книги из ГПНТБ / Некоторые специальные разделы курса теоретической электротехники учеб. пособие
.pdf- 9 -
РИС.2
Wz - |
r x , a . z ) - L L o t x d a d z . |
|
, V |
|
' |
причем |
Wi = W * = W . |
|
можно записать |
W = 2 W * - W , , |
иди |
« • ^ - ( Й М Й Г - Г Й Л ^ - . .
Значит функционал
v
Имеет физический, смысл энергии электрического подл в рас сматриваемом обьене.
Выше мы говорили,- что если некоторая функция UY*A?)coобцит атому функционалу минимальное значение, то она и будет искомой потенциальной функцией рассматриваемого элек трического поля. Овределим, каким же условиям должна удов летворять эта функция. Иначе говоря, какая функция, при •одстановке в функционал (14) будет сообщать ему мшшмакь-- ное значение.
Воспользуемся уравнением Зйлер'а-Лагранжа. Ь нашем функционале
Согласно уравнению (ІЗ)
или иначе
Значит функций, |
сообщающая, минимум функционалу (14) |
должна удовлетворять |
уравнению Пуассона. В результате; мож |
но сделать вывод, что задача отыскания минимума функционала (14) равносильна интегрированию уравнения Пуассона. Коли будет найдена функция, которая, минимизирует упомянутый функ ционал, то значит ата функция и есть ревенив уравивниш Дуас-' сова.
Существуют несколько способов нахождения эксЕрелального значения; функционала. Мы рассмотрим два из них - Метод Ритца
•метод Канторовича.
Метод Ритца .
Будем искать потенциальную функцию электростатическо го двухмерного поля., созданного объемными зарядами с плот ностью 9 (х,ц) . в эюи случае потендиал подчиняема уравненив Пуассона.
Полагаем , что потенциал на границе области обращается: в нуль.
метод Ритца оводитса к выбору решения в виде суммы квсвоаьках функций ( так называемых, координатных функций)
|
|
- |
и |
- |
|
|
|
|
|
|
Здесь |
а« - постоянные |
коэффициенты, зависящие от конфи |
||||||||
гурации |
области. Функции |
|
выбираются: произвольно .од |
|||||||
нако они должны удовлетворять |
определенный |
требованиям: |
||||||||
I.Обращаться в нуль на границе |
области, |
|
|
|||||||
2.Должны быть, по крайней мере, |
дважды, дифференцируемы. |
|||||||||
Выбор координатных функции играет очень существенную |
||||||||||
роль и многое здесь зависит от опыта |
решающего задачу. В |
|||||||||
І 2 ] |
даются рекомендации по |
этому |
вопросу.Так |
для пря |
||||||
моугольной, области с размерами |
X |
|
=іО. |
,у = ±Ь . |
||||||
Можно брать . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ножно применять и тригонометрические |
функции |
|
|
|||||||
% = S i n . Я Р • S U ^ |
, |
* • Ф**г |
|
ш |
||||||
Ун* |
cos |
cos |
-ТГ |
, |
|
|
|
|
|
|
Точность расчета определяется, а* ешвют |
*0яич*с<їіт |
|||||||||
слагаемых в последоват |
льиоств, (17), ОШЫЮ ЖШрШШрт , |
|||||||||
видом этих |
слагаемых. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Посла выбора решение остаетса ещедвж**» |
ітЩвтш* |
|||||||||
ак таким образом, |
чтобы потенцкал*МЯ #jfWflt«* |
аылршт |
||||||||
образом описывала исследуемое |
поде, |
ftltm |
rv*Op*f |
Up* Шїг |
||||||
становке (17) в функционал (14) , |
ког$$*ДОЮ» |
й * |
ЯШЖ |
|||||||
обеспечить |
ему минимальное значение. |
|
|
|
|
|||||
Операция вычисления коэффициентов а « |
е*бД1йге* |
Я |
||||||||
подстановке |
в функционал |
|
|
|
|
|
|
|
||
выбранного |
решения: и составления системы |
алгебраических |
||||||||
уравнений, |
по. числу неизвестных |
|
|
|
|
|
||||
a t ' 0 - * " 4 - 1 - " " |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ь результате таких операции |
получав-ес*. «леавм* яшюеюайк |
|||||||||
Ритца, которую можно записать так:
21
a«C«fa.4i]* <u[«fa.<f*> • • • • ttaCfa. Va] = K i j ,
- • Л і -
- л - I
Теперь остается только решить систему (21) и найденные коэффициенты подставить в уравнение. ( I V ) . Совершенно анало гично решается вадача Дирихле и для электрического поля, описываемого уравнением Лапласа яри ненулевых граничных ус ловиях.
