книги из ГПНТБ / Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций

Под основным (последовательным) соединением элемен­ тов понимают такое, когда отказ одного любого элемента ве­ дет к отказу всей системы. Основное соединение часто встре­ чается в технике. Так, например, соединены запоминающее,

•арифметическое и управляющее устройства ЦВМ или блок питания, двигатель, усилитель, сельсины и корректирующее звено в следящей системе. Условное обозначение основного ■соединения элементов показано на рис. 4,а.

Параллельным соединением элементов называют такое, когда отказ всей системы наступает только при отказе всех ее элементов. Отказ одного или нескольких (но не всех) элемен­ тов здесь не ведет к отказу системы. Условное обозначение параллельного соединения показано на рис. 4 ,б.

Можно условно представить, что эти модели составлены из предохранителей. Если элемент исправен, моделирующий предохранитель проводит ток, если элемент отказал, предо­ хранитель перегорает. Признаком работоспособности системы является прохождение тока между точками 1 и 2.

Удобство такого подхода иллюстрируется примерами, по­

В природе не существует эталона надежности, ее нельзя измерить никаким прибором. Однако имеются признаки, по ко­ торым можно судить о надежности. Это, например, время ра­ боты до отказа, количество отказов в единицу времени, время ремонта и т. д. Такие признаки называются критериями на­ дежности, а численное значение критерия называется количе­ ственной характеристикой надеокности.

10

Количественные характеристики отражают закономерности случайных явлений. Они могут быть получены в связи с мас­ совым выпуском и применением аппаратуры.

Количественные характеристики позволяют сравнивать ва­ рианты систем по надежности, оценивать срок службы изде­ лий, необходимое количество запасных частей, частоту профи­ лактики и вести другие инженерные расчеты.

Ни одна из количественных характеристик не определяет надежность устройства исчерпывающим образом. Поэтому ши­ роко применяемое выражение «расчет надежности» следует понимать условно, имея в виду расчет количественных харак­

устройства до отказа. Количественные характеристики в этом случае представляют собой различные формы выражения за­ кона распределения величины т.

Введем пять количественных характеристик надежности перемонтируемых устройств, определяя их с позиций теории вероятностей.

Вероятность отказа, обозначаемая в теории надежности как Q(t), — это функция распределения случайной величины т. Раскрывая словами содержание понятия «функция распре­ деления», можно сказать, что вероятность отказа — это вероят­ ность того, что случайная величина т примет значение, меньшее или равное t. Можно привести и такое определение: Q(t) — это вероятность возникновения отказа за время, меньшее или равное t.

На рис. 6 показана типичная кривая вероятности отказа. Разные устройства, обладая разной надежностью, характери­ зуются различными по виду кривыми. Однако при любых об­ стоятельствах вероятность отказа обладает следующими тремя свойствами:

11

1) Q(i) = 0 при t = 0. Это имеет место потому, что изуче­ ние устройства начинают всегда в момент, когда оно исправ­ но, и отказ за очень малое время маловероятен;

неограниченном увеличении времени вероятность отказа стре­ мится к единице;

3) Q(t) как всякая функция распределения есть неубы­ вающая функция времени.

Вероятность безотказной работы, обозначаемая P (t) , опре­ деляется следующим образом:

P(t) = l - Q ( t ) .

P ( t ) — это вероятность того, что случайная величина т примет значение, большее /, или вероятность невозникновення отказа за время t.

Типичный вид кривой P(t) приведен на рис. 6. Вероятность безотказной работы обладает следующими

свойствами:

1)при /= 0 P(t) = 1;

2)прнг^-voo Р(г!)—>-0;

3)P{t) есть невозрастающая функция времени.

Частота отказов a(t) — это плотность распределения слу­ чайной величины т. По определению плотности распределе­ ния

участка.

Первый участок — это так называемый период приработки аппаратуры. Непосредственно после включения изготовленной аппаратуры проявляются скрытые дефекты производства, не обнаруженные техническим контролем. Частота отказов на первом участке велика, . но постепенно снижается, так как большая часть дефектов обнаруживается вскоре после начала эксплуатации. Второй участок соответствует времени нормаль­ ной эксплуатации аппаратуры. Частота отказов здесь невели-

12

ка и медленно снижается. Третий участок соответствует периоду старения аппаратуры; из-за изменения (ухода) внут­ ренних параметров устройства частота отказов повышается. В конце третьего участка частота отказов снова снижается, так как вероятность безотказной работы к этому времени очень мала.

В связи с постоянным повышением качества аппаратуры, особенно радиоэлектронной, длительность второго участка

вычисленная для некоторого момента времени t плотность вероятности отказа при условии, что устройство исправно про­ работало в течение времени t.

Полезно связать опасность отказа с другими количествен­ ными характеристиками надежности.

Предположим, что устройство исправно проработало в те­ чение времени t и нас интересует вероятность отказа на уча­

13

стке времени от t до t + At. С одной стороны, искомую вероят­ ность можно выразить через вероятность отказа, используя, свойства функции распределения, как

Q (t + A £ ) - Q ( t) .

