книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие

Рассмотрим

пример из

области

аналитического

конструирования

регуляторов. Пусть объект

описывается

уравнением

2-ѵо порядка

с постоянным

коэффициентом

J±*

*

a,

d±L

+ а„ X

=

KU .

dt

Имеем, следовательно,

систему

( J C » Ä > )

&г

=//

хг

» - с/,

ягѵ

-

а,гсг

* KU

-

/г

В качестве

критерия

оптимальности

примем функционал

с

Требуется найти уравнение

регулятора

ц. /fx,

,xtJ

.

Составляем

уравнение

Беллмана

дифференцируем по

U

откуда

<?s

Подставим s

1-ое уравнение

значение

ц

а,*?*****

'Щ-Ъ-

fa*'****)&ь

- Юч -

где - ^, ,

, jf-It - некоторые

положительные коэффициенты(

подлеяащие

определению,

линейное

у, • вненме

и приравнять коэффициенты при одинаковых

степенях

j

' ,

и

зсг

„ то получим алгебраическую нелинейную

систему для

коэффициентов

^

, s#/t а

. Необходимо ваять поло

лмтелыгое

решение. 'Таким обрезом,

Ц= - — ^Л-

- -

%Г-^Чг&і

- /Се#з3С£г = df

W, -h ОІ. Іі^

-

106

-

Пусть

-х,- s У;

[i J

-

некоторые решения

этой

системы,,

определяемые начальными условиями

•

щ

£..><,/? 3»

Обозначим через Х- -

сг£- (4 J

-

некоторые другие .решения,

соответствующие другим начальным условиям

^(éaj

• -х/ •>

Решения

# it

J

называются устойчивыми в смысле Ляпунова,, если

для любого <£>0 существует такое

o(€j>0

, что из неравенства

следует

нері

іенство

при

t > t0

(

à = ï„

2 . . .

n

)

ся близкими при любых

і > t„

. Мзяно дать следующую геометрнчес-

кую интерпретацию этих

условий при / 7 = 2 :

любое решение

У^У,

начинающееся при t» 4

в

</ -окрестности

точки С А / Р АГ/>

не выйде? зе

аредедн

t~sp

осью которой

слузиг

sefc).iSsa.Vä)

Решение іН)

называется

асамгео-

тически уотойчззш s смысле Ляпу­

нова, еелн оно устойчиво s сішслѳ

•**

Ряс.19

Ляпунова Е если еэдэсгэуея saaoe

•: что

при /sc ft J -

<• h

будем аметь

Это означаете что решения0 отличающиеся з

начальный

аюмент на

величину ^

(вообще говоря,

в некоторой метрияе)} с

течением

времени неограниченЕО сблиааттся. Если условие I вшкмшяеяся

при любых

А . то говорят, что решение

$HJ асимптотически

устойчиво в

дедом.

- 107 -

Введем новую леременнуш

y/JJ

*

- Ч1 (iJ

,

имеющую смысл

отклонения решения ж (4)

от другого

решении

- $

мож­

но понимать sasa отклонение движения системы от

траектории

л? Ci).

Имеем: х. * у?

f,

а также

Получаек „ тажш

образом,,

dt

причем

Г(6. ij

* Н%

iJ-J(%

t)

= о

следовательно, систегш

ямеес

тривиальное решение

у

Ii J'= О

(или

нием Еозадаенного аоля. Даааеше

'перешло а новых

перемещен

в

состояние

равновесия

у'О

новой

системы. Задача

устойчивости

решения у(-е)

перешла в эадачу

устойчивости

нулевого

решения

$»0

-

(Рис.20)

'У*

Рис.20

Решение yfaj*О

наэывается_2£-

тойчавуы в смысле Лядтаоза

( g/éj

-

вектор-функция. Нулевое реше­

нье означав?, чтоy^fé/'O,

С *

=

I , 2 , . . .

п

) ,

если для

любого

нодожаяельвого .числа

â

найдется

такое

JL>û

, что из

неравен­

ства /у.

fa)j'

< <f, ( I

= I , 2 , . . . n )

следует

неравенства

jy. (t) I

< £

при

t>tt,„

Если же всякое

решение, для которого /^- (і»)/

<

h

удовлетворя­

ет условию £іт

jy- (ijJ

'О

,

то

нулевое решение называется

дом рещения задач

на устойчивость. Познакомимся с его основами.

2.

Функции

Ляпунова.

Рассмотрим фушщию V ( л°г

, <гг „.,

х„

)

непрерывную в

некоторой

области

Л/

фазового

пространсыа,

включающей на­

чало координат. Будем предполагать также, что

V обладает

в области

А/

непрерывными

частными производными.

Назовем функцию

положительно-одредеденной.

