книги из ГПНТБ / Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций

Эффективность функционирования применяется для срав­ нения вариантов систем при проектировании и для проверки их соответствия техническим требованиям.

§ 28. Эффективность функционирования систем кратковременного действия

Обозначим через hs (t) вероятность того, что система крат­ ковременного действия в момент времени t находится в s-u состоянии, а через Ф8 — условный показатель эффективности

•функционирования в s-м состоянии. Тогда эффективность функционирования системы кратковременного действия оцени­ вается по формуле

£(*) = 2 л, М ф,

S

(суммирование производится по всем возможным состояниям системы).

Входящий в формулу условный показатель эффектив­ ности Ф„ представляет собой вероятность выполнения задачи системой при условии, что она находится в s-м состоянии. Конкретная его величина определяется из технологических со­ ображений.

Вероятности состояний hs(t) определяют исходя из пото­

П

М О = П i-i

вероятность состояния, когда отказал только один /-й эле­ мент,

и так далее.

Порядок расчетов по приведенным формулам поясним примером.

Радиолокационная система аэропорта предназначена для осмотра пространства в пределах 180° по азимуту и обслужи­ вается двумя одинаковыми станциями 1 и 2. Станция 1 пере­ крывает пространство в пределах сектора 0— 110°, станция 2— в пределах сектора ПО— 180°. Коэффициент готовности /гг каждой станции равен 0,95. Вероятность обнаружения само­ лета на заданной дальности в зоне действия одной станции равна 0,9.

Требуется определить эффективность функционирования радиолокационной системы, если задачей является обнаруже­ ние на заданной дальности самолета, появляющегося в любой момент времени с равной вероятностью на любом азимуталь­ ном направлении от 0 до 180°.

Рассмотрим возможные состояния системы, их вероятности и условные показатели эффективности.

Состояние So — ни одна из станций не отказала. Его веро­

ния равна 1 — (1 — 0,9)2 = 0,99. Таким образом, условный по­ казатель эффективности

Состояние So — вторая станция отказала: /?2 = 0,0495; Ф2 =

=0,55 (состояние s2 идентично Si). Состояние Si2 —-обе станции отказали:

Л12 = ( 1 — /гГ) (1 - £ г) = 0,0025; Ф12 = 0.

Эффективность функционирования радиолокационной си­ стемы

§ 29. Эффективность функционирования систем длительного действия

Расчетная формула эффективности в этом случае учиты­ вает тот факт, что по ходу работы имеют место переходы из одного состояния системы в другое. Конкретная реализация:

82

процесса переходов состоит из ряда событий — отказов и воестановлений подсистем, происходящих в моменты времени

tu hi hi •••

Эффективность функционирования системы оценивается на участке времени от 0 до t п представляет собой количество переработанного продукта или информации. Обозначим: dh,z(t) — элемент вероятности того, что система в интервале времени от 0 до t имела я-ю реализацию процесса переходов; Ф* (t) — условный показатель эффективности функционирова­ ния для этой реализации процесса переходов.

Тогда эффективность функционирования выражается фор­ мулой

E { t ) = J Ф o*,t

где интегрирование производится по пространству всех воз­ можных реализаций процесса переходов и по времени.

Величину Ф_ (t) определяют из технологических сообра­ жений, dh^ (t) находят исходя из потоков отказов и восста­

новлений системы и ее частей.

Составим формулу Е (t) для случая, когда система состоит из п независимых невосстанавливаемых элементов, каждый из которых может находиться в одном из двух состояний (рабо­ тоспособном или состоянии отказа).

Здесь имеется ограниченное количество возможных реали­ заций процесса переходов, поэтому интегрирование по прост­ ранству переходов заменяется суммированием. Каждой реа­ лизации соответствует определенное слагаемое в общей фор­ муле E(t).

Рассмотрим отдельные реализации и соответствующие сла­ гаемые.

я = 0 (нулевая реализация); за время t ни один элемент не отказал. Здесь

l d h a { t ) = p l {t) р 2 ( t ) . . . p n{t),

о

где pi(t), . . . , рп (/) — вероятности безотказной работы элемен­ тов. Слагаемое

тг

S0 = P i (t) р 2( * ) . . . Р п (t) Ф о = П А (t) Ф0.

