книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие
.pdf
|
|
|
- |
16 - |
|
|
|
2» |
F |
не |
зависит от |
ty' |
, т . е . |
F = F |
|
Уравнение |
Эйлера получает |
вид: • |
|
|
|||
т . е . получаем |
алгебраическое |
уравнение, |
а не |
дифференциальное. |
|||
Это уравнение |
не'содержит |
каких-либо постоянных, подлежащих |
|||||
определению из граничных условий, поэтому, вообще говоря, экстремали нет. Решение не существует, функционал называется
выррядешшм. Например, |
минимум функционала / уго/х. |
достигается |
|||||||||||||
на кривой |
у- |
О |
с Если требуется, |
чтобы кривая проходила |
че |
||||||||||
рез конечные точки, то экстремаль не существует в классе не |
|||||||||||||||
прерывных |
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Замечание. |
Тот se |
вывод имеет место |
и для |
функционалов |
||||||||||
линейно эазисящих |
от у' |
, т . е . имеющих вид |
F-FifajffâfcyJy'. |
||||||||||||
В этом |
случае |
уравнение Эйлера выроадается в алгебраическое |
|
||||||||||||
а, |
следовательно,- |
экстремаль, |
в общем случае, не существу |
|
|||||||||||
ет. |
Заметам, что*функционал |
ч этом |
случае |
также |
называется |
|
|||||||||
выровдеяным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
F |
зависит |
лишь от |
у' |
, |
т . е . |
F - FCtf'J |
|
|
|
|
||||
В атом |
случае |
Fy - О |
и уравнение |
Эйлера имеет |
вид |
|
|
||||||||
откуда либо у "s о |
, либо F^y |
- О |
. Вели |
у |
"= О , |
ю у= |
c,x'Q |
||||||||
т.е,. получается |
семейство прямых. Если же /^у,(^'/:Р |
имеет |
|||||||||||||
один или несколько |
вещественных корней tj'- |
KL |
, |
т о у . - ^ я г / с . |
|||||||||||
Таким образом, |
|
в случае F- Р(у') экстремалями являются прямые |
|||||||||||||
ЛЗШШа. |
|
|
|
X, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Например, ££у] |
|
- fvWy'/ofoдлина кривой соединяющей точки |
|
||||||||||||
(х„ |
у.) |
(x,,W/) |
|
Экстремалью |
, очевидно, является |
прямая. |
|
||||||||
- 17 -
Другие частные случаи уравнения Эйлера мы не будем рассмат ривать т.к. они особого интереса не представляют.
Сделаем несколько замечаний.
1. Таіс как каждый сколь-угодно малый яусок экстремали' удовлетворяет уравнению Эйлера, то любая часть экстремали есть тоже экстремаль. Обратное утверждение неверно: кривая, составленная из кусков экстремали, может в целом и не до ставлять 3Jтремума.
2. |
К. развернутого уравнения Эйлера, вытекает форму |
ла для |
и" |
Для невырожденных функционалов F^y 0 , поэтому экстре маль невырожденного функционала всегда является гладкой функцией, имеющей непрерывную вторую производную. Правда, возможны изломы в отдельных точках. Это особые точки.
3.Уравнение Эйлера является лишь необходимым, но не
достаточным условием |
экстремума. Экстремали могуа |
иног |
||
да не доставлять экстремума функционалу, |
подобно |
тому как |
в |
|
|
дифференциальном исчислении |
точ |
||
|
ки, где дифференциал |
обращается |
||
|
в нуль, могут и не бить экстре |
|||
|
мальными, а |
являться, например," |
||
I |
точками перегиба (т . ^«) . (Рис„7) |
|||
х0
Рис.?
5; Условие Деяіандра.
Для того, чтобы |
была экстремалью |
функционала |
|
|
I |
Гоо. гг'б"ччная |
Г |
|
I |
наѵ;:но-.лхгінч .схая |
I . |
3[}f(~)] необходимо, чтобы кроме уравнения Эйлера удовлетво рялось еще одно условие - условие Лекандра. Ото условие, кроме того, поззсляет различать глаксимум и минимум.