води всвду

в

области

N

имеемV\/>0 ,

причем

(0„ 0 , . . .

0)

= 0. Бели

ле

Ѵ<іО , то она отрицательно

определена. В обеих

случаях

функция

V

называется

знакоопредеденной. В первом'' случае

может

быть

названа

знакоположительной.

а

во-втором

-

знакоотрицательно£.

У

Если в

области

А/

функция может принимаг.-> как

положительные

так и отрицательные значения, то

она называется

знакопеременной.

-

109

-

£агошер

фушсция

\/= х.г-f

-

х^

будет знакопеременной, а

фзгакгаш

У*

^ a ^ V

J /

определенно положительна в фазовом

пространстве

xt , JS^f се^

•

В качестве функции

\/ ( X i , ос.t..,

я„ } удобно брать

квадратичную

форм?

л

/, *» f

Матрица А -

симметрична, поэтому,

согласно критерию

Сильвестера

представляет

сложную задачу.

В дальнейшем мы будем изучать

поведение квадратичной формы

\//х^,хгі...

я„)вдоль

траекторий

рассматриваемой системы. В

этом

случае

V /л*,, я",,..'. хп)

называют функцией Ляпунова.

ПОЛОЕИМ

.

х>,

••• X„J* .

С,-

где

С -

постоянное число и рассмотрим поверхности уровня,

определяемые

этим уравнением при различных

С

. Относительно

вгкг поверхностей имеет место следующая теорема:

"Если функция"

V (JCt ••• XnJзнакоопределева,,

то существует

такое

положителт-яре число

А

. что

все

поверхности

уровня

Ѵ/аг°ѵ •-•

С

о£Ш/с/<'/>

'

являются

замкнутыми

отно­

сительно начала координат фазового пространства".

Правде дадим определение:

Поверхность К» <Гназывается замкнутой относительно начала

координат

О ,

если на любой непрерывной линии, соединяю-

цей точяу О

с

точкой

границы области

л/

имеется по

край­

не! мере

одна

точка, і

которой V-

С.

t~ù

наша система находилась в состоянии

X,"

и

х°

. Из

<хГ,Хг'/

начального

состояния,

в случае

устойчивости, система

по некото­

рой траектории с течением времени

стремилась бы з начало координат.

Возьмем произвольную

точку

на

с

'

траектории,

соответствующую момен-

Рис.22

ту времени

і"0

(точка

"а"),

іівадраг se расстояния до начала координат будет равен

Очевздно0

если точка "а™ с

течением времени

будет

перемещаться

so некоторой сраехториИо монотонно стремясь к началу координат,

тс её раостоявне до начала

координат (или квадрат

расстояния),

вЕссаатгазаемое как йункцкя зоемеяи будет люнотоыно убывать

стремясь

а нулю, .лссдедаее

означает, что 1Ф!<0- ^ г

. (Рис.23)

йсли не

é£^L>o

,

то

точке, "а" удаляется от начала

координат ж ?очка покоя неустой­

чива. Это вывод остается

спра­

ведливым для

n >

Z .

Таким образом,

знак производной

30.23

по зре?леаи от

расстояния

точки

рые по некоторым

своим свойствам похош на свойства расстояния.

Задача

сводится .таким образом,

к анализу

знака производной

пс

,, і "

функции

Ляпунова

V (

зі^ ... ссп

) „ вычисленной э

силу

заданной системы

уравнений, т . е . на фазовой траектории.. Итак,

в общем случае

согласно

основной идеи метода Ляпунова мы мокем;

ХІ

*}І(Х,,...

х„

, і

)

(

t

-

I , 2 , . . .

«

)

Требуется исследовать

точку

покоя

(^с;

= 0 ) на устойчивость.

Составит/! полную производную по времени от функции Ляпунова

V

(

X*

, ...

-х„

t

t

)

в

силу

заданной

системы:

Л

Эі

ft

ЭХІ

eft

?t

&

Ж

s*

1

У

Если

^ ) "

О

,

m

\f{£)убывает

и фазовая

точка (,я{,хв

...

хп)

с течением времени

стрештся

к началу координатНулевое

решение

- устойчиво. Если же !

щ >

0

,

то

'возрастает.

Фазовая

точка

( л,

,

ocz

,..,

se„ )

с течением

времени

удаляется

от

еоч-

ки покоя (начала координат).

Мы предполагаем, что

функция Ляпунова

У

{

хл

. „. х„ r

і

)

я в ­

ляется

положительно

определенной. Заметим

также, что

е с ж

рас ­

сматриваемая

система

является стационарной, т . е . в правых час-

гях время

„ г

явно

отсутствует,

то полная производная

будет

равна

в

силу

системы: