книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие
.pdf
|
- 9 3 - |
Режеш* дня |
assess звд |
Vi* С,
Составляем ramussTOsesaH
Мшсзхст $унхцвя |
достигается при |
|
||||
= umScan |
4<i |
- Um |
Sign /с, »Рі^ CiePci |
) |
||
Это H acïïb искомый алгоритм |
управления. |
|
||||
Зосле окожчаиня |
управления |
U |
' должно |
быть равно Щт~ |
||
Зосздянше |
С,, |
н |
доляжы быть подобраны так, чтобы в |
|||
момент t • Т объект оказался в |
аоложешш s ' „ |
|||||
Яродасс з/нраздгшя МОЕНО иллюстрировать следующими дкаграм- шиш, (Рис.17)
Рис.17 Переходный процесс при Оптимальное управление
подаче на вход и~ —
ЕСЛИ объект описывается дифференциальным уравнением
-94 -
••силу зздишюв ѵкстеми дифференциальны:-, уривѵыыи.
,Ûi-.-rp порядка с постоянными коэффициентами, то определе ние оптимального алгоритма управления производится совершен-
|
~~й " |
|
|
|
|
> |
|
-/•77. ~ Z- "g"C. ' |
, J r - |
J"<- |
•-' |
W |
||
но аналогично. Имеет место следующая'теорема od " п " ш - |
|
|||||||||||||
тервалах',квпервыедоказанная Фельд^аумом.^тт- 1 |
•' |
і. _.- .•, |
||||||||||||
|
>Вс^-'Ьоьбкт''СШс1вве9ёй''линейв1н дифф^енциалыши.1?:- |
м ѵ • |
||||||||||||
уравнением - ff -го порядка |
с постоянными коэффициентами и |
|
||||||||||||
корни4, его' характеристического" уравнения вещественные |
отри- |
, |
||||||||||||
цательные"или нулевые, то оптимальное управление будет со- |
|
|||||||||||||
держать'не |
более" ^И;іійтерваайв;-Ше*оансет«^йака, в-кото- |
|
||||||||||||
рых оно принимает граничное^ |
|
|
|
знака Л.<.ѴИ.-Й.Н |
||||||||||
за период " у п р а в л е н и я ' н е й р е в ы Ш а е т . и о з ь |
|
а |
||||||||||||
|
Пусть |
объеіст' ^бписываетсяЧ-диіфе#ёвдиалввым |
уравнением •«.." • |
|||||||||||
с |
пдстояшшми'каэффип^ен^амИ'01^1'-" іФ-порядкать |
ііолунаалезіо- |
ликлі-. |
|||||||||||
|
- : ^ т е ш y n p ^ B h ^ c |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||
|
Ые- + |
|
cfn., |
|
+ ... |
+ с/, |
+ |
a>öX |
KU |
|
|
|||
|
|
|
|
|
oit |
|
|
|
|
|
|
|||
Рассмотрим задачу о максимальном быстродействии, г . е . |
эа - |
|
||||||||||||
дачу о |
переводе |
объекта |
из |
состояния х |
в |
х |
за |
мини |
|
|||||
мальное |
время. На |
единственный управляющий |
параметр |
нало |
|
|||||||||
жено ограничение Juf |
é Umax |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Запишем уравнение объекта в форме системы |
( х-х, |
) |
|
||||||||||
|
|
X, |
|
= |
Xj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sc„ = - aâ/7-/ х„ |
а , х : |
- сУаХ, |
* |
KU |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Или в векторной |
форме |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
X |
=Лх |
t |
ѣи , |
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
О |
{ |
0 |
о |
|
О |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Ь = (о,о, |
|
|
||||||||
|
|
а |
о |
1 |
о |
|
О |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
-а. -а/, -с/г
Вздем иредаш&гать,, что собсквешше числа матрицы |
А |
т . е . кор- |
|||||||
ш яараетвркстичіеского |
уравиешвд объекта |
- |
вещественные |
отри- |