1=1

я = 1 (первая реализация); за время t отказал первый элемент, остальные не отказали. Если считать, что отказ эле­ мента произошел на участке времени dt\ вблизи t\, то

d/ц (*,) = а, (t) dhp2(0 ..-рп(О-

Слагаемое

si = J a>\ {ti) dtxp, {t)... pn(t) Ф, (4).

U

Случаи я = 2, 3, . . .. /г соответствуют реализациям, когда отказали второй, третий и т. д. элементы. Формулы для сла­ гаемых находят аналогично случаю я = 1. Учитывая, что вероятности p\{t), ... , p n(t) не зависят от tu всю группу сла­ гаемых si + s2 + s3+ ... + s n можно записать так:

о

Следующая группа реализаций связана с отказом двух элементов. Предположим, что сначала отказал /-й элемент на

Сомножители (1) — (3) в формуле имеют следующий смысл: (1) — вероятность безотказной работы всех элементов, кроме /-го и &-го; (2) — вероятность отказа /-го элемента на участке времени от 0 до 4; (3) — вероятность отказа k-ro эле­ мента на участке времени dt2 вблизи t2. Слагаемое

П

84

Обозначение } ^ { ^ п подчеркивает, что следует взять все

возможные размещения индексов / и /е из п, так как в общем случае условная эффективность зависит не только от номеров отказавших элементов, но и от порядка их отказа:

Реализациям с отказом трех элементов (/-го, k-ro и 1-то) соответствует группа слагаемых

Окончательно эффективность функционирования выража­ ется формулой, представляющей собой сумму найденных и следующих слагаемых, которые соответствуют реализациям с 4, 5 и т. д. отказавшими элементами.

Общее количество слагаемых N в формуле выражается так:

£ А„',

1-0

где Ап*— число размещений из п по i.

Рассмотрим простой численный пример. Система накопле­ ния информации состоит из двух однородных приемников 1 и 2. В случае работоспособности двух приемников пропуск­ ная способность системы оценивается некоторой величиной А, в случае отказа одного из приемников—-величиной В = 0,3А. При' отказе двух приемников сбор информации прекращается. Закон надежности каждого из приемников экспоненциальный

Вероятности безотказной работы приемников

Л (t) = Р 2 (t) = exp ( — Х.0,1 ^ - ) = 0,905 .

85

Применяя выведенную формулу для оценки эффективности, получим

Е (/:) = 0,905-0,905/^+ 2 0,905-0,905 X 0,905

Коэффициенты 2 появились в формуле в связи с тем, что приемники одинаковые и случаи я = 1 и л = 2, а также я — 12 и я = 21 идентичны.

После вычислений

E(t) = 0,927At.

Г Л А В А 6

ИСПЫТАНИЯ АППАРАТУРЫ

§ 30. Виды испытаний

Все расчеты надежности в конечном итоге основаны на экспериментальных данных. Эти данные накапливаются как в процессе эксплуатации аппаратуры по назначению, так и во время специальных испытаний.

Несомненно, что при работе аппаратуры в реальных усло­ виях получаются наиболее достоверные данные о надежности. Поэтому на предприятиях ведется учет отказов, а заводы-из­ готовители собирают сведения о надежности своей продукции.

Полученные таким путем данные имеют один существен­ ный недостаток: они относятся к сравнительно старой, часто морально устаревшей аппаратуре. Расчеты же надежности особенно необходимы для новых, проектируемых устройств.

Чтобы сравнительно быстро получить данные о надеж­ ности новых изделий, их подвергают испытаниям.

Различают несколько видов испытаний по назначению.

Приемно-сдаточные испытания позволяют убедиться, что изделия имеют надежность не хуже заданной.

Определительные испытания проводят с целью найти ко­ личественные характеристики надежности изделий.

86

Испытания на влияние внешних факторов позволяют убе­ диться, что аппаратура сохраняет надежность в тяжелых условиях эксплуатации.

Испытания того или иного назначения могут быть по-раз­ ному организованы. Их можно вести, например, в течение за­ данного времени или до появления заданного количества от­ казов, или с учетом и времени, и отказов. В любом случае до­ статочно точные и достоверные данные желательно получить при умеренных затратах времени и оборудования. Сущест­ вует математический аппарат, позволяющий провести соот­ ветствующие оценки и правильно выбрать количество изделий и время их испытания. Именно математические вопросы орга­ низации испытаний затрагиваются ниже в § 31, 32.