где |
/ |
потенциал на |
границе-области. |
|
В этом случае можно применить операция приведения за |
||
дачи |
к нулевым начальным условиям. Для этого решение за |
||
писываем |
так: |
^~ |
|
|
|
U-«fo-*2-a.r<Ai««f»*lP |
|
r |
i |
|||
з де ОБ Чи |
- |
некоторая |
функция, обращающаяся, в f |
на |
|
|||
границе |
области |
, |
f « |
- обычные координатные |
функция |
, |
||
равные |
нулю на границе области.Подставим (21) в |
уравнение |
||||||
Лапласа и получим после дифференцирование уравнение Пуас |
|
|||||||
сона для функции *f(ct,u) |
с кулевыми гранитными |
условиями |
|
|||||
|
- ІЗ |
- |
|
э У . a V _ |
_ |
|
n |
Правая часть этого |
уравнения |
р |
выполняет функцию распреде |
ления источников.Хеперь решение осуществляется, обычный спосо бом, как было показано выше.
Пример I . |
Рассчитать |
электрическое |
поло; в |
прямоугольной |
||||
области ( поле статора ЭСГ) , |
изображенной, на рис. |
3. На /"* |
||||||
двух |
противолежащих границах |
области ж |
= ± а. |
|
і,ленциал |
|||
равен |
нулю , |
а^на двух д^гих |
( u = ± d |
|
) |
потенциал |
||
описывается. Функцией &(эс) |
. Вид этой, ф-чкции, j |
6 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ic(oc) |
|
|
|
|
|
|
|
|
OSLLH |
-а |
|
|
|
а |
- а |
- 6 |
|
|
|
|
|
|
» |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-Л |
и |
ы |
|
|
|
|
|
|
|
РЙС.З |
|
|
|
|
|
и размеры области заданы. |
|
|
|
|
|
|||
|
Поле і |
данной области удовлетворяет |
уравнению Далласа. |
|||||
Праведен задачу к нулевым граничным условиям, раздела* предварительно заданную граничную функцию в степенной, ряд (можно в гармонический) и ограничимся первыми тремя его
слагаемыми.
- I * -
$с(х)=0,5и.*(Ъо |
*ЪгХ |
+ Ъ * х ) , |
|
||
|
|
|
|
|
ги |
где Ъя. |
- |
определяется, формой кривой |
/ с / э с ) . |
||
Согласно |
(22) |
имеем: |
|
|
|
Получали |
уравнение Нуасооиа при |
f |
= О на Гранине |
||
области |
Следуя Ритщу , записываем |
решение задачи |
|||
ге
В данном случае для иллюстрации метода мы ограничимся реше нием в виде одного слагав мого. Система уравнений Рита бу дет СОСТОЯТЬ всего из одного равенства
- a -a
i d
~0.-d
йвиервсувмя нас коэффициент иахог-тся. так:
- 15 -
Потенциальная функция для нашей, задачи теперь найдена:
Ц (X,У) = 0,5UH [Йо + О г X і * |
O Y X v J + |
|
28 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 0J25U.H |
|
a * + r f * |
|
(ос-сС)(Уг-а). |
|
|
|||
^то решение дает наилучшее среднеквадратичное приближение |
|||||||||
к точному |
решению при выбранной, функции (26 |
) . |
|
||||||
Пример 2 |
Рассчитать статическое магнитное поле в прямоу |
||||||||
гольной пазу, вырезанном в ферромагнитной среде, если из |
|||||||||
вестны размеры паза и проводника с |
током в |
нем |
(см.рис.4). |
||||||
заданы |
граничные условия: магнитная |
проницаемость ферромагне |
|||||||
тика |
JJ- |
- |
о° |
, силовая линия на границе У |
= О |
||||
совпадает |
с |
осью |
"X" . |
(Такие |
допущения обычно принимаются |
||||
в подобных задачах |
{_Ъ[ |
) . |
|
|
|
|
|||
bm//w/////w/
РИС. 4
Так как принято, что выпучивание потока из паза нет, то
- к -
можно достроить нижнюю половину области, представляющую зер кальное отражение верхней с током противоположного направ-' лекия* Получили область, симметричную по обеим осям,огра ниченную со всех сторон ферромагнитной средой.Известно.что поле в этом случае удовлетворяет уравнению ііуассона.
