книги из ГПНТБ / Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций

Приведем теперь основные расчетные формулы для рас­ сматриваемого метода:

где гjit — коэффициенты корреляции между i-м и k -м парамет­ рами.

Обозначение i < k во второй сумме означает, что нужно взять все возможные сочетания индексов. Все производные

вычисляются при А', = х,, х2 =- х2, .. . , хп = хп.

в виде ряда Тейлора и справедливо с теми же оговорками.

Из всех коэффициентов корреляции большая часть равна нулю, так как многие параметры независимы между собой. Для зависимых параметров коэффициенты корреляции обыч­ но приходится определять экспериментально.

Вероятность выполнения /-го условия работоспособности определяют по формуле

где а, b — нижнее и верхнее допустимые значения определяю­ щего параметра; Ф *(х )— интеграл, значения которого берут из таблиц (см. приложение 3).

Если бы определяющие параметры были независимы,, вероятность выполнения всех условий работоспособности можно было бы определить по формуле

т

Так как на практике определяющие параметры обычно за­ висимы, формула дает приближенную, чаще всего занижен­ ную оценку.

Приведенные расчетные формулы соответствуют одному моменту времени; однократный расчет по ним дает точку кри­ вой P(t). Чтобы учесть старение деталей, необходимо, зная темп старения, рассчитать математические ожидания и дис­ персии внутренних параметров для различных моментов вре­ мени и повторить расчет. Окончательная кривая строится поточкам.

40

Полученную вероятность, строго говоря, нельзя считать вероятностью безотказной работы, поскольку при t = 0 она не равна единице, в то время как в результате выходного конт­ роля изделий при производстве всегда вероятность безотказ­ ной работы в начальный момент равна единице. Однако рас­ считанную вероятность можно принять за оценку вероятности безотказной работы, если при t = 0 она близка к единице.

Приведенная методика может быть также использована для расчета процента выхода годных изделий при массовом производстве (серийноспособности). В этом случае достаточно вычислить P(i) при t = 0.

Применение цифровых вычислительных машин позволяет рассчитать надежность при постепенных отказах для любых законов распределения внутренних параметров. Здесь вполне пригоден машинный метод расчета, извест­ ный под названием Монте-Карло.

Суть метода состоит в том, что в машине генерируются случайные значения параметров х\, . . . , х„. Для каждого сочетания параметров не­ посредственно по формуле фДхь ...

. .., хп) находится реализация опре­ деляющего параметра. Эта про­ цедура проводится многократно.

Полученные значения <pj оформляются в гистограмму, па которой легко находится вероятность попадания их в допу­ стимые пределы.

Одним из интересных моментов расчета является генера­ ция случайных значений параметров в соответствии с их зако­ нами распределения. Эту задачу можно решить, например, следующим образом. Пусть закон распределения параметра задан в виде гистограммы (рис. 20). Изменяя масштабы, раз­ местим гистограмму в пределах квадрата со стороной, равной единице. Среди стандартных подпрограмм машины, как пра­ вило, имеется программа генерации случайных чисел с равно­ мерным законом распределения в пределах от нуля до еди­ ницы. Обычно она очень проста, например:

умножить Л на В;

взять у произведения 3 младших десятичных разряда в ка­ честве случайного числа;

■умножить произведение на В и т. д.;

Аи В — специально подобранные константы.

Для того чтобы перейти к заданному закону распределе­ ния, случайные числа генерируют парами. Канадой паре соот­ ветствует точка на гистограмме. Если точка попала в заштри­

41

хованную область, соответствующее значение принимают для расчета, если не попала — отбрасывают.

Известная трудность расчета по методу Монте-Карло свя­ зана с определением момента окончания вычислений. Количе­ ство реализаций считается достаточным, если при его увеличе­ нии, например вдвое, гистограмма меняется незначительно. Обычное количество реализаций составляет несколько сотен.

При расчете надежности сложных устройств с большим ко­ личеством внутренних параметров возможность расчета мето­ дом Монте-Карло определяется объемом памяти и быстродей­ ствием машины.

Расчет надежности при постепенных отказах методами, описанными в данном параграфе, находит широкое примене­ ние. В первую очередь это:

1) расчет вероятности безотказной работы устройств, со­ бранных из деталей с существенным разбросом параметров (случай часто встречается в практике проектирования микро­ миниатюрных электронных устройств);

2) расчет надежности в случае, когда в явном виде задан темп старения деталей.

§ 14. Построение областей работоспособности

Этот метод расчета надежности при постепенных отказах использует представление состояния устройства в виде точки в многомерном пространстве, координатами которого являются определяющие параметры. Часть пространства соответствует таким сочетаниям параметров, при которых устройство рабо­ тоспособно (область работоспособности). Отказ моделируется переходом изображающей точки через границу области рабо­ тоспособности.

Процесс построения областей работоспособности проиллю­ стрируем на примере запоминающего устройства на магнит­ ных сердечниках.

