книги из ГПНТБ / Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций

§ 6. Законы распределения времени работы до отказа (законы надежности)

В качестве теоретических распределений времени безот­ казной работы могут быть использованы любые применяемые в теории вероятностей непрерывные распределения. Практиче­ ское применение находит небольшое количество законов рас­ пределения.

Экспоненциальный (показательный) закон. Для него спра­ ведлива формула

X (t) = X = const.

Остальные количественные характеристики надежности при экспоненциальном законе определяются следующим образом:

t '

P {t) = exp (— j X (£) dt) = exp (— \t)

и

(отсюда и название — экспоненциальный закон);

Q (t) — 1 — ехр (— U);

a (t) = Q' (t) = Х е х р ( - W);

Т — J Д (t) d t = jexp (—U )d t = ---- ^— exp (— U)

и0

Кривые характеристик для экспоненциального закона по­ казаны на рис. 12.

Экспоненциальный закон часто применяют для характери­ стики надежности элементов и систем по двум причинам. Вопервых, для многих технических устройств на участке времени нормальной эксплуатации опасность отказа действительно по­ стоянна. Во-вторых, при экспоненциальном законе получа­ ются простые расчетные формулы. Поэтому на применение этого закона идут далее при некотором отклонении от него экс­ периментальных характеристик, тем более что последние обычно содержат погрешности из-за недостатка статистиче­ ского материала.

Закон Релея. Здесь опасность отказа определяется форму­ лой K(t) = , где о2 = const.

20

Остальные количественные характеристики:

Q( £ ) = l - e x p ( - - ^ - ) ;

a{t) = QHt) = -L*x p ( — £ ) ;

7 = ] p { t ) d t = ° Y ~ . '

о

Кривые количественных характеристик для этого закона приведены на рис. 13. Поскольку вид кривых определяется

двумя параметрами t и сг, время на графике отложено в мас­ штабе t/a, а кривые опасности и частоты отказов заменены соответственно графиками K(t)o и a(t)a. Тем самым удается подчеркнуть зависимость характеристик от времени, исключив влияние а.

Закон Релея применяется на практике для характеристики надежности электрических и механических элементов, подвер­ женных старению, например электровакуумных приборов.

Закон Вейбулла. Здесь опасность отказа определяется формулой

A(t) = \0k t k~\

где А0 = const, к = const.

1 При вычислении использован табличный интеграл

о

21

Остальные количественные характеристики:

P ( t) = exp ^ — j'x (t) d tj = ex p ( - V й);

Последнее выражение получено следующим образом. Как известно, гамма-функция есть функция вида

00

Г (х) = j е~у y*~ldy (х > 0).

о

Приведем к такому виду выражение для Т. Обозначим

у = \ tk.

После преобразований

T=^r ] e ~’’y t d y

Таким образом,

Кривые вероятности безотказной работы и опасности от­ каза, соответствующие закону Вейбулла, показаны на рис. 14. Они, помимо времени, зависят от параметров Яо и k. Параметр Яо определяет масштаб: при его изменении кривые «растяги­ ваются» или «сжимаются». Параметр k меняет форму кривых. Чтобы исключить влияние Яо, кривые P(t) построены в мас­

тельной величиной ——.

1 Существуют таблицы гамма-функции от различных аргументов [2].

22

В зависимости от величины k закон Вейбулла дает сниже­ ние или увеличение опасности отказов со временем, т. е. может соответствовать элементам со старением или с прира­ боткой. Подбирая к, можно добиться соответствия опытных данных и теоретической кривой.

При к = 1 закон Вейбулла совпадает с экспоненциальным. Закон Вейбулла находит применение для описания надеж­ ности некоторых типов электронных ламп, шарикоподшипни­

ков и других деталей.

Нормальный закон.

Общеизвестна запись плотности распределения случайной величины х при нормальном законе

где т — математическое

•ожидание; о2—дисперсия.

Формула предполагает изменение х от — оо до + оо; время же работы до

•отказа не может быть отрицательным. Поэтому в качестве закона надеж­ ности имеет смысл рас­ сматривать так называе­ мое усеченное нормаль­ ное распределение

Здесь Т\, о2— параметры неусеченного нормального закона

л множитель с подбирается таким образом, чтобы, отбрасы­ вая часть кривой f(t) левее нуля, сохранить для частоты от-

N

казов a(t) условие f a(t)dt = '\. Т{ не является средним вре-

о

менем безотказной работы; это параметр нормального распре­ деления, усечением которого получили кривую частоты отка­ зов (рис. 15).

