книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие

зом,

3 связанных

между собой величины х ,

1? ,

F .

(Рис.І)

Величина х

,

,

характеризую-

р

5

щие состояние

автомобиля,

назы-

*"

*

ваются дшрв.ыми

координатами,

а

величину F

называют

управляю-

Рис.І

щим параметром.

Если рассматривать движение автомобиля на

плоскости, а не по

прямой, то фазовых координат будет 4 (две "географических"

координаты X ,

у,

и две

компоненты

скорости х

z z£.

и у -

).

Управляющих параметра

будет 2

(сила

тяги

F

и угол

поворота

руля ві

).

У летящего

самолета

фазовых координат

будет 6

( х ,

у.

,

X

, 2£

,

2£

,

) и несколько управляющих параметров

(сила тяги, положение руля высоты, направления).

Рассмотренные

примеры

позволяют сделать

следующее

обобщение.

Состояние объекта задается в каждый момент времени

П величина

ми х<,

хг

,

хп

,

которые называются

фазовыми координатами

объекта,

движение

объекта

заключается в том

Со математической •

- 51

-

точки зрения)0 что его состояние

о течением времени меняется

ave.

ssf

, sCg „ . . о

jr ß язляются

переменными величинами

(функциями

jap-екбзи). Движение объекта щюиоходит не самопроизвольно, им

моаао заправлять0 для этого объект' снабжен своеобразными

"руля­

ми", аоложение которых в жаждав момент времени характеризуется

m

зеякчжкамк U, ., i/s

, , 3

Um ,

называемыми управляющими

HajgbfôTgaMB.

"рулями" можно

"манипулировать" т . е . по своему

дейазию менять £s допустишк

пределах) управляющие параметры

ц

г

£ / s

о , »

другими словами, по своему желанию

зиСнрагд

фуккцшіі

,

Us(éj

.Un/éJ.

Естественно,

выб­

рав

уЕравлишзде фунац&да s

зная состояние

объекта в начальный

жасеяг зраменЕ

£0

„ ш можем однозначно раечитать

поведе­

ние

oöseasa для всех

i

,

î , e . можем кайти

«

,

- о .

Яп{&)° Щ>й.ътегяя?. объект,

о котором идет речь

обычно

изо­

бражают так, как это показано

на чертеже (Рис. 2 ) . .Иногда,

управляющие параметра

С/,

...и^

аазнвают

входными величинами,

а фазовые координаты

xf

..« осп -

Рис .2

-

выходнымио Удобно управляющие па-

pajässpK

&t

« о .

и,?? раосмаярввать как координаты

некоторого

вектора

(зектор-ёснкшк)

Us

(UvcUg,-.. Um)

•

U(éJ

который шанзав»

gspaBjgHHeMo

Точно также величины

...

зс„

удобно рассматривать

как координаты

/7 -мерного вектора

(век-

X

я х(і/«

(х,,

xs,

...

Я л / ,

т . е . жак точку

л

-мерного

пространства

с координатами

г хг

.. о .iÇ, „ Эту точку

обычно называют

фазовым состоянием

объекта,

а

о -мерное

эвклидово

пространство, з котором в виде

точек

В частном случае,

когда фазовое состояние

объекта определяется

только

.двумя фазовыми координа­

тами, будем иметь фазовую плос­

кость. Изменение фазовых коорди­

нат во времени определяет некото-

о

рую линию, которую прочертит зѳк-

Рнс.з

тор своим концом при изменении

его координат. Эта линия называется базовой граектор,?:-... При

/7 = 2 это плоская кривая, которую легко построить. Точка

x(t,J-

•яг, есть

начальное фазовое состояние. В векторных

обозначе­

ниях,

которые мы ввели,

объект

может

быть условно

изображен бо­

лее просто

Рис.

4

. Связь меж-

I

ду вектором

управления.

и фа­

зовым вектором как

правило

виража-

1

р с 4

ется в виде дифференциального урав­

нения. Рассмотрим

простой пример.

Пусть

некоторое

тело,

снабженное двигателем

(тот

же автомобиль).

совершает

прямолинейно; движение.

