книги из ГПНТБ / Некоторые специальные разделы курса теоретической электротехники учеб. пособие

Д« = hd *bt * 6 i * c d + c e

* - c/*de+/e

или

перегруппировав члены:

&H=(d+S)e+(b*c)e

+(l*c)(d+S).

Как видно из приведенных соотношении, Ан

-

полином. < ф - 2 )

ящие из отдельных, в данном случае

2-х, частей. При этом одна 1

из частей может состоять только из

одной изолированно* вер­

ных уэлов.

;

Иными словами, приведенные подграфы

имеют различную связ­

ность относительно выходных зажимов.Подграфы подобного вида,

содержащие все вершины исходного графа,

состоящие из двух

частей, и не имеющие замкнутых контуров называют двойными

деревья­

ми.Под величиной, двойного

дерева

понимают произведение

проводи-

мостеи. его ветвей. Обозначим

её через

Тг*,|'

|ГДе

индекс

2 указывает

на наличие двух-

несвязныхад-

частей,

а

І , і '

на

различ­

ную

связность узлов

I

и

I .

Фигуры, второго

вида

(рис.36)

, как нетрудно

видеть,представ-

ляют

собой, деревья нового

графа,

полученного из

исходного

замы­

канием накоротко

входных

узлов I

и

I .

Итак:

Ди = 2йТл.»'

»

определение

входной

проводимости це­

пи с

использованием

графов

сводится,

таким образом, к

нахожде­

нию чаетдапо

от деления, суммы величин деревьев

графа

(

без уче­

та источника)

на

сумму величин двойных деревьев

различной

Входная

проводимость - величина, в линейной, цепи не

зави­

сящая от приложенных источников энергии и поэтому для её

опре­

деления безразлично, питается цепь от источников тока или от

источников аде. При питании цепи от источника аде

сформулирован­

ное правило

определения входной, проводимости остается в силе .

Известная! проводимость позволяет в этом случае

определить вход-

вой ток

Поставим новую, более общую задачу расчета цепи,

представ­

ленной на рис.1.При известных параметрах цепи и источника

тока

(или эде) определим ток в ветви 23 с проводимостью

е

Выберем положительное направление искомого тока

от

узда

2 к узлу 3. Тогда по закону Ома : 1е=Ц*з-е

і"1 "

і

где

Агг = АН - Аг'и

Поскольку

, 1 0

,

гаскрывая алгебраические дополнения,

после сокращение

12 членов,

получим:

Агг'= acS-a%k-Век-

Ь с е - o e k .

фы -

двойные

дерева различной, связности

относительно входных

и'

и выходных

вершин, не содержащие ветви с про­

водимостью

d

. Величины двойных деревьев с ветвями, замы­

кающими разноименные верйины. (

1,2* и 1*2)

по прежнему отрицатель­

ны (со знаком минус) .

С учетом ебозначений. величин двойных деревьев графа джяі

искомого

тока имеем :

I d - E d - -

и

Для любой, другой ветви (

IT)

можно записать

Т п = П

. ь

An.it.

Т

_ С

»

Х Т и м ' » ' - ТйТії.і'к

где

п. -

проводимость

ветви,

an! -

узлы её присоединения..

При определении

Д А * ' целесообразно пользоваться оригинальным

мнемоническим правилом, предложенным в 1953г.Персивалем.Суть

его

видна из рис.7 и сформулирована в общих чертах выае.

Отметим, что в отличие от предыдущего примера в знаме­

нателе формулы, определяющей, ток ,

стоит не общий определитель

графа

(без источника),

а его алгебраическое дополнение,рав­

ное.,

как было показано, определителю упрощенного подграфа, по-

9 =

ІБ

С увеличением

числа узлов

и ветвей,

п.

резло

вЪзрастает

,

что приводит

к

громоздкости.«іменно

этим

определяется редкое

использование в современной теории графов деревьев для

под­

счета опре, угителей ма.ігебраических дополнений.