Вернемся к выражению приращения функционала.
Ù7УС*, = J^'F(х,и tdJy^'+Afy'Mx |
- } Х 'F(x,y,y'Jctx. |
||||
Обозначим |
у. +ddy. -y(x,J.) |
и у '+<<ty'=gr(x, * J. |
|||
Разложим |
à J •• </(*. j в ряд Тейлора по степеням oL |
||||
|
у a ; , |
d 4 C c i ) |
-J * D |
^ • |
|
A J" |
ЬЫ/ - |
-ТТ. |
|
|
|
«g у fry |
J4 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
где cU/^'o ~ - вариация функционала, точнее, первая вариадиягѵтѵ- -à''3" вторая вариация функционала.
Таким образом, приращение функционала можно записать в виде
Если функционал £ S |
на кривойyfajдостигает |
экстремума, то |
||
cfJtOx при достаточно малом d |
знак л Э совпадает |
со злаком |
||
второй вариации <feJ |
(последующие члены разложения |
имеют более |
||
высокий порядок малости). |
|
|
|
|
Отсюда следует, что если функционал на кривой y(xJ |
достигает |
|||
минимума, то (Р*3&0 ,т,к . всякое отклонение |
от минимума - по |
|||
ложительно. Для максимума необходимо условие |
d£ У £ О , т.к. • |
|||
всякое отклонение от максимума - |
отрицательно. |
|
||
Найдем йырзггкзе |
дхя sä-öSuu вариации cT*J |
. Имеем: |
||
et ѵы; • |
|
|
|
|
|
|
|
- |
19 - |
|
|
Ирис6= 0 вид |
этого |
выражения сохранится, |
т . к . ц(х,0 і ; у •. |
|||
у'[х,о) •• у |
- |
с/Ч |
Х-іц |
' поэтому |
|
|
Но ^ |
н 1 0 Z |
|
|
|||
Рассмотрим |
последний интеграл. Очевидно, |
2 Jy. £у 'cfx = <4(tyj, |
||||
поэтому |
X, |
|
|
X, |
|
|
X.
Такимп образом, выражение для второй вариации получает вид
где обозначено Р* Fyy' и Q * fyy .
Полученное выражение для второй вариации позволяет установить
характер её знака. |
|
|
В этом выражении |
- произвольная функция |
удовлетворяющая |
условию fy(Xc)-fy(x<)- |
О . Мы можем подобрать |
такую функцию, |
ч т о « / б ы л о мало, |
a (fy'J* - велико. Для |
этого'доста |
точно взять малую по абсолютной величине функцию, но быстро
меняющуюся. В атом случае знак ê*3 |
будет практически совпа |
|||
дать со знаком Q." Fyy |
|
|
|
|
Таким образом, мы приходим к следующему условию: |
|
|
||
Для того, чтобы кривая у(х)доставляла |
минимум функционалу |
|||
необходимо выполнение условия |
F^y 2-0 . |
|||
Для максимума функционала необходимо |
условие |
ïyy |
s О |
. |
Это условие называется условием Леаавдра. |
|
|
|
|
Условие Іенандра является необходимым но„вообще говоря, |
не |
|||
достаточным условием минимума шш максимума функционала, |
т . е . |
|||
могут существовать кривые, которые удовлетворяют |
уравнению |
|||
Эйлера и на которых |
F^'y' >0 |
, но эти кривые не доставляют |
|||||||||
минимума функционалу. Рассмотрим тішичный пример. Расстояние |
|||||||||||
между двушш |
точками |
на сфере есть функционал. Его экстремум |
|||||||||
достигается |
на дуге |
большого |
круга, если |
эта дуга меньше полови |
|||||||
ны окружности |
(ABC). Дуга MB не является |
экстремалью, |
но она |
||||||||
удовлетворяет |
уравнению Эйлера и на ней |
F^y |
>0(Рпс. .8). |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Таким образом,уравнение |
Эйлера |
||||
|
Q ^ |
^ д |
|
|
и- условие Лежандра не являются |
||||||
|
|
|
|
|
|
достаточными для достижения |
|||||
