книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие

с,л-сг

С/-

Сл

Случай

= £"3

=0 исключается.

Возможны следующие случал

а) СГ

= X;

£i = - I ;

б)

Q = - I ;

Г, = I .

мапишем 2-ое условие

(f-fijrL*.,

--(F-yïfL.,,.*

или

Для обеих случаев 2-ое условие

удовлетворяется,

йгаа,возможны 2 экстремали

(Рис.17)

а)

" ^ * Ci

Из граничных условий найдем Q

к С4

у (4)-.у.(4/

* г

--не,,;

с,--

6

о.

6)

8(o)*#r(o)

-c,-o.

функцию

F*-- F fay. у',

*,z'J+A(x)

H', x,y, г J,

где Л(х) - пока неизвестная функция,

и ищем обычными методами

экстремум функционала

х <

•X,

X,

Всего нам необходимо определить 3 неизвестные

функции LJ, Я и

Л(х->

. Для их определения

имеем как раз три уравнения: два

уравнения

Эйлера для функционала

J

и уравнение .связи

с/

2 )

ь - é % -- Fx - J e & * % -я(Х) - о

3)

Чі*,?,*)'

О .

Из этих трех уравнений и находил искомые функции.

Функция я(х)называется

множителем Лагракжв.

Докажем справедливость

такого приема.

Предположим,

что экстремум функционала ^ / д ] достигается

2 ,

на кривых

і( = у (х)

и г = ? ( * і .

Прибавим к этим кривым вариации

S'y,

и

, отличные от нуля

лишь в малой

окрестности некото-

х

рой ТОЧКИ Я^.

( Хо

<Хе<Х,).

Рис.18

х '

Вычислим вариацию функционала 3

угу(х);

,

.

jv

.при переходе от кривые

Л-Л(х)

к кривым у* à<J ;

%фй%

.

(Рис.18).

Хв

ОС*

Учитывая,

что

вариации

в окрестности

хс

обладают фильгрувщим

свойством

т . е .

(ft/

и Sx равны нулю всюду

за

исключением малой

окрестности

х

- ссс

,

молем написать

Обозначим

х

я.

тогда

'X.

С другой

стороіш, ясно,

что

ітроварьированная

к р и в а я ^ ^ iZ+fa

должна, как и исходная, лежат.но поверхности ffa>y,2j-- О%

поэтому

X,

Je.

- ,

X.

Но в силу фильтрующего свойства вариаций имеем'

Предполагая,

что

*0

,

найдем •

Подставим

это

значение

в выражение для

вариации:

Условием экстремума функционала.

У

является

равенство нулю

вариации

tfJ

,

причем для любого

хс

А

поэтому

ИЛИ

г -

о'х

F

С -

d-

F,

.

_ я

( х

)

»

у .

ЗхЪ'

откуда

t^iixJ^O

а

находим экстремали для функционала J г

ах, Задача

сводится

к решению системы уравнений Эйлера

F*-4-Fu<

~F -

+ Г

Уѵ

'-О

/.. = U-

n

/',

которые вместе с уравнениями связи позволяют кайти

п + к

неизвестных функций Г п.

неизвестных

функций yt- (

і

= 1 , 2 .. n )

и

к неизвестных функций [х)

= I , 2 . . . .

к

)J

2,

Метод остается

справедливым,

если

уравнение

связи со­

задана

в интегральной форме. Оказывается изопериметрическую

задачу

можно свести к общей задаче

Лаграняа. В самом деле,

обозначим

г*'

, ;

,

тогда

fay.y'J

чли

V-fifeWJ-'О.

которая

эавиоит от 3-х неизвестных функций у- , У и Д .

Имеем

2 уравнения

Эйлера

с".

sL

сд - п

F*

äxFf'u

яа 2-го уравнения

следует, что Л - Constt т < е >

ддя изоперимет­

рической задачи

множитель Лагранжа обращается

в постоянное

числа функций.

Для того

чтобы найти необходимое условие экстремума функ­

ционала

X,

/р(х,у„уг

,-$п.

• •

fr)?*

X,

при наличии ивонериметрических

условий

нужно составить вспомогательный

функционал

[ [F fZ^i

Fe

• "где Aj -

постоянные,

АІ ( £• = I , 2

'ri )

из "m" изопернметр$$еских

условий.

Пример; Найти кривуш у

-

заданной длины

t ,

под кото­

1

рой площадь ь пределах от хв

доДѴ достигала

максимума.(Рис,20)

Задача соотоит в

определении

fil.

маконмума функционала.

3'~ {% ^ х

условии

Рис.20

'

.

lfMfF<t*-t.

/—ZT

я І г } г

-

с.

откуда

А

ВЕОДИМ параметр

t

, полагая у ' -

t , тогда у-Г, -~л Cost,

не

- tat

. откуда с/а se/y/-éptt

а

-ÄSintc/t

,

поэтому

= Я Cost -dtъ

x. - %Sînt

* Сг

. Итак уравнение экст

ремалей в параметрической форме имеет вид

Х-Сг •- яЗіпІ

if-

С,

Л

Cost

шш,

исключая

і

, получил:

т . е .

семейство

окружностей.

С,-

и Q

определяются из граничных условии, а Д -

радиус

из изспериметрического

условия.

у -

ХАнонитажйі ВИД УРАВНЕНИЯ Э М Е Р А

Ma знаем, чтс уравнение Эйлера

отвечавшее

функционалу

JftfJ

' JтеF dec

является

Дифферен­

цвальнш уравнением 2-го порядка. Всякое

уравнение 2-го поряд­

ка мокко, и притом различными способами,

свести к

системе

двух уравнений

первого порядка. • .

Бредем новые

переменные

P-~Fr

и

H-~-F + y'P

( І )

Чтобы получить уравнение

(точнее

систему) эквивалентное урав-