книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие

- 73 -.

мичность полета мевду двумя пунктами, то время Г Ht должно быть фиксировано заранее.

Рассмотрим такую задачу. Требуется выбрать управление it [і ! так, чтобы за данное время Т управляемый объект перешел из начального состояния Х° в такое состояние, что одна из фазо­ вых переменных, например, Х,(і] в момент t- Г (т . е . Х,(ТІ) приняла бы максимально возможное, a другие координаты фикси­ рованное значение. Такая задача возникает в теории космичес-

. кого управляемого полета. При расчете закона управления раке­ той, выводящей искусственный спутник земли на заданную орби­ ту, требуется , чтобы на заданной высоте в заданный момент вре­

шении оказываются тесно связанными мевду собой и треб; ..' ана­ логичных методов исследования. Более того, одни из них могут быть сведены к другим. В частности отметим, что в этом смысле наиболее общей задачей оптимального управления оказывается задача об оптимизации фазовой координаты. Действительно, рас­ смотрим вадачу с интегральным критерием оптимальности:

а задача определения экстремума интеграла сводится к задаче

Задача об оптимизации некоторой функции от конечного значения координат

также монет быть сведена к задаче об оптимизации конечного зна­ чения одной координаты, если функция Ф - дифференцируема. С этой целью введем новую координату

Возьмем производную по с

то задача сводится к оптимизации конечного значения координаты

ничением типа неравенств на конечное значение новой координа­ ты, зс (Tj <• Л . Для этого достаточно добавить к систе-

- 75 -

ме ещё одно уравнение

= Fix,,--- ССп ; U,, • Um ; І J

Наконец, задача о максимальном быстродействии также являет­ ся частным случаен; задачи о минимизации одной координаты, действительно, присоединяя к.системе уравнение

управление не накладывать никаких ограничений, т . е . областью допустимых управлений считать все пространство, то задача об оптимизации одной координсты в принципе может быть решена методами классического вариационного исчисления. Искомое управление в этом случае получается в виде непрерывной и глад­ кой функции времени как решение уравнений оіілсрь. і- .летим, что задачи оптимального управлеішя с отсутствием ограничений на управление называются задачами с открытой областью управ­

то область допустимых управлений оказывается замкнутой т . е . вкдичае':' в с сон не .'о.;ъки вкутргьже точки, но JJ іу»нпци

дова пространства может находиться как внутри области, так и

щественные коррективы в характер изменения управляющих пара­ метров. Окѳз' іается, как правило, управляющие параметры s про­ цессе управл =іия большую часть времени находятся на границахобласти управления, причем переход с одной границы на другую осуществляется мгновенно, т . е . управление как функция времени оказывается кусочно-непрерывной.. Кусочно-непрерывные управле­ ния в принципе не могут быть получены аз классических уравнении Эйлера, которые в этом классе функций просто не существуют. Таким образом, задачи с замкнутой областью управления не мо- • гут , вообще говоря, решаться методами крассического вариаци­ онного исчисления. А поскольку реальные задачи управления всег­ да, как правило содержат ограничения, то и получается , что реальные т . е . наиболее важные задачи оптимального управления не могут быть решены методами классического вариационного ис­ числения. Потребовался поиск новых неклаесических неводов оп­ тимизации. Наиболее важное значение имеют два метода: привдиѳ максимума Понтрягина и метод динамического программирования Беллм>ліа.

го управления сводится к задаче об оптимизации одной коорди- ЙЭТЫП Нам удобней, однако, рассмотреть несколько более общую задачу об оптимизации линейной функции конечных значений всех координат т . е . величины

5 = {с, ж (г))

т. е . как проекцию вектора х(Т) на вектор С . Требование максимума (или минимума) величины S означает,

таким образом, что мы стремимся перевести систему как можно "дальше" в направлении вектора С (или же как можно"дальше" э азиравлании веатора - С ) „ В самой общем случае', на конечное фазоЕое состояние объекта

лТовс на зодохензе конечной точки фазовой траектории в прост­ ранстве) могут быть наложены различные ограничения. Эти огра­ ничения могут быть сформулированы как требование перевода объекта из начального фиксированного состояния на некоторое

Из множества допустимых управлений найти таксе управ­ ление U(tJ, которое бы переводило объект &І ТОЧКИ ЗС(%>)*& на 4ліксироь& . юе замкнутое множество фазового пространства к притом так, гобьі функционал

лучаются совершенно аналогичные результаты. Ш. рассмотрим част­ ный случай нашей основной задачи, а именно, будем считать, что ка положение конечной точки фазовой траектории не наложе­ но никаких ограничений, т . е . правый конец траекторий -^зооодвн

Рис .14

- 80 -

г

Итак мы получили решение ѵюшей задачи в виде дьух систем уравнений

Зашгаем пергую систему, как систему уравнений Эйлера, з каяо-

- Ol -

//=- -ІЯІЪ + l * J T * ICjXj+ІЛ: xj -->Äl fi

m)

Мы получили эти уравнения на основе правил классического ва­ риационного исчисления икавадось бы, не имеем здесь никакой новой шфдрыаадш. Однако эвд не так. Обратим внимание на груп­ пу последних условий а,, ,

&ущ частная производная от некоторой функции по какой-то пе­ ременной обращается в нуль, то это значит, что при некоторой аначении этой переменной функция либо имеет экстремум (/7?і/і или !Т)ах), либо точку перегиба с горизонтальным участком. Пока­ жем, что рассматриваемые условия есть условия экстремума функ-

- 82 -

ции Гамильтона по переменным U1r Ui ,... Up> , т . е . го управлщощнм параметрам. Вернемся к нашей задаче. Запишем • уравнения, объекта более компактно

некоторое заранее не фиксированное конечное состояние аа фикси­

которые принадлежат некоторой области допустимых управлений. Предположим, что мы нашли оптимальное управление U ' , кото­

тогда движение объекта будет происходить п. другой траектории отличающейся о? оптимальной "is-величину (функцию) $х , т . е . x + &х , но, очевидно,

dÉj *S'xi - ft-(x +Jx , Ü+ Л/, é J (i - 1,2...П ) ,