д |
% |
. 3aJ?z _ _ ilS1, |
29 |
||
Эх* |
|
Э « а |
" |
|
|
где Лі |
- |
векторный |
магнитный потенциал, |
для, двухмерного поля |
|
он имеет толь; э одну Составляющую, совпадающую по направле
нию с |
током |
|
|
|
|
|
|
|
|
сГ - |
плотность тока в проводнике. |
|
|
|
|
|
|
||
Если поде статической, то |
<Г |
^ConSi, |
|
|
' п 0 |
в с е |
м ^ |
||
сечению проводника. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Известно, что |
магнитный поток ^пронизывающий |
контур і |
|||||||
можно определить По формуле |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Ф = |
Ф Лей. |
|
|
|
|
|
|
3 0 |
|
|
е |
|
|
|
|
|
|
|
ь нашей задаче, если принять за |
начальную |
( |
к |
= |
0) |
||||
силовую линию ту, |
которая совпадает |
с осью |
X , |
|
магнитный |
||||
поток,приходящийся |
на единицу-длины |
паза и ограниченный |
|||||||
начальной линией и линией, проходящей через |
точку |
ff |
|
бу |
|||||
дет численно равен |
составляющей. |
А*.~~~ж-точке, |
jf |
|
.Сле |
||||
довательно, векторный потенциал обладает свойствами пункции
потока, а линии, |
имеющие |
одно и токе значение Йг , |
есть |
||
силовые линии. |
|
|
|
|
|
Известно, что для двухмерного поля |
|
||||
п _ |
дМ |
а |
_ _ |
Ш . |
31 |
ОХ = дУ ' |
ОУ = |
Зое . |
|
||
£ задаче принята бесконечно большая магнитная прони цаемость окружающей паз среды, следовательно, на границе области силовые линии будут перпендикулярны к ней.
ЦГ = В о с = 0 , при |
</«±g, |
з 2 |
U * » - B a s , f l , i i p u |
a c - ± t t , |
|
Итак , будем решать задачу Неймана для уравнения Пуассона.Решение в этом сяучае {2.2 можно искать среди пункций, удовлетворяющих граничным условиям (32)
Выбираем сумму трех функций.
Лг (х.ц) = ъ , у(5& - у г ; + 2 > г У 3 ( б г - У4» V - » * / +
имея в виду симметрии) относительно |
вертикали и различие |
знаков тока в нижней и верхней, половинах области. |
|
Составляем уравнения Ритца, для чего |
подставляем выбранное |
решение в функционал |
|
3 = ПИВ! • і№ї-іл£*и*ь. |
54 |
|
Промежуточные преобразования мы здесь опускаем и Записываем
получившуюся систему уравнений.
і
^ ' о г а Ь 5 л- ^ І ^ і І і ! + ^ |
4 _ , , т п _ |
A
/ад*оГ|! / г і * of. д і ї .
u ЭКЗЕМПЛЯР
С Т А Л Ь Н О Г О ! $ А Л А
- 18 -
/ 7 4 а г - « р Л » .
Здесь обозначено:
П. = 6 b \ d + с ) - ( d S d ' c + d c e - с 9 ) ;
*d*c +d¥+ |
dc^dc+c^ifd'+dc+dV+dtf+dc^d^ |
П і - [ / 5 a - War*&r] [6t(d*c) - (d'+fa +d£+ c3)] ,
Реаая систему (35), получаем величину коэффициентов