Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги из ГПНТБ / Осипов В.М. Математические основы кибернетики. Начала вариационного исчисления и элементы теории оптимального управления учеб. пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.10.2023

Размер:

3.76 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

				- 6 -
Хрквыз у		te)		и у<(х) близки Б смысле близости К -го по-
рядка, •золи малы модули разностей /у -у/і/у						'-у,'/	ІІу"~у"І
Из этих оцредѳлений следует,					что если	кривые близки в
смысле близости			К -го порядка, то они близки в смысле близости
любого меньшего			порядка.
ТбЕбрь мы моаем уточнить понятие					непрерывности функционала.
Йункцнонал	Э[у(х)]			непрерывен при у-уц(х)		в смысле		близости
К -го порядка		если для лабого положительного					£ можно найти
такое і>0	, niohfyfr)]-3fy0(x)Jj<				£ при jç/(x)-y^xjj			< S ;
. Iy!(&}-y'0(x)l<£			; . . . . . 1иК'(х)-уо[х)1<^,				при этом	под
разумевается,		*ж>_ у(х) берется из того класса					функций,на кото
ром функционал		ощ)еделен.
Рассмотрим понятие				вариации функционала. Это понятие аналогично
понятию дифференциала обычной функции.

К зонятив дифференциала функции монно притти следующими рассуж


дениями.		Рассмотрим функцию			Возьмем её значение в точке
sctdäX		, т . е . j-fx + dâx).			Пусть х	и лх фиксировакк, а пара
метр	к	меняется. При^= 0 получим исходную					функциюуѴ^при
d * Т		получим приращенное			значение J(x*âx),		іЗокажем, что произ
водная от j(x.*Uux)			по	прИ(^= 0		есть дифференциал функции
/(х).	В самок деле,		имеем

Совершенно аналогично можно определить вариацию функционала. Варзацня функционала равна

- ? -

Можно рассуждать следующим образом. Приращение функции будет равно

ÄJ - J(X+c(4X)-

/(*)

Это приращение есть фуіощия параметра л

и, следовательно,

z/'(лсЫаХ

)ах/Ыі0

J'(X)AX.

Составим приращение функционала

Эт'о приращение есть функция параметра oL , поэтому вариация равна

Можно рассуздать		иначе.-Считая	d малой величиной,		разложим
Л 3 (d. I в ряд Тейлора при d = 0.
*	аЛ	+ ^-^Л		* ...
Отсвда видно,	что вариация Ій-		J ^ ^ . ^ есть главная часть
приращения функционала, аналогично				тому, как дифференциал есть
главная часть	приращения функции.
Величина	у	у
	Ь<*-а/и<о
называется второй вариацией функционала.
Дадим следующее		определение.
Функционал У[у.] достигает			на кривой y~y,oLx)		максимума,,
если значения функционала JfyeCxj]				на любой близкой к jj'tfotef
кривой не больше,		чем OCfol*)]	,	4.e.j3°Jfpfixrf-Jffo{xj*.0.

				- 8 -
Аналогичной определяется минимум. В этом							случае л J » 0		для
всех кривых0 слизких к кривой					у.	=у0[х)
Теорема		"Если функционал			Jfy	(X)J	достигает максимума
		или минимума при			ц,-ц0(х)		, то при	y-foi*)
			ft* о*.		'
Доказательство			При фиксированных у 0				и Л/ значение		прираще
ния функционала а
			У = 0[y,lx) -dfy].				У ч е с т ь	функция пара
метра	d.	„ которая,		по предположению, достигает экстремума
при d	= 0,	поэтому		Ч''(0)= 0		um-^-u[y0(xJ+c<-fy]u..0-M~0-
Итак,	на кривых,		на которых функционал достигает экстремума,

его вариация равна нулю.

Понятие экстремума функционала нуждается в уточнении. Говоря об экстремумеt мы имели в виду наибольшее или наименьшее зна чение функционала только по отношению к значениям функционала на близких кривых. Но близость кривых можно понимать различно, поэтому в определении экстремума надо указывать какого порядка

близость имеется в	виду.
Если функционал	достигает на кривой }J0(x) экстремума
по отношению ко всем кривым для которых модуль разносіи

[yfcl-yg(x)l мал, т . е . по отношению к кривым близким к у<>(х) в смысле близости нулевого порядка, то экстремум называется сильный.


