEEJ3CC разрешимо При л ю б о м £

,

следовательно,

^ ^ ( В э С б ) = ^ в оилу нетеровости

оператора Ъ

^ К а к

видно из

приведенного доказательства, необходимость усло­

вий

теоремы

справедлива

для любого ограниченного

(не

обяза­

тельно нормально

разрешимого)

оператора

О

-

2*

-

U определения функционалов

. Отовда

Так как Х р

произвольно,

то

f i * 1 ^ = 0 , ч т о и

утверждалооь.

Так

как

по уоловир

£ ( ' ^ | ) - 0

для

любого

t)

, являющегося

решением

уравнения

^

х.

О

j

^о^в

частности,

езо будет

справедливо и для функционалов ^

£ V

(&)

"

£<*('J)-0» а

8*0 обеспечивав® разрешимость

уравнения

B^t^'^j

,что й

требо­

валось докааамь*

Ив оказанного,

в частности,

эытвкае«*Что

в Качества

дефак*-

достаточно^ выполнений условий вида ( I . E ) ,

а именно:

( 5 . 1 ;

для нораальНОЙ рйрйшиности

Выполнение

равенства (5.1) пвяпег-

ей нё iOiibitO Достаточным^ но

й необходимый

условием. Однако

проверять его

Й&йб&ОдЛность

нет Нужды,

так

как пно вы поп мнет­

ся для любого

ограниченного

оператора.

чпя любого функционала

£

,

удовлетворяющего сопряженному

уравнению

й

В ? = 0 .

(5.2)

Пусть уоловие

( 5 > для некоторого

'lj 6

f

^

выполнено, но

i j £ jfhiB. Построим

функционал ^

такой,что

он на взятом

элементе

обращается в £,

а ка

'Зш В

всюду

равен

нулю.

Такой функционал

По теореме

BE

Существует, ибо 'tj

, не

принадлежа замкнутому

множеотиу

В

» находитой

От него на

положительном

расстоянии. ЙтаК^

^ ( В ^ ) ^ О

для

всех Х £ El

• Из' равенства

ц ( В ^ )

= О

пледует, Что

( В * 4 ) ( Х ) = 0 для йоек £

» а вначйт

6 С = 0

,

* . е . £

удовлетворяет

сопряженной?

уравнений. Но Ц (М)-

О

йля всех

функционалов

ц

,

удовлетворяющих

оонрйиейойу

уравнению,

что противоречит

й.оотроенйи

^

t

ш как

i f , ^ ) * *

1 .

Необходимость. Иувшь Ьпера*ор

р

йорийЛьнй

рйвреаия. «окажем,

что ыйОЖейтво-

^ H t f t

3aHRHyiOe» HyttSii

^ f l , ^

тан как уравнения1

В ^ ^ ' У к

^ р ё и й Ш

( 2 t ^ X H ) «

и»

(^к.) = 0

Яяй see* йв|ектйИ*

МЩ№Ш№*

£)к

> Йервходя

к пределу при ilHUSd

Й йййойвёуй

Ш р в Щ Ш В т в фуйнЦйоналЬй ^ г < ,

получий

^ к ( ^ ) с О

i

a 8*0fd

ЛЬо1тй1в^ЙЙ Ш раврёйимости

урав­

нений В х

-

• СлеДЬваФёлШ» 4 |

принадлежит

В

,

а

значит, множество Dm D

зШкйутоё|

Что й трёбЬвалооь

доказать.

§ 6,

Фактор-проотранотва ^yj^g ) ^ ^ / ^ У м В .

Новое

определение индекоа*

Пуоть

и Е ^ -

линейные, не обявательно банаховы npocf

ратор

3

» действующий ив Е ^

в

Е ^ « Ядром

I c e t B оператора

В ,

как и выше,

будем

называть

множеотво

решений

однородного

уравнения

В х = 0 . Очевидно, [ с в т В

- подйроотранство прост­

ранства В

^

.

