книги из ГПНТБ / Некоторые специальные разделы курса теоретической электротехники учеб. пособие
.pdf
|
- |
29 ~ |
|
ЛИТЕРАТУРА |
|
1 . К.Ланцош "Вариационные принципы механики","Мир",1965. |
||
2. |
Л.В.Канторович,В.И.Крылов "Приближенные методы высшего ана |
|
|
лиза", Государственное |
издательство технико-іворетическої |
|
литературы,1949. |
|
3. |
С.Г.аихлин "Вариационные методы в математической физике", |
|
|
-"Наука", 1970. |
|
4. |
Р-.Шехтер "Вариационный метод в инженерных расчетах","Мир", |
|
|
1971. |
|
5.К.Бинс,П.Лауренсон "Анализ и расчет электрических и магнит
ных полей", "Энергия",1970.
- зо -
I I глава.
иШД 10ЧВ4НЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИИ.
В насвоящев время не существует общего метода интегриро вания произвольных нелинейных дифференциальных уравнений и уравнений, с переменными коэ^ициеыяшми.Проблема же решения подобных уравнений шеет большое практическое значение: ведь именно такими уравнениями описываются процессы в электричес ких цепях і нелинейными элементами, применение которых сос тавляет основу /^стинений радиотехники и телевидения, авто матики и телемеханики, вычислительной техники и других от раслей, современной науки и техники.Важность проблемы обус-. лиьила появление большого числа прибливекных методов; часть из них отличается эффективностью Лишь в некоторых конкрет ных случаях, другие достаточно универсальны.
К числу наиоолее универсальных методов относится и. метод точечных, преобразований (кратко "метод точек", "точечный метод"), идея которого была заложена в работе В.ї).Ломоно сова t l ] , а развита и дополнена в трудах Г.К.іІухова [ 2 , 4 , 5 ] ;
Б.А.Борков0кого [3,А ] |
.Как и в |
вариационных методах и мето- . |
дь конечных разностей, |
решение |
здесь строится из однорогих |
конструкт иных элементов» которые органически связаны между собой в вычислительном процессе,Уведение числа, этих элемен тов и' применение электронно-вычислительных- мавин позволяет обеспечить необходимую точность расчета.
Математическую основу метода составляет точечное исчислв-- нве ~ совокупность правил и ^ормул, систематически исполъзущих ІЮНЯЯІІЄ О точечных (решетчатых) функциях. Все уравнения записываются в матрично-векторкой форме.
|
основы "ІОЧЙЧІІОІХ) |
лашс&шн. |
|
І . |
кряиэе |
преобразование. |
|
Если функция J |
( I ) -' сплоаная кривая на рис.1 - на интер |
||
вале (О,Л) |
задана |
дискретної J (о) |
=|"в ,/(1«) = $ , , . . . , |
- 51 -
многомерный вектор
І 1
0 )
1^
называется точечный изображением функции £М |
. £ принципе |
вF можно было включить в случае непериодических функ
ций и компоненту |
fn. = f (Т) |
- |
, но для |
общности это |
||
не сделано |
( ведь |
для. периодических |
функций |
Ль. " |
) . |
|
Операция, нахождения, точечного изображения F |
по ориги |
|||||
налу $(к) |
называется! прямым точечным преобразованием.При |
|||||
этом интервал обычно делят на равные |
части, как и в преоб |
|||||
разованиях |
Лапласа и Лорана |
(дискретных). |
|
|
||
|
|
i, |
t |
|
tll-« |
Т |
|
|
|
|
|
Рис. |
I . |
|
|
2.0 |
б р а т н о е |
п р е о б р а з о в а н и е . |
|||||
Обратное преобразование - |
приближенное определение функ |
||||||
ции 1(1) |
00 ее точечном; изображению - |
сводится! к интер |
|||||
полированию |
: по компонентам |
|
fn-t |
||||
вектора |
F. |
определяется, некоторая функция, совпадающая ч: |
|||||
Ці) |
в точках |
0«,*4 |
• |
*»-« |
и приближаю |
||
щаяся к неИ в |
промежуточных точках ( пунктирная криваві на |
||||||
р и с і ) і |
|
|
„ |
ЛІ |
|
|
|
|
M ) = H / « 4 W W . |
|
ft) |
||||
|
|
— |
sz - |
|
|
|
|
Функции' |
, |
называемы» координатными,должнм отражать |
|||||
существенные стороны решения, должны соответствовать условию |
|||||||
задачи.Так, при рассмотрении периодических |
процессов, цел»со |
||||||
образно в качестве координатных выбирать тригонометрические |
|||||||
функции, что вряд ли удобно при расчете переходных процессов. |
|||||||
В последнем случае часто используются степенные полиноны. |
|||||||
Переходы, типа ( I ) |
в |
(2) принято |
обозначать |
|
|
||
|
H i d ) |
|
_ u . i ( 0 * F . |
|
( 3 ) |
||
первое преобразование; всегда, точное, поров |
|
приближенное. |
|||||
З.'С в о й с т |
в а |
|
т о ч е ч н ы х |
п р е о б р а з о в а |
|||
|
н и й . |
|
|
|
|
|
|
Точечным' преобразованиям |
присуди некоторые общие свойст |
||||||
ва, подобные свойствам преобразований Фурье и Лапласа.При |
|||||||
этом, |
если речь идет |
о нескольких функциях,- |
то имеют в виду |
||||
рассмотрение их на одном: и том ха интервале, |
разделенном аа |
||||||
одинаковое число |
частей. |
|
|
|
|||
С і |
о f о і І |
о л и н е - й н о с т и : |
линейной, комбина |
||||
ции оригиналов соответствует линейная комбинация изображений.