Ниже рассматриваются

топологические

формулы, предложенные

Назоном, исключающие

необходимость

составления

деревьев

гра^а

и позволяющие еще значительнее

сократить

обвей работы при под­

счете определителей.

3 ч Топологические формулы Лэзона.

Лредставмм

алгебраическое

дополнение

Ate

, определяю­

щее ток

I d

схемы рис.5

, в несколько

ином

виде: перегруп­

пировав

члены и умножив их на проводимость ветви

d

b t t d

= acdf

-atdt^-bedh.

- bced-

tiekd

=

= aedf

-fade

-

hdhla

+

e+c).

Графически данное соотношение представляется следующей сово­

купностью подграфов (рис.8) Рассматривая

их,

замечаем:

I . B

каждом подграфе

имеется аамк^ил

путь,

и при том то-іь-

можных путей между узлами источника .Произведение

проводк-

мостей

ветвей, образующих названный путь

назовем

передачей,

этого

пути и обозначим

Р« .

2. Подграф , в котором замкнутый путь не

проходит через

все вершины графа, состоит из двух частей,

не считая "изолиро­

ванных вершин.Первая часть подграфа - путь

через

выбранную

ветвь, а вторая -упрощенный граф цепи, полученный из исход­

ного эако;ачиванием ветвей данного К- ого пути.

Ьеличина

такого сложного подграфа -бпределяется, как видно

из

рассматри­

ваемого примера ірис.8), /фоизведением передачи пути

( Рк

)

на опрвделитея^уцроще-нного --„графа с тем же индексом ( дн

)

Формально все подграфы можно рассматривать,

как

состо­

ящие из двух частей -

из ветвей, образующих

соответствующий'

ствующий определитель - Ри ,

ли )

берется со знаком

плюс в

том случ

э, когда направление

пути

от

положительного

узла

источника

к отрицательному совпадает

с

выбранным положитель­

ным направлением тока в рассматриваемой

ветви, Ь противном

ченного, для

тока

let

инеем:

x t t

с

AH

,

ляется

выбором положительного направления тока в ветви.

В

более общем виде полученная формула может быть за ­

писана

следующим образом:

при закорачивании

пути

о передачей

Рк

.Ь дальнейшем

эту

величин} будем называть

минором

К-ro пути. При выбора

узлов,

между которыми

находятся

передачи

Ря

,

следует иметь в

виду, что расчеты упрощаются, когда схема в геометрическом

отношении относительно зтих узлов симметрична.

Для.примера подсчитаем

определитель

графа рис.1 при пи­

тании цепи сперва от источника тока,

а затем

от

источника

эдо.

В первом

случае, выбрав

узлы 2,3

в качестве

опорных,

имеем 5 возможнчх путей с передачами

е

t cS

,

cad

,

bd

и adS

, показанными

на рис. •>' вместе

с соответст­

вующими им упрощенными

графами (подграфами).

Определители

подграфов ижи миноры в свою очередь можно

считать по передачам между двумя произвольно

выбранными уз ­

лами или любым другим способом,

в

соответствии

с

рис.9

и

10

для миноров путей, имеем:

-

Ді = a(b*d*c*£i

• ftf + Ьс *df

+dc,

At~(CL*d+6l,

Д* = /,

A*»

(0.*f*c),

Д 5 . Н .

Общий определитель графа,

изображенного на рис.1 при питании

мои

от источника

тока,

таким образом,

равен:

д

-

х.Рк'д»/ *at(6.*d*c*'i)+e6f

*Ь*с

+

•

dec +{с

(a+t>*d}

+ acd

*$dfa*u^fimbS.

Этот результат

совпадает

с

полученный при подсчете определи­

тела обычным способом и с

помощью деревьев графа.

Аналогичным образом,

для графа

с закороченными входными

узлами ( питание от источника эдс) имеем:

ДМ » PiА* +Р«А* » ( d + f ) f b * e * t )

+е(&*с).

рис.11

иллюстрирует полученный результат,

б) Подсчет оптеделитедя но передачам

иетвеа

некоторого

узла.