книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие
.pdf
|
|
|
|
|
|
- 26 - |
|
|
|
|
|
|
|
TSE как |
à y |
- функция произвольная, |
то |
вариация |
$У |
будет |
|||||||
равна |
яулюр |
если |
выражение s скобках |
равно нулю, |
т . е . |
|
|||||||
$ - і ъ+£>Fr |
|
|
~ • • •+ |
|
fa |
|
- ° • |
|
|
||||
Это дифференциальное уравнение |
2 п |
-порядка называется |
уравне- |
||||||||||
акем Эйлера-Пуассона. Общее решение |
содержит |
2 п |
произвольных |
||||||||||
ЛОСТОЯЕНКХО которые могут быть определены из |
2 л граничных ус |
||||||||||||
ловна. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим простой пример |
Задан функционал |
|
|||||||||||
|
|
|
JZ>7= |
|
Jjttty'J'Jc/* |
|
|
|
|
|
|||
Зайдем экстремаль |
зря |
следующих граничных условиях; |
|
||||||||||
у_(о)ш |
О? |
у'{о)« |
I ; |
I ; |
у'(іЫ |
I |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
» |
|
|
|
Уравнение Эйлера -Пуассона имеет вид |
|
у |
= 0 |
|
|||||||||
Граничные условия дают следующую систему |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
0 |
* |
С* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
• |
С<* |
CL*СІ* |
С* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
' |
* |
ЦІ |
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С,-О, |
|
сА--0 |
|
; |
/ ; c4tO |
|
|
|
|
|
|||
у*X |
= гсть аскомая |
экстремаль. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Раесаютриэд белее |
слоиный пример. |
|
|
|
|
|
|||||||
Пусть |
J- |
\ |
|
&.(£'j'+ XtWj'J |
|
|
- |
есть интегральная |
|||||
квадратичная ошибка некоторой системы автоматического регули рования (САР). Найдем экстремаль.
£(ОМ Is |
£'(oh 0j |
é(<oj= t(•&,'- |
0 - САР устойчива. |
Экстремаль удовлетворяет следующему |
уравнению: |
||
Характеристическое |
уравнение |
Лі Р*-Л,Р** |
1-0 |
является |
биквадратным. В общем случае |
корни будут |
комплексными: |
||
\ |
Тлі |
„ причем |
|
|
можно видеть» что два корня будут иметь отрицательную вещест венную часть, а два других положительную.
Пусть
Тогда |
|
|
|
|
|
£(і)-- £d |
[c,SLmx>t+ Сг CosiutJ* |
à**[G 5<Л<О£ |
<f<r Cosiot] . |
||
Чтобы выполнялось условие |
é(°°J= |
£'f°°J - О |
, очевидно |
||
нужно положить |
Cj = Cjf |
* О |
, следовательно, экстремаль |
||
имеет вид: |
-dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
â(t)= |
е |
[С,Sinat* |
Q C o s |
<ot]. |
|
i l l , ЗАДАЧА С ЦОДВИШіМИ КОНЦАМИ
I . Основная формула для вариации функционала
Исследуя на экстремум функционал |
|
|
|
|
ш предполагали, что граничные точки |
(ЛІ, |
) к ( х. |
, у. |
) |
заданы. Если предположить, что один или |
обе граничные |
точки |
мо |
|
гут перемещаться, тс класс допустимых кривых расширяется.(рис.
.Кроме кривых сравнения, имевших общие граничные точки можно брать я кривые со смешенными граничными точками,
НаЁден выражение для Еариации функционала a этом более общем Для простоты предположим, что левый конец экстремальной кривой закреплен, а правый - свободный. Напишем приращение функционала
X-,
ВариацЕя функционала есть главная часть приращеішя функциона ла (т,з„ линейная часть относительно е'ц, к Su' ) точно также sas дифференциал функции есть главная часть приращения функции. Итак найдем главную часть приращения функционала, т . е . вариа цию.
Не теореме о эредаем значении имеем
|
|
- |
29 - |
|
где |
. Последнее выражение можно представить Е виде |
|||
fa^Stx |
' |
F(XWJ/bc. |
Х, • fa * |
, |
причем ât = 0, |
когда |
и fy.-~ 0r |
т . е . 6)J'x,- есть |
|
величина |
2-го порядка малости. |
|
||
Подинтегральное |
выражение во втором интеграле разложим з ряд |
|||
Тэіілора |
при Jy. |
= 0 и <5у'= 0. |
|
|
Так как Fl*.} |
ft'rfy} |
= F(x.ff.f) |
+ ^f^.^'.'fy * |
|
R ~ величина 2-го порядка |
малости. |
|
Интегрируя по частям второе слагаемое, получим |
||
Так как граничная точка |
(.Л,,^) |
закреплена, то <^^,Х)- 0. |
Следовательно і |
X f |
|
Отбрасывая величины более высокого порядка малости, найдем следующее значение вариации функционала
jjj
fa |
fa.^ |
[ffy-£ |
FM** |
|
a с |
• Найдем выражение для |
оу/^.х. |
||
|
|
Из чертежа |
имеем |
(Рис.II) |
|
|
Aß*J>£= fy/x.Xt |
, |
|
|
|
ЕС - fy, ; |
CD*yYxJ<k*y^<Jx,. |
|
_ |
|
Таким образом Ab -М- EC-CD, |
||
Рис.II |
. т - е |
- 4*™* * |
' * х ' |
Вариацию теперь можно записать |
в виде |
|
|
|
- 3 0 - |
Еслк |
оба конца варьируемой кривой свободны, го вариация функцио |
нала |
будет равна J теперь &у/ХіХ £0 и d V ^ c J |
2. Условие трансверсальности.