-m. v
Свойство вытекает из правил сложения векторов и умножения-, их км постоянное число:
г |
О./о |
|
/о _ a FV |
|
|
|
|
||
|
— |
= a |
и. |
33 |
- |
|
Jo *<Ро |
|
|
S, +ъ |
• f t |
У X |
Ы~1
Т е о р е м а д и ф ф е р е н ц и р о в а н а » : операции дифференцирования оригинала соответствует умножена* её изображения на матрицу дифференцирования, компонентами ко
торой являются значения производных функции по времена. Используя выражение (,2),получим
|
Применяя теперь |
прямое преобразование (J) в свойство |
||
линейности,находим |
і . |
|
|
|
где |
Д - матрица дифференцирования":. |
|
||
|
|
чіт |
|
|
|
чіт |
ч!(а |
• • • • • • • |
(6) |
|
|
|
||
|
* • * . • |
|
||
|
|
чім- |
* • • * |
|
|
Т е о р е м а |
ї в т е г |
р к р о в а в а я : операнда |
|
интегрирования оригинала соответствует умножение е* изобра жения, на матрицу интегрирование, компонеяталн которой вмявт- с* интегралы от коврдинатных функции.
|
|
|
- it ~ |
|
|
Проинтегрируем (2) |
в |
пределах от 0 |
до |
t |
|
а |
VI |
|
о |
( І ) , |
тогда |
а затем |
используем преобразование |
||||
|
і |
|
|
|
(7) |
T J / / w a t } |
= |
H F . |
|
||
где И |
- матрица |
интегрирования: |
|
||
оо
TR |
(8) |
И=
та
Верхняя строка |
И |
и соответственно верхняя компонента |
изображения; интеграла составлена из нудей- из-за принятых |
||
пределов интегрирования. |
||
Т е о р е м а |
у м н о ж е н а я : произведении ори |
|
гиналов соответствует |
скалярно* произведение их изображении; |
|
(перемножаются, сходственные компоненты). |
||
|
|
(9) |
т.н. компоненти обоих |
векторов вещественны. |
|
Dpi выполнении этой, операции один из векторов может быть заменен диагональной матрицей . Например:
|
|
0 |
...0 |
F = |
О |
S, |
0 |
|
|
|
о . 0 ...
|
|
- |
35 |
- |
|
|
|
|
ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ |
|
|
||||
|
ЦЕііЕїд В ТОЧЕЧНОЙ. ФОРШ |
|
|
||||
|
Основными уравнениями, описывающими состояние электричес |
||||||
кой, цепи в любой, момент времени, |
являются, первый и второй, sa |
||||||
|
|
lt . |
|
|
m |
|
|
коны Кирхгофа |
{ 5 1 1 ц = |
О |
|
для узла и 2£ U« в о |
для |
||
контура),законы электромагнитной |
и электростатической, индукции |
||||||
( |
eft* а |
^ с = Ж? |
^ * а |
Ї Ш £ |
ж в зависимости, |
связываю |
|
щие между собой токи и напряжения, сопротивлений, |
потокосцеп- |
||||||
ления и токи индуктивностей, |
заряды и напряжения емкостей, |
||||||
токи и напряжения источников и преобразователей |
энергии. |
||||||
|
Используя |
преобразование. ( I ) |
и свойство линейности |
(4), |
|||
легко получить уравнение законов Кирхгофа в точечной форме::
для |
узла |
п. |
» |
|
О , |
(10) |
21 |
I * = |
|||||
|
|
к»» |
v |
|
|
|
|
|
m. |
|
|
|
|
для |
контур». |
3£ |
LLk |
- |
0, |
( I I ) |
|
применяя теорему |
дифференцирование! (5), |
можно подучить |
|||
выражения, законов |
электромагнитной, я электростатической, ин |
|||||
дукции в точечной форме: |
|
|
||||
для-индуктивности |
|
U-=X >H', |
(4g) |
|||
для. емкости |
|
|
І |
=ї>0- ; |
(ІЗ) |
|
|
Выведем теперь соотношения, связывающие х точечной |
|||||
форме ток а |
напряжение простейших двухполюсниковсопро |
|||||
тивлений, индуктивности, емкости, источников напряжения, и тока.
