книги из ГПНТБ / Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций
.pdfвремя t. Гипотеза Н\ состоит в том, что исправны все подси стемы, кроме одной. Вероятность этой гипотезы
.. . pt i - p , q 2p |
, |
-\-PiPiPt . . . q v |
Слагаемые этой формулы соответствуют |
предположениям |
о том, что отказала именно первая, вторая и т. д. подсистемы. Поскольку подсистемы одинаковы,
Р ( Н , ) = 1Яр 1-\
Гипотеза Н2 состоит в том, |
что исправны все подсистемы, |
кроме двух: |
|
Р ( Я , ) = |
С ; У / / - 2 . |
По аналогии для гипотезы Hi, предполагающей наличие г от казавших подсистем, имеем
р ( щ |
= с м р 1- 1. |
|
Имеет смысл рассмотреть гипотезы от Н0 до |
гипотезы |
|
с большим индексом уже |
не соответствуют предположению |
|
о работоспособности резервированной системы. |
|
|
Выдвинутые гипотезы представляют собой |
несовместные |
события, поэтому искомая вероятность безотказной работы
i=0 С№ р 1- 1.
Формулу можно преобразовать, учитывая, что q = 1—р. Вели чину (1 — р)' разложим как бином Ньютона:
(1 - р У = 2 ( - 1) ¥ с р . /=о
Для вероятности безотказной работы резервированной систе мы теперь получим
г-л |
|
г-л |
i |
1=0 |
/=о |
■2 Q 2 ( - \ у с ; р 1~и / . |
|
I=0 |
д=о |
||
В случае если для подсистем справедлив |
экспоненциальный |
||
закон надежности с опасностью отказов %, |
|
||
Р с у = 2 |
с / s |
(- IУ'С/ехр [— \(l — i + j ) t\. |
|
(=0 |
/=о |
|
|
Используя последнее выражение, можно по известным пра вилам найти и другие количественные характеристики надеж ности.
70
Особенности выигрыша надежности при резервировании с дробной кратностью рассмотрим на следующем примере. С целью повышения достоверности результатов измерения ис пользуют три прибора. Показания их принимаются во внима ние, если они совпадают хотя бы по двум приборам. В про тивном случае вся система измерения считается отказавшей. Таким образом, имеем I = 3, h = 2.
Используя полученные выше формулы, находим
Pc (t) = 2 Cs' 2 ( - |
i y c / е х р |
[ - М3 - i + j ) t] = |
|
i - 0 |
j =о |
|
|
= exp(— 3Щ -j- 3 [exp(— 2X^) — exp(—3X^)] = |
|||
П З |
’ |
' J ^ o |
j - i |
|
|
|
i^i |
= Зехр (— 2U) — 2exp (— 3W).
Далее находим частоту от казов
«с (*) = - Р / (*) =
=бХехр (— 2Щ —
—бХехр (— ЗМ).
Отметим, что a c (t) = 0 при t = 0 и при t —у оо.
Вычислим среднее время безотказной работы
со
Tc = $ P c(t)dt =
о
где Т — среднее время безотказной работы одного прибора.
Теперь можно строить графики количественных характери стик (рис. 42). Вместе с вероятностью безотказной работы исследуемой системы (линия 1) для сравнения пунктиром по казаны аналогичные кривые для нерезервированного прибора (линия 2) и для случая резервирования с целой кратностью, равной двум (линия 3).
Кривая 1 вблизи точки %t = 0 идет горизонтально, так как здесь ac (t). В дальнейшем она пересекает линию 2, потому;
что ограничиваемая ею площадь равна |
Г, т. е. меньше, чем |
71
для нерезервированного прибора. Точки пересечения линий 1 и 2 определяются из уравнения
Зехр (— 2It) — 2ехр (—3U) = exp (— U).
Его решения: |
|
|
|
|
|
1) |
ехр (—Xt) |
= 0 , |
Xt —> оо; |
||
2) |
exp (—Xt) |
= |
1, |
Xt = |
0; |
3) |
ехр (—Xt) |
= |
0,5, |
Xt = |
In 2. |
Непосредственно из графиков по сходству кривых 1 и 3 следует, что при резервировании с дробной кратностью в основном остаются справедливыми общие выводы по вы игрышу надежности. Особенностью здесь является то обстоя тельство, что по некоторым характеристикам и при некотором: времени работы может получиться не выигрыш, а проигрыш в надежности.