В цифровой технике применяются магнитные сердечники в

петлю гистерезиса, близкую к прямоугольной. При отсутствии напряженности магнитного поля Я материал может находиться в одном из двух состояний, одно из которых принимают за единицу, другое — за ноль (рис. 21,6). Если создать напря­ женность поля, меньшую |#i|, то после снятия поля состояние сердечника не изменится; для надежного изменения состояния необходимо создать напряженность больше |Я 2].

Для запоминания большого количества чисел в двоичной системе счисления собирают специальную конструкцию (мат­ рицу) из сердечников и медных шин. Сердечники закреплены

42

на пересечении вертикальных и горизонтальных шин (рис. 22). По шинам можно посылать токи, создающие определенные напряженности магнитного поля. Токи в зависимости от на­ правления стремятся перевести сердечник в состояние 1 или О, причем токи горизонтальных и вертикальных шин могут дей­

ствовать согласно или встречно.

В одной из систем запоминающего устройства (ЗУ) для записи 1 в любой сердечник матрицы подают токи Iv и 1Х на

Рис. 22

пряженности Н\). Суммарное действие двух токов 1Х и 1У на выбранный сердечник создает в нем напряженность, большую Яг, и сердечник намагничивается в состояние 1. Остальные сердечники в соответствующей горизонтальной и вертикальной шинах окажутся под воздействием токов меньше Л и не будут выбраны (будут полувыбраны).

Очевидно, что для работоспособности устройства необхо­ димо определить требования к амплитуде токов 1Хи 1У. Они-то в данном случае и оказываются определяющими параметра­ ми: ф1 = 1Х; ф2 = /у.

Необходимо:

1) Ix+ I y > h , чтобы намагнитить выбранный сердечник;

2)Ix<Cl 1, чтобы не перемагнитить полувыбранные сердеч­ ники вертикальной шины;

3)1У< 1 1, чтобы не перемагнитить полувыбранные сердеч­ ники горизонтальной шины.

Построим область работоспособности (рис. 23,а). В дан­ ном случае она лежит в плоскости 1Х и /„. Границы штри­ хуются в сторону неработоспособности. Величины /ь /2 счи­ таются заданными. Проектируя устройство, необходимо обес­ печить величины токов 1Х и /у в пределах области работоспо­

собности.

43

Метод хорош наглядностью при сравнении вариантов кон­ струкции. Например, в одном из типов запоминающего устройства подаются разнополярные импульсы во все верти­ кальные шины, причем sign Ix = sign Iv для выбранного сер­ дечника и всех, лежащих в одной с ним вертикальной шине;, sign 1Х— —sign 1У для остальных вертикальных шин.

Рис. 23

Условия работоспособности для амплитуд импульсов тока г

1)+ Iy^>h\

2)/*</,;

3)|/*-/у|<Л .

температуры среды сужается петля гистерезиса, уменьшаются токи /ь /2 и область работоспособности смещается к началу координат.

Расчет с использованием областей работоспособности при­ меняется при проектировании устройств с оптимальными по надежности параметрами.

44

§ 15. Расчет надежности при перемежающихся отказах

Мы определили во введении перемежающийся отказ как ряд следующих друг за другом сбоев, а сбой — как отказ, ра­ ботоспособность после которого восстанавливается без вме­ шательства оператора, «самим» устройством.

Причиной сбоев обычно являются флуктуации параметров, прежде всего питающих напряжений, климатических воздей­ ствий и паразитных связей. Особенно характерны сбои для цифровых вычислительных машин.

Расчет надежности при перемежающихся отказах основан на представлении определяющих параметров в виде случайной функции (случайного процесса) ф(0. Как известно из теории вероятностей, случайной функцией называется функция, кото­ рая в результате опыта может принять тот или иной вид, неиз­ вестно заранее, какой именно. Конкретный вид, принимаемый случайной функцией в результате опыта, называется ее реали­ зацией. Если над случайной функцией произвести группу опы­ тов, то получим семейство реализаций (рис. 25).

В теории надежности оперируют в основном со стационар­ ными случайными функциями. Они имеют вид непрерывных случайных колебаний вокруг некоторого среднего значения, причем ни средние амплитуды, ни характер колебаний не из­ меняются с течением времени.

Стационарные случайные функции достаточно полно ха­ рактеризуются двумя величинами: /(ф)— одномерный закон распределения; — корреляционная функция.

Одномерный закон распределения получается, если в какойлибо момент времени t фиксировать случайную величину амплитуды реализаций фД) и построить плотность распреде­ ления этой величины. Можно сказать, что /(ф) ■— это плот­ ность распределения величины ф(£) в сечении случайной функции.

Для стационарной функции одномерный закон не зависит от времени.

Корреляционная функция в общем случае определяется для каждой пары значений времени t и ? как корреляцион­ ный момент соответствующих сечений случайной функции:

Л_ оо

Для стационарной функции имеют значение не моменты времени t и i', а только разность т между ними, и поэтому вся корреляционная функция обозначается А^(т).