^

а,

Масса

этого тела

равна

m

. Рас-

—

t—,J

" — С Т 0 І П ш е >

пройденное

телом к мо-

\

х *

менту времени

t

.отсчитывать

р и

с >

5

будем от

некоторой

начальной точ­

ки, и обозначать

х,

. Производная ягг представляет собой

ско-

рость движения тела. Будем предполагать, что на тело действуют

две внешние силы;

сила

трения

~ bxf

и

сила

упругости

-- кос .

Тело движется под действием силы тяги і/г

развиваемой

двигате­

тх,

i« bec, -f кос

= иг

Обозначим Xr

= Ä J , тогда

получил» два уравнения

Здесь xf

и

хе есть фазовые координаты

объекте, a

U - уп­

равляющий параметр, т . е . мы имеем объект

с одним входом и дву­

мя выходами. Введем вектор управления U = ( 0

,ия)

и фа­

зовый вектор

X = (

Xf , х2 ) ,

•j^f-s Ах*

BU .

(I)

В более общем случае,

когда, фазовый вектор Ä имеат размер­

ность

п

,' а объект оішоываѳтоя системой линейных

уравнений,

связь между входом я выходом также устанавливается

уравнением

( I ) . Матрицы А % В

в

етом случае

будут иметь размерность

Пип.

В самом общей случае

вакоя. движения объекта

описыва­

ется евстемоИ

нелинейных дифференциальных уравнений вида

•x\

-Â

(*<••••

**;

и,,--

Um) ;

X • J/ее. UJ

• (2)

- 54 -

Уравнение (I) есть частный случай уравнения (2).

Уравнение

( I )

получим когда

/(х,и)

станет

линейной функцией

sc и

U

т . е .

/fx,uj-

dsc + &и зная управляющие функции

и,ft),

••• Umlt)

для i

>te мы можем однозначно

определить движение объекта.!, ре ­

шая уравнение

(2) при заданном начальном фазовом

состоянии

- х".

В случае фазовой плоскости

( п = 2 ) мы можем

изобразить

р'шяше

объекта в виде фазовой траектории.

(Рис.?)

Пусть для некоторого

управления

мы определили фазовую траекторию с

помощью уравнения (2).

Если мы из -

начальное, состояние), то получим

другую траекторию, исходящую из той же точки

,

причем по

этой новой траектории мы можем попаоть Б состояние

Je' , что.

и раньше,

когда мы двигались по траекторий .1/

но можем и не

попасть.

Вновь изменим управление , получим новую траекторию

в случае рассмотренного'нами; объекта

естЕственно предполо­

жить, что тяга двигателя

не может быть сколь угодно боль­

шой, а подчинена ограничениям вида

•

-

55 -

4L * и £ f

где

Ы. и ß

некоторые постоянные. В частности, может быть

аі'-итвл

ß ' L / m a

a

e .

„тогда

- и т

а я $U4Un,a*

ИЛИ

/L//SUmJX

,

чио

означает,

чтс

двигатель

может развивать силу, не превышаю­

щую по абсолютной

величине

некоторую максимальную. Аналогично

дело

обстоит

я для других

объектов. Таким образом, управляю­

dt&UiSß*

-^SUiSjt,

......

с<т

*Um6fm

Если управляющих

параметра два ограничения в плоскости пара-

i U

l

метров

предсга'вляются в виде

У/

прямоугольника. Этот прямоуголь­

'

/ /

А

ник будет

областью

управления.

'•{

и,

.'

Область

управления

есть множест­

1 /

1 /

, ////>

во точек

гп -мерного пространства,

h

Рис.8

условиях. При гп ~ 3 получим 3-х

удовлетворяющих определенным

мерный параллепилед з качестве области управления. д>.ч произ­

вольного m будем иметь область управления в виде

m -мерного

зараллепипеда. Область управления не обязательно

должна иметь

зэд вараллепипеда; она может иметь более сложный геометричес­

кий характер. Аналитически это выражается ограничениями вида

У-(u,t...(Jm!$0

-«/В частности, может быть ограничение в

виде интеграла j

р(х,ц)а'і$

/

• Задание

области

управления вхо­

дит в математическое описание уп­

равляемого объекта. Подчеркнем

одно важное обстоятельство о ха­

рактере

управляющих функции. Бу-