§ 24. Резервирование с голосованием
Структурная схема системы, использующей резервирова ние с голосованием, показана на рис. 43. Вместо одного устрой ства используется несколько. Выходные сигналы устройств
Рис. 43 |
Рис. 44 |
|
X], х2, . .. , хп поступают на мажоритарный орган (МО)', |
назы |
|
ваемый также кворум-элементом или анализатором по |
боль-- |
шинству. Мажоритарный орган вырабатывает свой выходной, сигнал х такой величины, какой ее имеет большинство сигнаЛОВ - j Х-ц-
Резервирование с голосованием применяется для дискрет ных устройств, когда сигналы могут принимать значения только 0 или 1. Наибольшее распространение имеют системы, использующие при голосовании закон «два из трех».
Резервирование с голосованием можно рассматривать как частный случай резервирования с дробной кратностью (ср.. с примером в конце § 23). Особенность здесь в том, что про цедура голосования производится автоматически, с помощью*
72
мажоритарного органа, надежность которого влияет на надеж ность системы в делом.
Количественные характеристики надежности при резерви ровании с голосованием легко получить, рассматривая систему как последовательное соединение мажоритарного органа и си стемы резервирования с дробной кратностью. Очевидно, чтопри низкой надежности мажоритарного органа выигрыш в на дежности получить невозможно.
Основное достоинство рассматриваемого метода резервиро вания — повышение достоверности результатов.
На рис. 44 показана логическая схема мажоритарного ор гана при голосовании «2 из 3». Она может быть реализована на реле или на различных бесконтактных логических элемен тах,
§ 25. Особенности резервирования при ненагруженном резерве
Эти особенности рассмотрим на примере системы общего резервирования с целой кратностью и с идеальными переклю чателями (рис. 45). Резерв полагаем ненагруженным, закон надежности работающих
ным с |
опасностью отказа к. |
9— |
' ------ |
л |
-------- г |
I |
t |
& |
|||
р |
|
I |
|||||||||
Основная |
особенность |
|
|
п |
1 |
|
|
|
|||
|
, |
\ |
г |
|
|
|
|||||
расчета |
связана с тем, что |
|
|
|
|
||||||
|
|
п |
[ |
|
|
|
|||||
резервные подсистемы до мо |
|
|
|
|
т. |
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
мента |
включения |
имеют |
|
|
|
|
|
|
|
||
опасность отказа Яхр (хране |
|
|
> — г |
|
|
|
|||||
ния); для простоты положим |
|
|
|
|
|
|
|
||||
ее равной нулю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Обозначим |
через |
to, Ti, |
|
|
|
PliC45 |
|
|
|
||
Т2 , ••■, t,n |
моменты |
отказа |
д. |
подсистем. Тогда |
|
опасности |
|||||
основной, |
первой, второй и т. |
|
отказа основной и резервных подсистем выражаются следую щим образом:
|
|
М *) = |
Ь, |
|
|
||
|
|
|
|
О, |
|
|
|
\ |
( t |
) |
= |
К |
Э) < |
t < |
Tj; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
О , |
t < |
т , |
|
h |
( t |
) |
= |
|
T j |
t |
T o J |
|
|
|
|
|
|||
I |
|
|
|
° ' |
г < |
' — 1 |
|
” { |
) |
|
|
1 ч |
|
< t < |
73
Выдвинем гипотезы (предположения) о том, |
каким обра |
|
зом система может оказаться |
в работоспособном состоянии |
|
к моменту t: |
|
|
гипотеза Я 0 — основная подсистема не отказала; |
||
гипотеза Н\ — основная подсистема отказала, |
а первая ре |
|
зервная не отказала; |
|
|
гипотеза Н2— основная и |
первая резервная |
подсистемы |
отказали, вторая резервная не отказала и т. д.
Выдвинутые гипотезы являются событиями несовместными. Поэтому вероятность безотказной работы резервированной си стемы находится как сумма вероятностей гипотез. При т = 1
имеем: |
|
Pc (t) = |
P (H 0) + P ( H {)-, |
р с (t) = Р0(t) + |
J' а 0{х0) Р , (t — 1 0) dx0. |
|
о |
В последней формуле a0(xo)dxo есть вероятность отказа основ ной подсистемы за время dx0 вблизи т0; P\{t— т0) — вероят ность безотказной работы первой резервной подсистемы за время i — т0. Так как основная система может отказать в лю бой момент т0 от 0 до t, то вероятность P(Hi) находится как интеграл. С учетом экспоненциального закона
P c (t) = e x p ( - ) i ) + j'Xexp (— Хт0) exp [— X(t — т0)] dx =
О
= e x p ( - W ) ( l + M ) .