Если же функционал	Уff	достигает на кривой у„ faj экстре
мума по отношению ко всем кривым близким к ус(х)ъ			смысле бли
зости *-го порядка,	го экстремум называется слабым.

Ясно, что всякий сильный экстремум будет в то не время слабым экстремумом. Обратное, вообще говоря, незерно. Нахождение сла бого екстреиума является более простой задачей, чем нахождение

- 9 -

сильного экстремума. Причина в том, что в теории слабого экст ремума мы можем пользоваться понятием непрерывности функцио нала в смысле непрерывности 1-го порядка. È то ке время часто бывает, что в смысле нулевого порядка функционал не является непрерывным.

Уравнение Эйлера

Найдем н обходимое условие экстремума .функционала., Исследуем на экстремум функционал

причем	граничные	точки допустимых
кривых	закреплены	yfaoj-fa

а /

(у.

Рис. 3

y(aj:yf	(Рис 3) .
функцию	£{<Я,у, у'J	будѳи
считать	дифференцируемой по каж
дому из аргументов л		, у 0 у '„

Мы уже знаем, что необходимш условием экстремума является равенство нулю вариации функционала. Посмотрим к чему это при

ведет для данного	функционала.
Повторим рассуждения, которые мы делали. Предположим,, что
экстремум достигается на дваадн дифференцируемой кривой				у*у(хХ
Возьмем какую-либо	близкую к yzyfecj	допустимую кривую		yzy(je)
и включим кривые у	- y(^J иу:у'(а}&	однопараметрическое		семей
ство кривых у (Я,*J s y(ccj+ eL [pfaj			-y(xjj
При ai= 0 получим кривую y.yCzJs			на которой, по пред-

-	10 -
положению, достигается	экстремум. При	d	= I получим	-
допустимую близкую кривую,так называемую і ч '^ѵю сравнения
(Рис.4).
	Мы уже знаем,		что разность	уі*) -
y l * ^ — . Ѣ	" $(х)	называемая вариацией функ-
^ ^ ^ ^ "	ции ^ W H обозначается.			. Вариа-
£	ция является		функцией ~т .	Эту

—функцию можно дифференцировать, причем

т . е . производная вариации равна вариации производной точно такке

Итак рассмотрим семейство у.				J = y(x)*eL <Jjf
Если рассматривать значения функционала
только на кривых семейства				у*у(х,л).,	то функционал	превра
щается в функцию Л		'•	.
Эта функция достигает		своего экстремума			при^ = 0 , т . к . при
				я
ai = 0 получаем у-уМ,			и функционал,		по предполояению, до
стигает экстремума по сравнению с любой близкой допустимой
кривой-и, в	частности, по отношению к близким кривым семейст
ва у-у(х,<і)*	Необходимым условием экстремума функции					Ч'(^)
при «С = 0, как известно,			является обращение в нуль её			произ
водной при d	- 0
Так гак	?'

- I I -

где

> r

Имея в виду, что

получим

сх,

Итак, условие экстремума^ = Ü, получает вид:

•Xff

Второе слагаемое проинтегрируем по-.частям , принимая во вни

мание, что

ty'e(fy)

Хс

потому, что все допустимые кривые проходят через фиксирован ные граничные точки. Таким образом, условие экстремума полу чает ВИД Хі

Это условие должно удовлетворяться для любых произвольных ou , Можно строго показать, что оно будет выполняться, если выра жения в скобках равно нулю.

- 12 -

Таким образом, необходимое условие сводится к равенству


Это дифференциальное уравнение второго			порядка называется
уравнением Эйлера- (1744 г . ) . Решение			этого уравнения,	т . е . ин
тегральные кривые у= y(x.,Cit	Czj	называются экстремалями.
Только на экстремалях функционал	^^<^Ѵ/достигает экстремума.
Для нахождения кривой, реализующей экстремум функционала
интегрируем уравнение Эйлера и определяем произвольные				постоян
ные С, и Сс из условии на границе		y . ( x f J z и		у(хі)-:уі.