Поставим следукщуіо |
задачу. |
Задан функционал |
х , |
определенный на гладаас кривых, концы которых могут перемещать
ся по непрерывным кривым ^ = ^f(xj |
а у-- WxJ |
• Требуется най- |
||||
I |
' ¥tei |
|
^ |
ти экстремум |
этого фушодиона- |
|
|
/ |
tj'fy |
|
I |
л а 1 1 1 3 5 3 указанных условиях. |
|
Л |
П |
Г ^ ^ |
- |
* . |
(Рис.12) |
|
J |
L |
|
I |
i „ |
|
|
Рис.І2 Условием экстремума является равенство нулю первой вариации,
т . е .
Если некоторая кривая дает экстремум функционалу среди всех допустимых кривых, то она там более будет давать экстремум по отношению ко всем кривым, имеющим те se концевые точки. Сле довательно!, эта кривая должна быть экстремалью , т . е . удовлет ворять уравнению Эйлера
— F,„ --О If afsc'f
В выражении для вариации интеграл исчезает.
-31 -
Іісли теперь иметь в виду, что с точностью до бесконечно малых высокого порядка имеем:
то получим следующее дополнительное условие экстремума
но так как |
&XT и |
Sxt |
|
- независимые приращение, будек кметь |
|
[F*(i- '-tf'/Fy']/x,Xi |
- О |
? |
Эти граничные условия называются |
||
[F*(Ч1'-у')Fy'J/x--x.: |
& J |
условиями |
трансверсальности. |
||
Про кривую |
у - jf(~J |
|
, удовлетворяющую этим условиям говорят, |
||
что она трансверсальна |
кривым *f(xJ к |
^CXJ . |
|||
Итак,для решения вариационной задачи с подвішшми концами необходимо :
1.Решить уравнение Эйлера.
2.Постоянные интегрирования определить из условий транс версальности.
В вариационных задача?: часто встречаются функционалы
в и д а |
fjwJmfFJx |
Для таких функционалов условия трансверсальности выглядят осо бенно просто. Действительнов этом случае
и, следовательно, условие трансверсальности принимает вид
откуда |
£'=-~ïfT |
• Аналогично |
на другой |
конце |
у'і-4р |
• |
Но это |
условіл |
ортогональности |
кривых tf(xJ |
к |
; yfaM |
|
У (х.) |
. Таким образом, для рассматриваемых |
функционалов |
усло |
|||
вие трансверсальности сводится |
к ортогональности. |
|
|
|||
|
- |
32 - |
|
|
|
|
Отметим ещё один частный |
случай. |
|
|
|
||
ЕСЛИ граничная точка |
( x t , у( |
) |
перемещается по вертикальной |
|||
|
|
прямой, |
то |
„ очевидно, Зх, = 0, а |
||
|
|
Sy, / О н равенство |
нулю вариации |
|||
|
|
достигается |
при условии |
|||
|
|
|
|
|
= 0 (Рис13) |
|
|
|
Если se граничная точка (л: , у ) |
||||
Рис.13 |
перемещается |
по горизонтальной пря |
||||
мой ^ |
= yt |
= Const |
, To<fy,= О, |
|||
a |
0; в этом случае условие трансверсальности прини |
|
мает вид |
|
|
|
T T |
yr : V>(JCJ-- Co/fit i у'-О. |
|
|
: Const |
XT Ж
Рис Л 4 Оршер. Вераемся к задаче о брахистохроне.