|
|
|
|
|
|
минимума или максимума. Усло- |
|||||
|
|
|
/2> |
|
|
вие Лежандра следует понимать |
|||||
|
|
|
|
|
|
так. |
|
|
|
|
|
|
?п°»8 |
|
|
Если |
F^yt »0 |
, то на экстре |
|||||
малях |
(т.вс на кривых удовлетворяющих |
уравнению Эйлера) |
может |
||||||||
достигаться минимум |
(но не обязательно |
будет!); если же |
Fyy<0, |
||||||||
тс на экстремалях возможен максимум (но не |
обязательно!). |
||||||||||
Е-зги Fy-yi - О |
0 то функционал вырожденный. |
|
|
|
|||||||
Пример |
исследовать |
функционал |
|
|
|
|
|
||||
Jzj^ |
['у** 2х |
|
|
я, >û; |
|
acf >0 . |
|
||||
ifiaaeas |
fyy'" |
> ^ |
3 |
интервале {JC„, J?,). |
Таким образом |
||||||
на экстремалях монет достигаться минимум. |
|
|
|
||||||||
II.Обобщения простейшей задачи
I . Фгнкшоналы. зависящие от нескольких неизвестных функций
Пусгь эадак функционал
и граничные условия |
Уі(Х°'' = У1в • УіМ-у^і |
yn(x„J-yno; |
|
|
у< |
--у„ ; у, М-у |
и , • • yn(xj-. упі • |
Требуется найти необходимые условия экстремума. |
|||
Будем варьировать лишь одну функцию у± (х.) |
„ оставляя Другие |
||
функции неизменными, |
тогда |
фуикционал |
,#г> ••• tf-njпрев |
ратится в функционал зависящий лишь от одной варьируемой функ-
3[y,,y,--yn] |
= ny;h |
но условие экстремума такого |
функционала нам известно. |
Функция,реализующая экстремум должна удовлетворять уравнению
Эйлера |
_ с/ с |
п |
|
F% ' ~3х F»c |
'-° |
Так как наше рассуждение 'применимо к любой функции, то полу чим систему уравнений Эйлера ( і = I , 2, , . . . п )
Решение этой-системы дает |
"п " искомых фушщий, каждая из |
|||
которых |
будет содержать две постоянных интегрирования, т.к. |
|||
каждое |
уравнение - второго |
порядка. Постоянные |
находятся из |
|
2п граничных |
условий. |
|
|
|
Пример. |
Найти |
экстремали |
функционала |
|
|
A |
|
і/ЮІ-О І 2(0) |
= о |
Здесь F-. (tffi&'Jf Zyz |
. £. ZZ; Ff'- Z>/\ F£-- Zy ; |
= |
|
Получаем систему |
уравнешй |
Эйлера |
|
S-и"-О |
Исключая одну функцию, напршлер, Z |
, полу- |
|
у г о |
чим у - у |
- О - это линейное уравнение |
|
|
4 - го порядка. * |
|
|
- 22 - |
|
|
Характеристическое уравнение р4= J |
имеет |
корни |
Общее решение: у - с, г + сге + сл Stnx |
+ С/ Cos х ; |
|
M - у " с, <?"*+ Q е ж - G Л"" * - |
Cos X . |
|
Из граничных условий найдем: |
|
|
Экстремалями являются синусоиды:
у. J,V> Ж ; £ - - Sin X .
2.ПРИНЦИП наименьшего действия
Применим предыдущие результаты к следующей задаче механики. Пусть задана некоторая система материальных точек с массами т( р тл .. « т„ . Положение і -ой точки в 3-х мерном прост
ранстве в произвольный момент времени определяется координата-
ын Хі , у,- , |
( 6 = I , 2 . . . |
) . |
|
Предположим,, что система совершает |
движение под действием |
||
потенциальных сил, т . е . существует такая функция |
|||
U (t., |
х - ,yitZi |
) t |
|
которая представляет собой потенциальную функцию или потен циальную анергию системы материальных точек. Компоненты силы, действующей на L -ую точку равны:
Кинетическая энергия всей системы, есть функция скоростей
Составим выражение
L--T-U;
J0SO выражение называется функцией Лагранжа.