Уравнение Эйлера является необходимым условием существования экстремума функционала. Для тогос чтобы ответить на вопрос реализуется ян действительный экстремум и притом максимум или ЫЕнн^ум,, нужно привлечь дополнительные условия. Однако, во мно гих случаях существование решения вариационной задачи очевидно аз физического или геометрического смысла задачи и если ре шение уравнения Эйлера удовлетворяет граничвым условиям, то эта единственная экстремаль я будет решением рассматриваемой

зариационноЁ* задачи,,		Отметим, что уравнение	Эйлера мояно пред
ставить з развернутой форме. Учитывая, что у			и у ' зависят
от ІС ,	цолучаеи
Обозначим
	i£sfv	sf'-fri
тогда	,

Гравяеяае Эйлера получает вид

откуда видно, что это уравнение 2-го порядка.

-13 -

Пример,

На каких кривых мокет достигать экстремум функционал

Уравнение Эйлера имеет вид

Общее решение
у - с, Cas X	+ Сг 5in X .
Из граничных условий находим		О: с, ;	1 - Сг .
Экстремум достигается	на кривой

у.- 'Un X.

Вэтом примере уравнение Эйлера легко интегрируются, но так бывает далеко не всегда, т.к. уравнение 2-го порядка интег рируется в конечном виде лишь в исключительных случаях.

Рассмотрим некоторые случаи интегрируемости уравнения Эйлера.

	4. Частные случаи уравнения		Эйлера
I . F	зависит лишь от у, и	у '	т . е .	F:Ffy,y'J
Уравнение Эйлера имеет вид Fy~ F^ty'-			Fy'y'ty" ' Q•		,
т . к . / Ц , ' - О ; Если умножить это		уравнение		почленно на	у ' , то
левая часть	превращается в точную производную

a w * ]

Действительно

=W - Fw#"] •

Таким образом, первый интеграл уравнения Эйлера имеет вид

F ' W ' ï -

Поскольку это уравнение первого порядка и не содержит явно sc ,

				- 14	-
то онс иокет быть зроинтегрировано.
iïgjssej).	Задача		о брахистохроне.			(Рис.5)
Определить			.кривуш,,	соединяющую две заданные						точки А и В
щж движении по которой материальная точка									скатится из точки
J в точку	ѣ	в кратчайшее			время (трением и сопротивлением
среда пренебречь). Поместим начало						координат в т. і					. Скорость
О			JE,		движения материальной						точки под
О			JE,	X
					действием			силы тяяести			будет
					равна:		\| £	--		yßff.
					c/â	-	элемент пути ,				т . е . элемент
	^ ^ • — J ß				длины кривой:
	Рис.	5			J? ;	Jl-f	(у')2		с/х.	Далее имеем:

I £7

если привести к общему знаменателю, то получим

г	или	if! '] * сі	•
Введем параметр t	, полагая	у:Сі$іп*т	, т . е .

У-^ if-Cost J.

Из уравнения

, откуда

у'

-. ctg

z^i

et,

Jx , g

. C

o s i j

t .

xsfCtf-

Sin t]

* Cz

Т.к. уіо)^0

x(oJ -

находим Ct - О

Окончательно

уравнение искомой кривой в параметрической фор-

Х--*

[t-Sunt]

[i-

Cost]

радиус

катящегося

круга. Находится из

условия

прохождения

циклоиды через точку 5 ( х

, ^

) .

Рассмотрим ещё один пример.

Найдем минимум функционала

Функции

£ ( * ; можно придать

смысл ошибки САР (Рис.6)

Написанный функционал

является

уН)

интегральным критерием

качества

САР (системы

авторегулирования)

Пусть

£(•")-• Р.

Рис.6

Найдам экстремаль

при этих ус

ловиях.

Уравнение

Эйлера имеет вид

ге-глб^о

или

яг£"-е--о

Q5iu.ee

решение

£=С,е

Q • О

;

Ct = I - £it)=e

\т.е.

экстремаль-

экспонента.

<<< < Предыдущая 12 / 122 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