При т = 2
р л ъ = р { н а) + р { н , ) + р т -
P Q(t ) = P0 (t ) + |
J a Q(To) Л |
To) |
“b |
||
|
t |
0 |
|
|
|
/ |
|
|
|
|
|
J0 ^0 (То) * 0t0I |
(T1 |
To) dX\P* |
|
Xl) — |
|
= |
exp (— U) j^l -f U -j- |
|
. |
||
При m = 3 получим |
|
|
|
|
|
Pc(t) = |
exp( - Щ [ 1 + |
W + |
|
■ |
Закономерность построения формул с возрастанием т оче видна:
т
Рс (0 == ехр ( — Щ
/=»0
71
Таким образом, в рассмотренном примере имеет место гаммараспределение времени безотказной работы с параметром k = т + 1.
Выигрыш в надежности можно анализировать с помощью рис. 17.
Ненагруженный характер резерва дает дополнительный выигрыш в надежности. В частности, среднее время безотказ ной работы возрастает в (т + 1) раз, т. е. гораздо сильнее, чем при нагруженном резерве.
§ 26. Резервирование с восстановлением
Рассмотрим особенности этого резервирования на при мере общего резервирования с кратностью, равной единице (дублирование) (рис. 46). Полагаем, что резерв включен по-
\ |
]----- ------0 |
|
п |
|
|
'V |
]— |
|
п |
||
|
||
Рис. 46 |
Рис. 47 |
стоянно, но имеющиеся в системе идеальные переключатели мгновенно отключают отказавшую и подключают восстанов- -леннуго подсистему. Потоки отказов и восстановлений каждой подсистемы считаем простейшими с интенсивностями Я, и р.
Составим модель состояний системы (рис. 47). Возможны три состояния: нулевое (ни одна из подсистем не отказала) — вероятность Po(t); первое (одна из подсистем отказала) — вероятность Pi (t) ; второе (две подсистемы отказали) — веро ятность Р2(0-
Переходы из нулевого состояния в первое и из второго в первое происходят с интенсивностями соответственно 2К и 2р, потому что в нулевом состоянии работают, а во втором вос станавливаются сразу две подсистемы.
Составим дифференциальные уравнения для вероятностей состояний:
P0'(t) = -2 \ P 0{t) + rPi(t);
Pi' (t) = 2ХР0 (t) - (X + ix) Р х(t) + 2рР, (0;
Рг (*) = - 2 ц Р , ( 0 + */>,(*)•
Кроме того, нужно учесть условие нормировки
P 0 ( t ) + P i ( t ) + P A t ) = |
\ . |
75
Дальнейший анализ уравнений зависит от требований к си стеме, а именно от того, допускаются ли перерывы в ее ра боте.
Рассмотрим первый случай, когда перерывы допускаются. Критерием надежности следует принять коэффициент готов ности. Последний можно найти как предельное значение веро
ятности застать систему в работоспособном состоянии при t —у-оо:
К р е з = |
П т [ Р 0 ( 0 + P j ( 0 ] . |
|
t-yоо |
При t-y-oo переходный процесс, соответствующий выведен ной системе дифференциальных уравнений, окончится. По этому, положив производные равными нулю, имеем:
0 = - 2 Х Я 0 + (*/>,;
О = 2АР0 - (X + |х) Р , + 2<хР2;
О = Щ - |
2рР2; |
Р о ~т Р 1 |
Р-> = 1• |
В последней записи опущены символы времени при вероят ностях, так как в установившемся режиме они постоянны.
Введем обозначение р = А/р.
Пз первого и третьего уравнений соответственно получим
Р — Р _!_• |
р _ р JL |
|
г о — / i 2 p ’ |
— r 1 |
э ' |
Теперь из четвертого уравнения |
|
|
Р _ |
2Р |
|
1 |
(1 + Р)2 ‘ |
|
Далее
Р— 1
°- ( 1 + Р)2-
Коэффициент готовности резервированной системы
к |
- 1 ± 1 L |
« г р е з |
| i _ | _ р ) з • |
Представляет интерес сравнить этот коэффициент с коэф фициентом готовности аналогичной нерезервированной си стемы. Выразим кг через р:
Для оценки выигрыша в надежности найдем отношение
к\- рез |
1 + ?Р |
К1+ Р
Его зависимость от р показана на рис. 48. График позво ляет сделать важные выводы.
