книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие

- 6 3 -

XjO) x~ Xn(0)-- X„ , Х,(*/:0; Xn(ce)*.0

выраааздйй меру отклонения возмущенного движения объекта,

уравнение которого имеет вид

п

Это достаточно общак формулировка задачи об оптимальиоіі стаби­ лизации дашейпого объекта, которую обычно называет задачей об аналитическом конструировании регулятора. Лсзднее мы рассмот­ рим решение этой задачи.

2, Задача о максимальном быстродеиствп::

•Если в общей постановке задачи об оптимальном управлении

и задача об оптимальном управлении в этом случае може^ быть

требуется найти такое управление Се С , при котором объект из начального фазового состояния х'- •х/о-ііереіідет в другое фиксиро­ ванное состояние JC'-X(TJ за щншлрльйсе гремя,'т.е. функционал

У# примет минимальное значение

-65 -

т. е . будем считать, что энергия управляющего сигнала конечна. Нам надлекит минимизировать функционал (I) при изопериметрическом условии (2), что, как известно, эквивалентно миними­

Оптимизирующий функционал имеет вид:

f(x'+cul;</t

о

Запишем уравнение объекта в виде системы

Имеем общую задачу Лагранаа на условный'экстрему»! п±и.кеголо-

ВОМНЬЕХ свяаях ;

Из последнего уравнения следует

Іюдставлян t:o значение U в уравнение объекта получим сле­ дующую систему вместе с уравнениями Эйлера

X. = *г

*-£-7.'Я,

Я, : Ях, + £ Лг

К---*, +

Имеем 4 уравнения и 4 неизвестны* функции Запишем эту систему в операторной форме

Ьсли раскрыть определитель, то окажется , что он являет­ ся полиномом 4-ой степени. Два его корня Рі к Рг лежат в левой

где U - единственный управляющийпараметр, а оптимизирую­ щий функционал имеет вид

т . е . требуется перенести объект из некоторого начального сос­ тояния в начало координат БАЗОВОГО простракства. Оказывается, что и для этой задачи закон /іегулирования являмся линейным;

йслк объект опи':иваеі-!;й ъщ^ь^еитьлтш• уравнеаие ß - го дорядка, -ю фазовис координата имеат смысл производных

Причина такого результата заключается в выборе оптимизирующе­ го функционала.

сделать его чувствительным к изменению производной от функции управленияІЛ.. \Функционал запишется в виде

о

Веди теперь рассмотреть ту же задачу (для объекта 2-ѵо порядка) то после выкладок совершенно аналогичных предыдущему получим

- 70 -

I . Приведенные примеры и практическое применение теории аналитического конструирования со всей очевидностью убеждают, что выбор оптимизирующего функционала является главным вопросом теории и его слабым местом. В зависимости от выбора оптимизирующего функционала мы получаем различные законы регулирова­ ния, оптимальные с точки зрения выбранного критерия качества. При этом часто оказывается, что полученный оптимальный регу­ лятор все-таки хуже по целому ряду показателей, чем регулятор, полученный обычными методами проектирования, основанными на инженерной интуиции. Причина заключается в том, что применяе­ мое на практике оптимизирующие функционала либо совеем не учи­ тывают, или учитывают очень слабо (неявно) показатели качества регуляторов, по которым производятся их сравнение (перерегу­ лирование, быстродействие, колебательность). Задача состоит s том, чтобы сформулировать такой критерий оптимальности„ кото­ рый бы объективно учитывал основные показатели качества регу-

- 71 -

дарования н в тоже время давал сравнительно простое решение основной задачи. Иайти такой критерий - задача очень трудная. Она яе решена пока, хотя предпринимаются усилия в этом направ­

не;?. Это значит, что теория имеет слабое место, которое в по­

временно действующих убавляющих сигналов. Более естественным было бы ввести в постановку задачи ограничение на управление в виде неравенства

/и/ S Umox.

Бели "решать задачу с учетом такого ограничения при тех же кри­ териях оптимальности, то получим регулятор с нелинейным зако­ ном регулирования.

- 72 -

' i . Другие задачи оптимального управления. іі^цоОразоданае критериев оптимальности.

Возможно много других постановок задач оптимального уп­ равления л зависимости от цели управления и реального смысла зьдачи.

àcm функіѵі налу г-

о

придать с.ѵшсл расхода кьких-либо ресурсов за время управления, го задача будет состоять в определении таких управлений,при которых расход этих ресурсов будет минимальным. Здесь возмож­ ны рьзличньіц варианты. Например, можно требовать, чтобы на­ чальное и конечное состояние объекта, управления были фиксиро­ ваны заранее (например, управление полетом самолета из одного

•чтобы U было максимальным, т . е . была максимальная производителы.'ость за время Т ) .

лсао также, что вршя за которое требуется оптимизация

шінимкзиі/овать расход топлива за фиксированное время, іісли *е время яесущиствешю, ъ требуется обеспечить на;!ьысиул экоко-