|||||
Ярвшшш для |
оаредедекня зектор-^ункцик |
Ч> - ( % , % , ... Ѵл ) |
|||||||
где |
- |
транспонированная матрица |
(поэтому |
V,- |
- |
||||
называются сооряхеЕНши |
яеременкши). |
|
|
|
|||||
Коли собственные |
числа |
матрицы |
А - вещественные, |
то будут |
|||||
|
|
|
|
|
|
„1- |
|
|
|
звщэствешшш s |
собственные числа матрицы |
- Я І |
пусть они |
||||||
а д а |
|
Рп |
, тогда общее решение для |
f- (é J |
|||||
зашшеуся так |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С о с т в ш шшльтониан
Условием шксимума гамильтонигда с учетом ограничения будет
LU Umex $ig„ (%*>/ = ^внмг Sign К +п = |
VÇ, |
|||||||
S . K , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
fft |
|
fr |
|
Pot |
у- _ |
/>*<! |
|
%(ij-.C,e |
*с2е'+... |
+ с„е |
= I , * |
|
||||
йоввдму оптимальное управление определится формулой |
|
|||||||
^ |
= и„ож |
Sign {LCKe |
J |
|
|
|
||
MssecTHo, что сумма |
п |
экспонент |
с вещественными |
показате- |
||||
дшкзн саэает |
шагь не более |
/ 7 - / |
корней. Следовательно, число |
|||||
ян?ерзадов |
постоянства |
знака |
U(t) |
будет |
не более |
п . |
||
именно это и утверждается в |
теореме. |
Точки |
переключения знака |
|||||
есть,, очевидно, нули H^n(tj.
2.Порядок решения обшей задачи р ущі^дтщщ
быстродействии для линейного объекта.
Рассмотрим нередок решения вадачн о максшвшьмои бисвродействии в с. эдующей более общей постановке» Задан объект. описываемый системой жкейшк даетежнйі
или а векторной форме |
|
|
|
|
|
|||||
|
*Ф |
и |
S |
- взатрмцы пхп |
|
• |
|
|
||
X. = (х,, |
scis... |
x „ J |
_ фазовый вектор Ù^iu1tU,,...Un) |
- |
||||||
вектор |
управления.. |
|
|
|
|
|
|
|||
Оба вектора есягь фунвди ареиешо |
US и- будем ечвдаяь,, адо |
|||||||||
|
Un- |
мерный |
паранлеяекйнед,, |
|
|
|||||
Требуется |
к а й я •паразленаэ |
U |
. |
9 кагоров он иереаоди© |
||||||
объект |
из СОСТОЯНИЯ |
X(Oh |
Xе |
з другое соогояшѳ,, |
довдшар, |
|||||
в |
аачадо «хгадина? |
x(Tj*Q |
|
за шшмаяьйое |
вреда. |
|
||||
Из рассиотрекннх ранее арьиеров и раосувдешй |
ййедаеЯц «га© |
|||||||||
эта задача разоивавѵоя на несколько ошоскоягельЕгк щадач» |
||||||||||
|
Задача I . |
йайтга решекае |
|
оопрязекногс уравдеаая |
||||||
при произвольном начальном условии |
V(oJ « |
-, |
|
|||||||
Эта 5>.'дачг в оркнцише корсшо изученао Если HSBecsnœ |
зорт |
|||||||||
характеристячасггагз |
уравнения |
(собственные числа |
) , |
|||||||
тс |
(для различных .корней) |
|
|
|
|
|
||||
- УѴ -
где |
~ некоторые векторы. |
|
|
||
|
Существуют и радличные"метода приближенного решения этой |
||||
. • |
• |
.п-...,э.- . |
|
|
|
вадачн. |
|
|
|
|
|
' " И с п о |
л ь з у я |
принцип максимума^найти |
управление |
||
для |
аайдешого' нетривиального 'решения |
-? .'- |
|
||
Для решения этой задачи |
составляется |
гамильтониан |
|
||
|
•V,"-, Atoo... |
. . . . . . |
. _ . - н ' . . . |
|
|
и определяется |
из условия максимума . |
|
|||
|
Шerse Й |
- ГПах |
£<!/У |
|
|
Найденное' упра^енйеЧІЬ^ет"едннс^ |
4 1 |
" ш |
|||
Заеоь следует 'ааметжтьf°4TO "граничное"'"усайаие' Vffî >&•>'' будет
|
|
|