45

На рис. 26 показан пример представления определяющего параметра в виде случайной функции. При выходе <р(0 за допустимые пределы а и b происходит отказ.

Если функция стационарна, а одномерный закон нормаль­ ный, удается вывести простую формулу 1 для средней часто­ ты отказов со.

В дальнейшем считаем, что среднее значение функции равно нулю. Это предположение упрощает формулы, но не влияет на общность рассуждений, так как всегда реальную функцию и пределы а и b можно изменить на постоянную ве­ личину и вести расчеты для новой функции.

Рис. 25

Найдем вероятность того, что за время dt вблизи t функ­ ция <p(t) превысит предел а. Это равносильно тому, что в мо­ мент t функция была меньше или равна а, но к моменту t + dt превышала а:

Лс?(г?+ М) > а].

Так какф(^) непрерывна, можем записать

9 (t + M) = <P(t) + - ^ - d t = < ? {t) + v (t) dt.

Искомую вероятность теперь можно выразить так:

Pi \a — v (t) d t < y (t) < а ] .

В последнем выражении все переменные относятся к одному и тому же моменту времени; поэтому от исследования случай­ ной функции молено перейти к исследованию системы случай­ ных величин ф(t) и v(t) при фиксированном времени.

Введем плотность распределения /(ф, v) системы случай­ ных величин ф(/), v(t). Нас интересует вероятность попада-

1 В общем случае такие задачи решаются в теории выбросов — раз­ деле теории случайных функций.

46

а

If ( ‘? , v ) d < ? = f ( a , v ) v { t ) d t .

а—и (О dt

Поэтому

Аналогично рассуждая, получим вероятность того, что за dt вблизи t произойдет отказ за счет ухода функции за предел Ы

о

P 2= — dt j f ( b , v) v (t)dv.

00

При выводе формулы следует учесть, что для такого отказа необходима отрицательная величина v(t).

С другой стороны, вероятность отказа за время dt может быть выражена через среднюю частоту отказов со:

Q = <odt.

Очевидно, что Q = Pi + Po, и окончательно

Конкретизируем последнюю формулу в предположении,, что случайный процесс стационарен и одномерный закон распределения нормален. Предполагается также известной корре­ ляционная функция.

В теории случайных функций доказывается, что в этих условиях случайный процесс v(t), полученный дифференциро­ ванием ср(0, будет стационарным с нормальным одномерным, законом

причем дисперсию можно найти по корреляционной функции

a,V 2

47

Тогда

Обозначим через А первый интеграл и вычислим его, для

•чего умножим и разделим это выражение на о»:2 .

Теперь интеграл берется заменой переменной

Окончательно после подстановки пределов

аз

А — •ехр -

2а~

Аналогичным приемом находим и второй интеграл, н частота отказов выражается простой формулой

Применить полученную формулу можно по-разному. Вопервых, она годится для анализа надежности работающего устройства. Величины дисперсий определяются эксперимен­ тально, а частота отказов рассчитывается. Результаты полу­ чаются быстрее и достовернее, чем при непосредственном под­ счете числа сбоев. В частности, формула пригодна для доказа­ тельства практической невозможности сбоя при имеющемся

..характере случайного процесса.

Во-вторых, формулу можно использовать для расчета на­ дежности проектируемых устройств. В этом случае необходи­ мые величины дисперсий находят на основании математиче-

-48

ского описания случайных процессов x'i(^), x2(t), xn(t) изменения внутренних параметров устройства и зависимости

? = ? ( * ! , * 2 . • Х п ) -

В расчетах используют спектральное представление случай­ ных функций.

В любом случае требуются экспериментальные данные о случайных процессах в устройстве или его элементах. Недо­ статок таких данных ограничивает применение описанного ме­ тода расчета надежности при перемежающихся отказах.

Г Л А В А 3

КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЕЖНОСТИ ВОССТАНАВЛИВАЕМЫХ УСТРОЙСТВ

§ 16. Потоки отказов и восстановлений

До сих пор мы изучали надежность невосстанавливаемых устройств, эксплуатация которых прекращается после первого отказа. Однако в технике широко применяются и восстанав­ ливаемые устройства, диаграмма работы которых показана на рис. 27. По ходу эксплуатации здесь чередуются отказы и вос­ становления.

Как известно, отказ есть случайное событие и время рабо­ ты до отказа есть случайная величина. Время восстановления (ремонта) в большинстве случаев также является случайной величиной, так как причины отказов различны и на их выясне­ ние и устранение уходит неодинаковое время.

Таким образом, при эксплуатации восстанавливаемых устройств имеют место два потока случайных событий — по­ ток отказов и поток восстановлений. Математическое описа­ ние этих потоков и будет наиболее полной характеристикой надежности восстанавливаемых устройств.