Предполоним, что левая точка закреплена, а правая
|
• |
|
может перемещаться по вертикальной |
||
|
|
|
прямой. |
(Рис.15) |
|
|
|
|
Ранее мы нашли, |
что экстремалями |
|
|
|
|
функционала |
|
|
|
|
|
r r J t |
[ ' |
J* |
Рас.15 |
|
^ |
J0 |
Ѵг^ |
|
являются циклоида, |
уравнения которых в параметрической форме |
||||
имеют вид |
|
|
|
|
|
х |
* Ci (t~ |
Л>» iJ . |
|
|
|
у |
-- Ctlt - |
Cost). |
|
|
|
Для определения |
Сг |
воспользуемся |
условием |
||
- 3 3 -
Имеем |
, |
|
вательно, искомая циклоида должна пересекать прямую х |
= х, |
|
под прямым углом, что монет быть, когда точка {j?t , ^і |
5 есть |
|
вершина циклоиды. Вершине соответствует значение параметра
£ = J |
, поэтому л?, = Cgjr |
, откуда Q : |
. |
Искомый |
эксг, емум реализуется |
на циклоиде |
|
|
3 . |
Экстремали |
о изломами. |
|
|
|
Условия Веиерштрасса - |
Эрдмана |
|
||
Ранее |
было показано, что для функционала |
|
|||
экстремалью является гладкая кривая, если F(^,y,y'J |
- не |
||||
прерывная функция своих аргументов и f^y&O |
|
||||
Если |
равна нулю в отдельных точках, то экстремум функ |
||||
ционала монет достигаться и на кусочно-гладких кривыхв |
имею |
||||
щих изломы в точках, где |
- 0. |
|
|||
Более того, в некоторых |
случаях, |
экстремум вообще мохет до |
|||
стигаться лишь на кривых с изломана. |
|
||||
Рассмотрим, например, функционал |
|
||||
|
|
о |
|
|
|
при граничных |
условиях |
y(Pj*> |
01 y(z) = ï° |
|
|
Этот функционал при любом p(xjue |
отрицательный, поэтому,, |
||||
очевидно, |
его наименьшее |
значение равно нулю. |
|
||
Непосредственно видно, что это наименьшее значение Moser до стигаться либо на функции у(хМ 0, либо на $0^) - ж* С
( т . е . |
когда f~#'- |
0). Ни та ни другая кривая |
не удовлетворяют |
||||||
граничным условиям, |
но каждая из ;тх удовлетворяет лишь одному |
||||||||
граничному |
условию, |
если |
|
С = - I . Таким образом, |
минимум |
||||
|
|
|
|
|
|
|
равный нулю, |
может достигаться |
|
|
|
|
|
|
|
|
лишь на составной кривой, сос- |
||
|
|
—yt |
|
|
тоящий из кусков у-О |
[0£Xîi)i\ |
|||
|
|
s^f'1 |
|
|
|
^=дг - / |
2) с изломом |
||
о |
11? |
/ |
. |
" |
X |
э |
точке ( I , 0). (Рис.16) |
||
|
" |
"г |
|
|
Для рассматриваемого |
функциона- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
Рис.16 |
|
|
|
ла Fyg, -2#г |
, |
откуда |
|
видно, |
что возможен излом при у |
- 0. Чтобы уметь находить экст |
|||||||
ремали с изломами, необходимо определить условия, которые долж ны ^выполняться в точках излома.
|
Пусть задан функционал |
|
|
|
Будем предполагать, что в некоторой промежуточной точке |
X |
= X, |
||
возможен излом (т . е . Р^ух^ = 0 ) . На каждом из отрезков |
( л : 0 , |
|||
Х{ ) к |
( ДГ^Яі ) кривая, на которой функционал достигает |
экст- |
||
ремуаба, |
удовлетворяет уравнению Эйлера |
~3xfy ~® |
|
|
Представим рассматриваемый функционал в виде суммы двух функцио налов
•Я, »1
и вычислим вариации для каждого из этих двух функционалов в отдельности. На. каждом кз отреэков {x,,xt) и {x,,xt) i'paничше условия состоят в том, что один конец допустимой кривой закреанаы,, а другой свободен. Поэтому, принимая во внимание уравнение Эйлера, получаем
- -J5 -
Для экстремума необходимо, чтобы суммарная вариация Ь% О
Это даст
откуда, в силу произвольности <5эс, и |
, получаем |
Эти условия называются условиями Вейерштраоса - Эрдмана, Итак, если экстремаль имеет излом, то каздый кусок её удовлет воряет уравнению Эйлера, а в точке излома должны выполняться условия Вейерштрасса - Эрдмана. На каждом участке экстремаль имеет две произвольных постоянных, следовательно всего их бу
дет 4. |
Эти постоянные находятся из граничных условий {2 урав |
|
нения) |
и условий Вейерштрасса-Эрдмана (ещё 2 уравнения). |
|
Пример. |
Найти решение с.одной угловой |
точкой в задаче о |
|
минимуме функционала |
|
э ф - / V - 4 Ѵ ^ Ѵ |
~ |
'• |
foh°-> |
? C 4 J - Z - |
|
||
о |
|
|
|
|
у- |
, |
, то |
Поскольку подинтегральная функция зависит только от |
|
||||||
экстремалями являются прямые |
у |
-' С,х |
* Сг . |
|
|
|
|
Искомая экстремаль имеет излом, |
следовательно, |
она |
состоит из |
||||
ДВУХ ПРЯМЫХ j / f : С,Х*Сг И t£f г Qx
Напишем условия Вейрештрассе-Эрдмана. 1-ое условие дает