задачи выполняться всегда, |
|
|
|
||||||
|
|
|
[. |
Зная''упракаеятв'1'^/,,^ йаЛйг соответстзуюипло |
||||||||
траекторию |
x{tj |
, исходящую ss заданной начальной сочки |
||||||||||
|
, |
|
удоздвСБсряи |
-^едузвцему уровцеілю* |
|
|||||||
п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
"~ Этаг задачасэодиасяJE решений |
даЦдоетрального уравнения объек- |
|||||||||||
' та при оятамааьаом зшраасенни„ |
Эта классическая задача. Ре- |
|||||||||||
rjt |
.-• • at.- |
г-. |
О, |
rjm; |
|
. .-.-ѴѴЧІІ"' '-.„г. |
|
|
|
|||
шать её |
ш умеем. Однако здесь* иы сталкиваемся со следующим |
|||||||||||
u;j>.?.sHi№ уелеоа 4-- мзте/ |
^ЯІІѴКОВО .< іі.алхсу устойчивое-.. І - О З - |
|||||||||||
лршцашвад&нш обстоятельствок„ |
|
|
|
|
|
|||||||
g^eascrc |
^аижекия |
агасеіо |
объекта |
л A : |
•.-ііи.еяяьі |
ид;«л:эльпь • |
||||||
Управление |
^/с/гашскт |
от начальных условии |
г |
, сЛёдова- |
||||||||
талы ) определенная фазовая траектория xitj |
будет |
зависеть |
||||||||||
В лачгсл'ф: (вуккшіЕ. .Іяг.уноза |
эс-ььмеи вы ^г.-шс |
|
|
|||||||||
от |
г;*- |
. Вели мы наудачу выбрали |
Y |
» то у нас мало шан- |
||||||||
ъ |
• . '' |
X |
. з?г.. и. |
|
ит ; dt |
- V ' - ^ r . |
-^tf','' |
|
||||
сов надеяться яа те, что полученная траектория Л"/с/попадет в |
||||||||||||
По наяалт; кс%дшшо.{нух4оег конечноеІ еостоявие^. Для разныхл f ' |
||||||||||||
Аожаѵельно |
определена. и>стаэи7. золну» Зіоизаод;о* |
ар&меьь |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
- |
98 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
будут получаться разные траектории выходящие из точки |
•2Г'3 |
(Вие.І8) |
|||||||||||||||
|
іісли удастся |
найти именно |
такое |
начальное |
значение |
f" |
, |
при |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
котором фазовая |
траектория |
|||||||
|
|
|
|
•'се |
|
|
|
|
проходит |
через |
начало |
коор- |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
динат, |
то такая |
траектория |
||||||||
J 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л: |
|
|
|
|
|
|
|
||
Ci |
: и,: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4/у} |
|
|
|
|
с. и соответствующее управле- |
||||||||||||
ФУ- |
|
Ді- |
зе |
|
кие и. ^Убудут |
оптимальны |
||||||||||||
|
7 |
/ |
|
|
|
ми. Ш приходим, таким об- |
||||||||||||
|
|
|
Рис.18 |
|
|
|
|
|
^разом, |
к следующей и послед |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ней задаче. |
|
|
|
|
||||||
|
Задача |
1У. ЙЬЙТІІ начальное |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
значение " у>' |
, |
при котором |
|||||||||||||||
|
соответствующая траектория |
|
x(i'J |
, |
|
|
|
|||||||||||
|
|
исходшцая"из |
заданной |
|||||||||||||||
|
'точки' |
X |
/"приходит |
в- іШчало" координат." |
|
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
Оптимальная |
траектория |
существует/и |
она единственна, |
|
|||||||||||||
|
поэтому |
существует единственное |
значение |
І" |
|
. Это следует из |
||||||||||||
|
теоремы о "существовании |
и единственности |
решения дифференциаль |
|||||||||||||||
|
ного уравнения. |