При р = Овыигрыша в надежности не получается. Однако коэффициент р = Х/ц близок к нулю либо при низкой интен сивности потока отказов (X = 0), либо при высокой интенсив ности потока восстановлений (ц->-оо). И в том, и в другом случае коэффициент готовности высок и без резервиро вания.
Зато при возрастании р, когда коэффициент готовности снижается, резервирование дает выигрыш надежности.
Выигрыш в коэффициенте готовности делает целесообраз ным резервирование систем длительного действия. Это каче ственно новый вывод, не характерный для рассмотренных ранее резервированных систем.
Теперь исследуем систему в предположении, что перерывы в ее работе не допускаются. Как только система приходит во второе состояние, ее использование по назначению прекра щается. Поэтому на рис. 47 нужно исключить переход из второго состояния в первое (второе состояние погло щающее) .
Критерием надежности в этом случае будет вероятность ■безотказной работы.
Перепишем уравнения, учитывая изменение в модели:
Р ' (*) = - 2 ь р 0(о + нЛ ( О ;
PS {t) = 2-kP0{ t ) - { \ + V.)Pl {t)\
77
Решаем систему уравнений операторным методом, поль зуясь изображениями по Хевисайду:
sP0 - sP0 (0) = - 2АР0 -f ;
sPl — sP[ (0) — 2АРо — O'-г V-) Р\\
sP3- sP2(0) = XPj,
где Р0, Р и Л — изображения соответствующих вероятностей. Так как мы считаем, что в начальный момент система на
ходилась в нулевом состоянии, то
Л > ( 0 ) = 1 ; Л (0) = Р 2(0) = 0.
Учитывая это обстоятельство, из второго уравнения нахо дим
р2ХР0
1s + X+ м- ‘
Идалее из первого уравнения
-р |
s {s + X -f- |j.) |
s 2 + |
(ЗХ + (J.) S + 2X2 • |
Затем определяем
Т5 _________2Xs____
s- Т (ЗХ —}—jx) •S’ —f- 2Х2
Окончательно находим изображение интересующей нас веро ятности:
Р с — Ро~\~ Р\ — P q+ Р \;
~р __ s (s + ЗХ + |х) ^
сS 2 - H3 X р.) S+ 2X2-
Для нахождения оригинала выполним ряд преобразований: полученного выражения.
Найдем корни алгебраического уравнения:
s2 -j- (ЗА -j- р>) s 2А2 = 0;
Si,2 = - 0,5 [(ЗА + [,)±Т/А2 + 6Х|х + ^ ] 1
Введем обозначение
Учитывая, что
k\ ~Т к3 — ЗА -f |х,
78
получим
р |
___ S (s Ч~ ^1 + |
^ 2) |
с |
(S т All (S + |
k 2) ■ |
Эту дробь представим в виде суммы двух дробей
s (s |
h\-j- ^2) |
_ |
s*4 |
j |
s/? |
(S + |
ki) {s + k 2) |
~ |
( Г + Т Г ) |
+ |
i« + *2)' |
Для определения А я В составим уравнение
A (s -j- kr,) -f- В (s -f- k^) = s -j- /?t -f- k-2 ,
или
s (Д -f- В ) -f- A k2 -f- Вк^ =
= s -(- -j- lio,
откуда
( A + B = l ;
\ Ak2 ~1~ Bk^ = : ki -l- &2-
Окончательно
Рис. 49
Изображение интересующей нас вероятности теперь мож но записать в виде
|
|
Рс |
|
S |
. |
kj |
S |
|
|
|
|
|
S -{- |
k i -- Й3 S -{- ^2 |
|
||||
|
Изображению |
вида — |
|
^ |
соответствует оригинал |
||||
ехр (—kt); |
поэтому окончательно вероятность безотказной ра |
||||||||
боты получим в виде |
|
|
|
|
|
|
|||
|
р с (0 = |
х; - ^ |
ехР (— *i*) + |
>t ^ - ^ - e xp( - kit). |
|
||||
|
Для построения графика |
этой вероятности предположим |
|||||||
сначала, |
что |
интенсивность |
|
потока восстановлений |
мала:: |
||||
|я |
= 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
k 2 — X. |
|
|
|
|
|
|
|
/г, = 2Х; |
|
|
|||
|
рс ( 0 = |
Г=ДХ ехР |
Ш ) + |
2Х?Л ехР |
= |
||||
= |
— ехр (— 2If) -f 2ехр(— М) |
-f-1 — 1 = |
1 — [1 — ехр (— Х£)]а. |
79