іСусть в момент і 0 система находилась в некотором фикси ровавши положении. По каким траекториям будет совершаться
- 23 -
движение в последующие моменты времени? Оказывается дви жение будет происходить по таким кривым, которые доставляют минимум функционалу
J Ldt |
= J |
[г-UJdt |
Поскольку этот интеграл называется в механике действием, тс указанный принцип называется принципом наименьшего действия - Покажем, что этот принцип приводит к обычным уравнениям дви жения системы из п материальных точек.
Если функционал достигает минимума, то долины, согласно предыдущему удовлетворяться уравнения Эйлера
d. £L - о
iL - çLIL |
-о |
Принимая во внимание, что |
z- Ç~ ; ^ - - |
: І^. - _ ^M. |
получим
- % - а ъ * - ° <
Учитывая ( I ) , окончательно найдем
-- XL ; mi^i'~Yi |
: m.zL -- ZL (i -- і.г, - n) |
Это и есть обычние уравнения движения системы из п свобод ных материальных точек, записанные по 2-му закону Ньютона. Принцип наименьшего действия применим не только к задачам механики, но и к системам другой физической природа, т . е . он
- 24 -
является универсальным принципом.
Согласно этому принципу необходимо найти выражение дте кине тической и потенциальной энергии, которой обладает данная фи зическая система и составить функцию Лагранна.
Экстремали интеграла действия дадут уравнения двюеішл систе мы. Рассмотрим, в частности, что дает применение этого прин
ципа к |
простейшей электр;гческой |
цепи, |
состоящей |
из |
L |
и С . |
|||
|
|
|
Предполояим, |
что |
до |
момента |
|||
и(іі |
|
|
t = 3 |
в |
цепи протекал |
токі.(іА |
|||
о |
1 |
1 |
Б момент |
t - 0 |
рубильнюс |
замшга- |
|||
|
Рис.9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ется. В контуре возникает |
переходный |
процесс |
т . е . |
система бу |
|||||
дет совершать свободное движение. Применим принцип наименьше
го действия. В качестве |
координаты удобно |
выбрать |
заряд (ко |
|
личество электричества) |
^ , |
протекающий в |
контуре[<р <fe\ • |
|
Кьшетическая энергия представляет собой энергию, |
запасенную |
|||
в магнитном поле катушки индуктивности |
|
|
||
W« — |
1Г |
• |
|
|
а потенциальная энзргия, в данном случае есть энергия элект
рического поля |
конденсатора. |
|
|
||
/ѵ" |
г |
|
г с |
|
|
s.S. cUf. » у, |
зля |
L / c |
- |
. |
|
Функция Лагранжа равна |
|
|
|
||
а антеграл действия |
|
|
t, |
|
|
Уравнение Эйлера имеет |
вид |
0 |
|
||
|
или |
1%*£ |
= о , L^fe + Uc-O; |
и^ис--о. |
|
Ыч орнходам к закону Кирхгофа для мгновенных значений.
-25 -
3.Функционалы, зависящие от производных более
высоких порядков.
Найдем условие экстремума функционала
яри граничных условиях у(г„} = ув -, у(хе):уоі ...и {*<,)•• у„
|
ум-у, -, |
ую-у',;... |
f-Uj-yi""' |
|
Будем предпс .агать, что функция |
F дифференцируема по всем |
|
||
своим аргументам. Положим у fad)* у t |
> Если подставить |
|
||
в F эту проварьированную функцию, то функционал превратится в |
||||
фуккцшо параметра << , как и в случае простейшей задача» |
зна |
|||
ем, что ggf-U[yfc<t)]/U.0sоЭ-есчь |
первая варкадая функционал |
|||
ла, а условием экстремума является равенство нулю S3 „ Такт |
||||
образом, |
условие |
|
|
|
является |
условием экстремума. |
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
Проинтегрируем 2-ое слагаемое по частям один раз
à 3-е слагаемое - два раза
•XV
и т . д . и учитывая, что пра х*х0 и яѵяѵ,, °у~-й$ |
~ --°У |
получим для вариация Функционала |
|