Источник напряжения (рис.2,а) - идеальный источник электрической, энергии, напряжение на зажимах которого U . W не зависит от его тока . U(i) называется; злек«родвидодо&
силой, ( в . д . с . ) или задающим напряжением.їочечіша изображе ние этого параметра
|
ц = Т а { а ш } |
= |
U . |
|
||
|
|
|
||||
и.« = и . ( Ы |
схеме замещения, для точечных |
вели |
||||
где и-к = •*»--» |
t a H a |
|||||
чин источник, напряжения изображается. , как на рис.2 , |
б. |
|||||
ІЧНИЇ |
|
|
|
|
|
|
а) |
U |
|
|
8) U- |
|
|
|
|
|
|
|||
Рис.2.
Источник, тока (рис.3,а) - идеальный источник питали», ток которого t ( t ) на зависит от напряжения на его зажимах и называема задающим током. Точечное изображение этой ве-
ЛИЧУЧК |
|
|
v |
|
|
|
|
as) |
|
Ln-t |
|
где |
, а схема |
замещения, источника |
показана, на рис.3,б. |
Ъ) |
|
а) |
|
|
|
• |
в - |
U |
Рис.3 |
а |
|
||
|
|
|
|
|
- |
57 |
- |
|
|
|
|
|
|
Для сопротивления» (резистора. - рис.4,а) справедливо ви |
||||||||||
ражена» |
U = R L |
|
|
, |
где |
R |
& статическое сопротивле |
|||
ние, із случае линейного |
элемента |
R e C O f t t t |
,для. нели |
|||||||
нейного |
R = R(i) |
, |
для переменного |
(управляемого) R - R ( t K |
||||||
Применяя теорему |
умножения (9), в общем случав получим: |
|||||||||
|
|
l l = |
Z R I |
, |
|
|
(16) |
|||
где точечное |
сопротивление |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
Ro |
О |
... |
0 |
(17) |
|
|
Z « = R |
= |
|
|
0 |
Сі |
... |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
О |
0 |
... R«-i |
|
|
-диагональнаа матрица, |
компоненти которой |
|
||||||||
|
|
R = con.si |
|
.если |
сопротивление линейное, |
|||||
|
|
а а к) |
|
,еоли |
сопротивление нелинейное^ |
|||||
|
|
ft ().,,) |
|
, в ели |
сопротивление переменное. |
|||||
Во всех |
случаях |
R К > |
^ |
.Схема замещения сопротивле |
||||||
ния для |
точечных токов и напряжений показала* на |
рис.4,б. |
||||||||
|
|
Я |
|
|
|
|
5) |
|
. |
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CZZH^ |
|
|
|
|
|
|
|
||
U
Рис л
для индуктивности (рис.5,а) используете* соотноеен*!
|
|
|
|
|
- |
|
38 |
- |
|
|
|
|
|
|
|
V e L L |
|
, |
где |
|
L |
- |
статическая, |
индуктивность, |
|||
KOTOjD^e может |
быть постоянно*, переменной или нелинейной. |
||||||||||||
Применяя теорему |
умножения, и формулу |
(12) |
, получим закон |
||||||||||
Ома для |
индуктивности |
в |
точечной, форме: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18) |
где |
Zl |
- |
ЇЇІ- |
|
- |
точечное |
сопротивление |
индуктивности, |
|||||
a |
L |
- точечная, индуктивность, |
представляющая собой |
||||||||||
диагональную матрицу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
и |
|
а |
|
а |
|
(19) |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
и |
|
в |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
О |
о |
... |
Ln-i |
|
|
|
компоненты которой: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
L |
= COtist |
|
, |
если |
индуктивность |
линейка, |
||||||
|
Ціш): |
I *t |
|
|
, |
если |
|
индуктивность |
нелинейнаt |
||||
|
|
|
|
, |
если |
|
индуктивность |
переменна. |
|||||
|
I. |
it к) |
|
|
|
||||||||
При втом |
L.H >й |
|
|
|
|
.Для |
тогог чтобы, построить |
||||||
схему замещения индуктивности,.используем |
интегральную форму |
||||||||||||
закона электромагнитной индукции, что даст возможность |
|||||||||||||
учесть |
в выделить постоянные составляющие: 0ОТОКОСЦЄПЛЄНИЙ |
||||||||||||
¥ 0 |
• тока |
1 в |
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
/ 0 _ |
J t k _ |
и применяя |
||
Отсюда, |
обозначая |
^ ш |
|
|
у |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|