С другой стороны, ту же величину можно определить как. вероятность произведения двух событий А и В: А — факт без­ отказной работы в течение времени t; В — отказ на участке от t до t + At. Переходя к вероятностям событий А и В, имеем, искомую вероятность в виде

Разделив обе части равенства на At и переходя к пределу,, получим

Левая часть последнего выражения есть производная отвероятности отказа, т. е. частота отказов. Предел в правойчасти есть плотность условной вероятности, вычисленная в точке t, т. е. опасность отказа. Таким образом,

a ( t ) = P ( t ) X ( t ) или 4 0 = - £ $ - •

Последнее выражение объясняет типичный вид кривой X(t)r приведенный на рис. 7. Имеется в виду, что графики частоты: и опасности отказа относятся к одному и тому же устройству.

стоятельство, что для многих технических элементов и- устройств на участке нормальной эксплуатации она имеет по­ стоянную величину. Именно указанная особенность определяет широкое применение этой количественной характеристики.

14

Обе части последнего равенства проинтегрируем в пределах от нуля до t

безотказной работы Т. Это математическое ожидание случай­ ной величины т.

Среднее время безотказной работы может быть выражено через другие количественные характеристики.

Воспользуемся известной в теории вероятностей формулой для вычисления математического ожидания случайной вели­ чины через плотность ее распределения

те

М (х) = J x f{x ) d x .

В нашем случае случайной величиной является время, а плот­ ность распределения обозначена a(t). Имеем

со

15.

Первое слагаемое этого выражения равно нулю: при t = 0

P{t), имеющих место на практике, удаётся раскрыть неопре­ деленность и доказать, что

Iim tP (t) — 0.

О

Окончательно имеем

T = ] P { t ) dt.

о

В графической интерпретации среднее время безотказной ра­ боты пропорционально площа­ ди, ограниченной кривой P(t) и осями координат (рис. 9).

§ 4. Связь между количественными характеристиками и их применение

Как уже указывалось, рассмотренные количественные ха­ рактеристики надежности являются различными формами вы­ ражения закона распределения времени работы до отказа. Естественно, что они связаны между собой: имея одни харак­ теристики, можно вычислить другие. Формулы связи характе­ ристик:

Q ( t ) + P { t ) = \;

a (t) = Q' (t) = - P ' ( t ) -

Однозначная связь характеристик позволяет утверждать, что они содержат одинаковую информацию о надежности. Не­ которое исключение представляет среднее время безотказной работы, характеризующее надежность менее подробно. Так, на рис. 9 приведен пример кривых вероятности безотказной работы двух систем 1 и 2. Системы неодинаковы: первая пред­ почтительнее при малых временах работы. Кривые P{t), а также графики других характеристик, если их построить, от­ ражают различие систем. А вот средние времена безотказной

•16

Однако частота отказов предпочтительнее по следующей при­ чине. Соотношение

Q (t) = a (t) cit

6

позволяет непосредственно по графику частоты, измеряя соот­ ветствующую площадь, найти вероятность отказа за то или иное время. Таким путем легко, например, подсчитать ожидае­ мый процент браковки деталей при тренировке.

§ 5. Определение количественных характеристик надежности опытным путем

Для пояснения смысла количественных характеристик на­ дежности полезно указать порядок проведения и обработки результатов эксперимента по их определению.

Опыт организуется следующим образом. N образцов изде­ лия, характеристики которого требуется определить, вклю­ чают в работу в условиях, близких к существующим на прак­ тике. Для получения точных и достоверных результатов коли­ чество образцов должно быть достаточно велико; эта сторона дела подробнее будет рассмотрена в гл. 5.

По ходу опыта отказавшие образцы не восстанавливают и не заменяют новыми.

Через определенные промежутки времени At фиксируют количество образцов n(t), отказавших к моменту t, а также количество образцов An(t), отказавших за время от t — (At/2) до t + (At/2). Результаты сводят в таблицу, примером кото­ рой является табл. 2 (N = 1000).

Количественные характеристики далее вычисляют по точ­ кам для различных моментов времени, причем используются формулы

Звездочка в обозначениях подчеркивает то обстоятельство, что из-за ограниченности объема эксперимента он дает только оценку, а не точное значение соответствующих вероятностей и плотностей. Лишь при увеличении количества образцов оцен-

18

ки приближаются (сходятся по вероятности) к соответствую­ щим величинам. По той же причине построенные по точкам экспериментальные характеристики не оказываются плавными кривыми. Замена полученной по опытным данным ломаной линии на плавную кривую, отражающую только существенные черты характеристики, назы­ вается в теории вероятностей выравниванием статистиче­ ских рядов. На рис. 11 пока­ заны характеристики, по­ строенные по данным табл. 2 и далее выравненные.

Для опытного определе­ ния среднего времени без­ отказной работы следует провести вычисление по фор­ муле

п

V

словесным описанием приведенных в настоящем параграфе формул.