Точное |
решение |
этой |
задачи |
|
в общем |
случае |
||||||||||
Чі-:- .ц; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
нсвозмадк). Существуют |
|
приближенные |
Способы, |
|
которые |
могут |
|||||||||||
й Т І |
бцть ас^лйзонаіш |
не ЭЦВМ. Идея - приодижнного,..решения |
состоит |
|||||||||||||||
урай;6»даии««« |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Оад«ыгсяфооазвольнык |
значением |
|
f " |
, затем ого определенным |
|||||||||||||
|
сиэбобом: улучиіййт, TLK чтобы |
"улучшенная"'траектория |
ближе |
|||||||||||||||
*' |
ііо.л;'о.д;Ло„к |
пілхлу координьт. Зьтш'п-юцесс |
|
"улучшения" пов- |
||||||||||||||
|
торяит |
до-.тех nay, пок^ пи приблизятся'к |
требуемому начально- |
|||||||||||||||
|
му значению. В розудьтате-.р'ейения |
всех этих |
задач мы получаем |
|||||||||||||||
|
онтймальноь |
упѵюадениь^і/ (tj |
кик функцию времени с для оп- |
|||||||||||||||
'ЛйЬЛиПШХ CiKKCKOtei-WaUX ІіііЧ&ЛЫШХ и конечных условий.
Іш э:'оі. ой:!иьо_[!/:о2&т быті создано программное управляющее
- 99 -
усяройотвор которое-вырабатывало бы. вектор управления U(tJ . Если граничные условия изменились, тс расчет необходимо про делать заново и азаренастроить программное устройство.
ЗИбчиуаш» более удобным является решение задачи оптизбажького уЕравленыЕ в форме синтеза, когда оптимальное управявняв ищется гак функция ТОЧКЕ фазового пространства U~ Uf^/, Рзшзние э форма синтеза удобно тем, что оно реализует оптиЗйааьшай процесс пра произвольных начальных условиях. Решение задачж в такой форме есть задача синтеза регулятора с нелиней-
ЗКЙЕ СВЯЭлШ.
-IOC -
у.нонятид о мьтодв щ ш т а щ р , .Ш^ГРАШі^ВАІШ
Метод оптимизации, которыі. s настоящеее время: называется методом динамического программирования,, был предложен американ ским математиком Р. Беллманом s начале 50-х годов.
Рассмотрим этот метод применительно к задаче оптимального уп равления объектом, который описывается системой диффурекцвальных уравнений
Х.---А (х,,.:Я„ |
и,,... OlvJ (i: >,i,..,nj |
о st«. «>. |
Предположим, что начальные и конечные значения переменных за даны
X;{oJ- |
x'i |
< |
'-0 |
(c- |
•'• nJ |
U K ( O I , |
U'K |
; |
W W - |
О |
(K*t,l....m) |
Пусть требуется управлять объектом так„ |
что функционал |
||||
|
ta |
|
|
|
|
У |
= ff |
fa,... |
Х„ І U,,... Um J |
& |
|
|
о |
|
|
|
|
принимал минимальное значение, другими словами нужно найти уп равления Ц ) . . . Um миішмизирующие функционал $t , имеющий смысл некоторой меры несовершенства системы. Предположим, что ни зкаеи такие управления, тогда функционал принимает минимальное значе ние, зависящее от начальных условий. Обозначим
S(X° .. Х° I - ГПіп У • ГПіп if fa , '...Х!„ ; i/it... a„/Wt U,..Mm U,...Lh,J0
.Если подставить |
управление, гйинимизіфующае фунісционал з урав |
||||
нения объекта, |
то получим оптимальную траекторию в фазовом |
||||
пространстве x(tj. |
Разобьем |
оптимальную траекторию на два |
|||
участка: первый |
от |
£ = О |
ди t = t |
к второй |
от t* î до £ * п г ' . , |
Р И-ллманом |
был выдвинут |
следуюліий |
принцип |
оптимальности: |
|
101