Особое место занимают так называемые ускоренные испы­ тания, когда аппаратура ставится в гораздо более тяжелые условия, чем при реальной эксплуатации (высокая темпера­ тура, коэффициенты нагрузки и т. д.). При этом интенсив­ ность потока отказов возрастает, что позволяет сравнительно быстро накопить данные о надежности. Однако при ускорен­ ных испытаниях необходимо доказать подобие процесса по­ явления отказов при испытании и нормальной эксплуатации,

.а также обосновать формулы для пересчета результатов.

§ 31. Организация приемно-сдаточных испытаний

Введем несколько понятий.

Партия изделий — совокупность N экземпляров изделия

•одного типа, изготовленная по единой технологии без сущест­ венных схемно-конструктивных изменений.

Выборка — совокупность я экземпляров изделия, случай­ ным образом взятая из партии.

Эргодическое свойство аппаратуры заключается в том, что испытания большого количества экземпляров изделия в тече­ ние некоторого времени можно заменить испытаниями мень­ шего количества экземпляров в течение длительного времени. С учетом эргодического свойства аппаратуры расчетный объем выборки определяется следующим образом:

где ta — время испытания; t — время работы аппаратуры по назначению в реальных условиях.

Во всех дальнейших выкладках учитывается именно рас­ четное значение объема выборки.

Цель приемно-сдаточных испытаний— принять или забра­ ковать партию изделий на основании результатов испытания

87

выборки. Некоторое количество ненадежных изделий в партии допускается, но оно не должно быть слишком велико.

Существует вероятность того, что в выборку попадает не­ пропорционально большое количество ненадежных изделий, и хорошая партия будет забракована. Эта вероятность называ­ ется риском поставщика и обозначается через а.

Существует также вероятность, что в выборку попадает не­ пропорционально большое количество надежных изделий, и плохая партия будет принята. Эта вероятность называется риском заказчика и обозначается через (3.

Испытания следует организовать таким образом, чтобы риск поставщика и риск заказчика не превышали согласован­

х — целое число. Линия исходит из начала координат и неко­ торое время проходит в средней области диаграммы — об­ ласти продолжения испытаний. Пока линия не вышла из этой области, решение о приемке (браковке) не выносится и испы­ тания продолжаются. Как только линия попадает в область приемки или в область браковки, выносится соответствующеерешение по результатам испытаний. Чтобы в отдельных слу­ чаях испытания не затягивались, область продолжения испы­ таний ограничивают по х и t. Тогда испытания называют усеченными последовательными.

Три указанных вида испытаний имеют свои достоинства а недостатки.

88

Расчеты показывают, что усеченные последовательные ис­ пытания предпочтительнее других по средним значениям вре­ мени испытания и количества отказавших образцов.

Испытания на заданное время предпочтительнее других по максимальному времени принятия решения. Это существенно, если испытания ведутся в условиях дефицита времени.

Испытания на заданное количество отказов предпочти­ тельнее по максимальному количеству отказов, необходимому для принятия решения. Это важно, если испытуемые изделия дороги и дефицитны.

§ 32. Расчет объема партии и приемочного числа при испытаниях на заданное время

Составим формулу для определения вероятности того фак­ та, что количество отказов при испытании выборки окажется меньше или равно приемочному числу. Эту вероятность обо­ значим Р (х ^ .с).

Предварительно найдем вероятность того, что число отка­ завших деталей в выборке окажется равно k:

P [x = k) = C kqk { \ - qy - k,

где q — вероятность отказа одной детали за время испытаний,- п — объем выборки.

Теперь можем записать

Р ( х < с ) = % ft—о

Далее следует связать эту вероятность с риском поставщика а и заказчика |3.

Обозначим через q3 наибольшую вероятность отказа, еще удовлетворяющую заказчика, и вычислим

р (х < c)\q=Q3-

Полученная вероятность отражает возможность принять изделия, находящиеся на границе допустимой надежности, и,, таким образом,

Обозначим через qn вероятность отказа, на которую ориенти­ руется поставщик при изготовлении изделий. Это может быть расчетная величина, на которую ориентирована технология производства, или величина, предварительно эксперименталь­ но установленная поставщиком для близких конструкций из-

89'