/

Рассмотрим

фактор-пространство

Е ^ А е т В

» Его

элементами

будут

классы [ х ] ,

состоящие ив элементов простран­

ства

Е4 f сравнимых ло модулую &ВТ В i

Х 4

a X ^ C H i o o L f c e x B ^ ) ,

Это овначает,что

элементы Х ^ б El и

Е^

тогда и только

тогда

принадлежат

одному и тому ае клаооу

(ЭСЗ i

когда

3 ^ ~ X t £

кв/ХВ. Элементы

фактор-проотранотва

кегВ имеют вид

Чналомним.что в пространстве

сходимость не вводилась,

оледователъно,

Е ^ С Е-$

будет подпространством, если

выполнено уоловие.

Х < - к Х д Х ^

д л я произвольных

элементов ЗС^ , Х^ £ - Е^ и

произвольных постоянных величин

и

°^%.* в

олучае банахова пространства при определении

LXl

=

х - Д ' е г В

}

осе

Е4 .

( 6 .i)

Рассмотрим

обраэ

В

оператора

В

, т . е .

множеотво

элементов ^

пространства

Е^ ,

представиыых в

в и д е ^ = 6 ^ .

Отображение

пространства

Е|

на

'Jm

В

,

осуществляемое

опе­

ратором

В

в очевидно,

не

будет

взаимно

однозначно, если

k e t

В

не пуото. Одначо."отягивая"

пространство

по моду­

лю k i t В_»

i.e_.

отождествляя

элементы

втого

пространства,

р а з ­

личающиеся элементами

ядра, мы получим

иаоморфиаы

(взаимно-

одновначное

отображение)

(^актор-пространотва

Ej\ ^ке-Ъ&

и

П Р ° "

отранотва 1 т

В ,

Расоиотрим

подробно

ВТОТ

изоморфизм

в

случае,

когда

В

-

оператор Нетера. Ядро

В

в этом

случае

-

конечномерное

подпрост

ранотво

Е \

•

Элементы

[ X j

фактор-пространства

можно представить

в

виде

[xj= X ffeexB* где ;£ ^_£<*>-°<

^

причем

различным элементам Э С ^ Х ^ ^

£

отвечают

различные

классы

[Х^З

и

С^СгЛ

•

Таким образом устанавливается взаимно­

однозначное

соответствие

S

между

элементами пространств

Е<

«

^ Д е - г В •

т ^ е -

ЕГ*

° <

=

S

(

Ё ^ Д е г В ) .

Учтем,

что оператор

В

(ом. §

8)

устанавливает

изоморфизм

пространств

Eiy/fce^g,

и

E J t - d

i }

/ J m D

» элементами

которого

будут клаосы

^ Через

В обозначено

замыкание

множества

З т В -

чиоло дефектных функционалов

оператора

. Ясно,что

индекс,

понимаемый в новом

омыоДе,оовпадает о индексом,введенным в § I .

Среди операторов о незамкнутым образом следует выделить,

ввиду его важности,

ш.аоо

операторов

о конечной

d-

характерис­

тикой

где,как

и раньше,

sudlwIte/iB »

а

^>(В) определяется

формулой

(6.2),приЧбм

С<($)<

Ь*3 ? ^ ( В ) < °°

Теорема 1,6. Пусть

E ^ E j L =

f

^ В ^ В " ^ }

, еоли

с о

Доказательство. Докажем

оначала»Чтб

множество

j С

функционалов,равных

нули на замыкании

образа

оператораВ>,

совпадает о ядром оператора_}3 < сопряженного о Е> .

Пусть

I f f . ' *

о

,тогда

^ k t t B * i « . « .

и, следовательно, |

(6Х - ) - О для УЗС^Е4ИЯИ

^(ЗтВ)= С К

Учитывая непрерывность функционалй 4- t йойучим

т . е . {.fc

.Пуо.ть

теперь

^t - Q^J^g

«*огда

= О и *8М более

f ( В х > Оя

М

V ± t

Е

.Отовда

эанлйчаем.что

.Итак,

Учтем теперь,что

число

jfHft) =

d l H i

конечно.

Это дает возможность

(см. Б X ) представить

пространство Ь.

в

виде прямой суммы