"Поведение системы при-і"*Р не-зависит от''предоетврии, т . е . от поведения системы з' прошлом?- и определяетсяее 'настоящим состоя
нием т:; е. в момент |
r:"X«s''VWj.:. . |
. . |
іеі. |
|
|
|||
Согласно |
этому принЩпу, |
'если траектория |
в интервале |
от |
11 О |
|||
и |
t » f |
оптимальна, |
то |
второй участок |
траектории от |
t* |
t до |
|
t |
* «* |
также яыляется |
оптимальным. |
|
|
|
|
|
Запишем |
S faff** /"следующим-образом--— - — |
— |
|
|
||||
Согласно принципу оптимальности Беллмана, если некоторые уп
равления доставляют, минимум интегралу |
ï |
Fc/t |
, то они ö"- |
|||||||||
дут доставлять |
также минимум интегралу.. . I-Fttt |
;., |
|
|||||||||
Поэтому:> |
|
-: |
-чк. |
|
|
|
|
|
Г |
|
|
|
ГГІіа \fctt-- |
S |
|
(г), |
...л„(t)] |
|
|
|
|||||
Вели Т |
достаточно малая величина, |
то |
имел в |
виду, |
что |
|||||||
х. |
(г) |
•*"<• (о) |
* |
л х- . |
х' |
+ |
л xi |
t |
|
|
||
можем написать |
~ |
.< |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• • * Jug |
à |
|
- |
5 |
i x < |
• • • • |
J * |
|
Вели учесть, что <; . |
у |
- |
у |
r |
я;~ |
|
|
± |
|
|
||
то получим |
|
• |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
SSkCtJ,... |
x„ |
CT'] |
|
n |
|
|
f. |
(ас', |
u'Jt |
|
||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
- |
ш |
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ііоско-чііку |
t |
|
г.-.алая величина, |
|
гложад |
палисптьь |
|
|
|
|
||||||||
|
г |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I Fc/t |
-- F fx*. |
• •• |
20% ; |
uf\ . |
u£ |
|
j t . |
|
|
|
|
||||||
|
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
S, |
|
min |
|
[F(x;w/r |
|
* Sa |
* I t |
fg. f, |
(oc; |
u'frj, |
|
|||||||
|
Utr.- Um |
|
|
|
|
|
~'* |
6 |
|
|
|
|
|
|
||||
откуда |
следует |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
men |
ff(*% |
w;+ |
f |
|
|
/ , ice°, |
w j j . |
|
о |
|
|
|
||||||
Согласно принципу онткѵальност:: это |
выражение долыю |
онть |
||||||||||||||||
справедливым |
для |
текущих |
координат ж |
г |
& |
( |
поэтому |
|
|
|||||||||
ГПСп |
[F(cc.üJ+ І_ g |
|
h |
(*. иJ] |
= о |
|
|
|
||||||||||
'ovo и |
есть функциональное |
уравнение |
Бь-ллмане |
т . е . |
условие ОП- |
|||||||||||||
ТШаЛЪНОСТК. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Полученное |
условие означает, |
что |
минимум |
выражения.а. скобках |
||||||||||||||
по управляющим параметр™: равен нулю. Для получения значений |
||||||||||||||||||
уирышіющих |
|
наянмь'.;;ов, |
ш(н»1миэирующих этой выраяение, нуяаго |
|||||||||||||||
взять частные пгмииэодшк. ло Ut, |
|
|
Um , |
|
результате |
получа |
||||||||||||
ется система |
ургт.-ниіі |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
і*ли |
U |
|
- |
управлыг.к , |
::.'.ііденное из этой системы, т . е . оііти- |
|||||||||||||
.ллыки. Уііргшлокисі, то знг',еі;:е |
/Ѵіп |
равно |
нулю |
г.и. |
|
|||||||||||||
•з этого |
ура'ьнсш:я шг/л |
быть |
наіідеііа функция |
S(•*, |
> • • |
хп) |
||||||||||||
'ле?о„ |
••;ікам!іческо:,о |
л^ограѵ.ѵлровання |
приводи? к |
уравнениям |
||||||||||||||