книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие

x^/if-x,

JCAJ

(

t

=

I ,

2..../? )

I

ДЛЯ щюстот считаем систему стационарной.

Теорема Ляпунова об

устойчивости.

"Веди в области

/V

существует зкакоопределенная

функция .

Y

р производная

которой по времени, взятая в силу

системы I . является знакопостоянной функцией знака.про-

тивополошого

знаку функции

V

или тоздеотвенно

обра­

щается в

нуль,

то

положение

равновесия

будет

устойчиво

в смысле

Ляпунова".

\

х і

зкм доказаны теоремы, которые делает полученные выводы правомер­

ными.. Рассмотрим

их.

Пусть задана система

уравнений

возмущенного двияенші

Возьмем произвольное положи­

тельное

число

£

и

обозначим

через

Се

границу

£ -ок-

V

ресгности.т.е. поверхнгсть ша­

ра

радиуса

£

(при

п

= 2

это просто окрузность). Будем

Рис.24

.

предполагать,

что

£

-ок-

рестность

входит

в

область

N . Пусть

m -

наименьшее

значение ,

которое принимает

функция Ляпунова

в точках

границы

С£ .

Для определенности

будем

считать

V' положительно

определенной

V

в

области

/V' • По этой причине

m > О . Выберем теперь

такое

J" , что

Ѵ</ѵ

в

S -окрестности начала координат. Это

всег­

да

можно сделать,

т.к.

У

непрерывна

и равна

нулю в начале

координат. Пусть

( -х° ,

)

произвольные

начальные

условия

в

(/-окрестности.

Поскольку

в

(/-окрестности

Ѵ<т,

то

-

114

-

РОСТОМ tt ^

V

возрасти не может, т.к. Ѵ<0

, поэтому

при

і > t,

\/ (x,(t

J, xt

(éj, ••• XnCt)I

< m

• « Траектории не могут

выйти

за пределы

£ -окрестности,, Теорема доказана.

Пример

I .

Исследовать на устойчивость точку покоя х

= 0; у = О

системы

л s

tfte/*

/ fcbU)y

at* J

* О

;

С It) S О

-,

у s~k(t)x

+сШу

к>о

В качестве

функции Ляпунова возьмем

V- жг

+

Kij*

dM.;

г х

я

+ гкуу = Zoe (ах*

кЬу)

+ &ку(-ѣх

+су)*

возможно найти анакоопределенную функцию

„ полная про-

изводная которой по времени,

составленная в

силу

этих

уравне­

V"

ний, есть

функция также

знакоопределения,

знака, противо­

положного

с V

, то невозмущенное движение

асимптотичес-

ки устойчиво".

доказательство

сводится

к утверждению 'tum. V(x,,...

x-„)*Q.

•• Откуда следует

Zlm

ce-lé)-О

£ "Йг Â (•3:і,---хп,йІ,-..

ÛnJ'F/зг,.

, ц ,

й т

-

--О

Сравнивая это уравнение с [Ii приходим к следующим

выводам•

1. Функция Беллмана является одновременно функцией .'іяпунова.

2. Метод динамического

программирования позволяет

не

^ л ь -

ко найти оптимальный закон

управления з задаче аналитического

систем", Изд-во "Наука", M.,

1966.

4. О.П.Петров

" Вариационные методы теории оптимального

управления" Изд-во "Энергия",

1965.

ленвя" Изд-во "Наука", М.„ I960.

2.

л'.й.Розоноэр

"Принцип максимума Л.С.Понтрягинз в теории

оптимальных систем 1-П" Автоматика и телеме­

ханика, й

Ï 0 , I I , І95Э.

3,.А.М.Лвтов

"Аналитическое конструирование регуляторов I "

Автоматика я

телемеханика ß 4,

I960.

4.

А.М.Летоь

"Выбор оптимизирующего функционала в проблеме

аналитического конструирования"

Сб.. Оптималь­

ные системы. Статистические, истоды. Труда Ш

Всесоюзного согэщаняя по автоматическому упр-

равкенив. йад-во "Наука", М.,

1967,

5.

Р.Беллмак

"Динамическое • .трограммкроваяие"

йзд-во ИЕО -

странной литературы., М., I960.

6.

'З.л.Зарбавзш

"Введение

в

теорию устойчивости"

Изд-зо

"Наука"г

М.,

1967.

7.

й.Г.ІЙалкик

"Теория устойчивости движения" Изд-во

"Наука",

M.,

1966.