23

Как известно, при нормальном законе вероятность попа­ дания случайной величины х на участок от а до |3 определя­ ется по формуле

р (* < х < Р) = Ф* ( Ц ^ - ) _ Ф* ( ^ ) ,

где

Ф* ( х ) =

Значения последнего интеграла находят из таблиц. Приведен­ ная формула нам потребуется ниже для определения количе­ ственных характеристик надежности при нормальном (усечен­ ном) законе.

Определим множитель с в формуле частоты отказов. Исходим из условия

со

j a { t ) dt = 1.

о

где

с— -

а/ 2 я

24

но, начиная с некоторого момента времени, резко падает. Нормальный (усеченный) закон наблюдается у изготов­

ленных при устойчивом ходе технологического процесса сраа-

где lo. k — параметры.

Выразим другие количественные характеристики для этого-

Чтобы вычислить интеграл, предварительно рассмотрим выра­ жение вида

J x neaxdx.

Применив к нему правило интегрирования по частям, полу­ чим

25-

Еще раз применим интегрирование по частям

Продолжая использовать этот прием, каждый раз уменьшаем степень х под знаком интеграла, пока там не окажется х в ну­ левой степени. Полученную сумму молено кратко записать ■следующим образом:

1 = 0

Последняя единица в этом выражении есть значение опреде-

В самом деле, при t — 0 все слагаемые суммы обращаются в нуль за счет множителя Исключение составляет случай i — k — 1, так как здесь оказывается величина t в нулевой сте­ пени p i m £ ° = l j . Таким образом,

2 6

Для вычисления интеграла используем ранее выведенную вспомогательную формулу, положив п = i, а = —^0.

ехр (—Коt) обращается в нуль, что можно проверить по пра­ вилу Лопиталя. При t = 0 это выражение за счет множителя

случайной величины т. Однако для расчетов надежности тре­ буется иметь формулу закона распределения времени безот­ казной работы. Выбор теоретического закона представляет ■собой важную задачу, в решении которой, к сожалению, есть много неясных вопросов.

Обычно по виду экспериментальной гистограммы интуи­ тивно выбирают тот или иной вид теоретического закона —

27

экспоненциальный, Релея и т. д. Иногда закон выбирают пааналогии с хорошо известными случаями.

Параметры принятого закона определяют по опытнымданным, добиваясь возможно большего соответствия опытной

итеоретической кривой. Соответствие, а точнее, непротиворе­ чив теоретической кривой и опытных данных проверяют по так называемым критериям согласия (Колмогорова, %-квадрат-

иДр-)-

Указанный порядок выбора теоретического закона можетпривести к существенным ошибкам в дальнейшем расчете на­ дежности по двум причинам. Во-первых, объем эксперимен­ тальных данных часто бывает недостаточен. Во-вторых, дан­ ные о времени безотказной работы в первую очередь получа­ ются для быстро отказавших деталей, т. е. экспериментальновоспроизводится только «левая» ветвь кривой частоты отка­ зов. По этим причинам вполне возможно получить данные,, не противоречащие двум или даже нескольким теоретическим законам, различие между которыми на «правой» ветви можетоказаться весьма существенным.

Самое правильное было бы выбирать теоретический закон на основании изучения физических причин отказов. Например, если доказать, что отказы полупроводниковых деталей связа­ ны в первую очередь с разрушением кристалла, и дать метод, описания процесса возникновения и развития трещин, то тео­ ретический закон надежности стал бы, вероятно, очевиден.

К сожалению, физические основы надежности технических: элементов разработаны в настоящее время недостаточно.

Г Л А В А 2

РАСЧЕТ НАДЕЖНОСТИ ПЕРЕМОНТИРУЕМЫХ УСТРОЙСТВ ПРИ ОСНОВНОМ СОЕДИНЕНИИ ЭЛЕМЕНТОВ

§ 8. Надежность элементов

Как уже указывалось, многим техническим элементам со­ ответствует кривая опасности отказа с горизонтальным сред­ ним участком. Это справедливо, например, для большинства типов резисторов, конденсаторов, полупроводниковых деталей, электромагнитных реле, электронных модулей и микромоду­ лей, а также паяных и разъемных контактов.

Надежность таких элементов в смысле внезапных отказов характеризуется экспоненциальным законом, т. е. постоянной величиной опасности отказа А0. Именно эта величина зано­ сится в справочники по надежности. Как правило, она харак-

28

теризует опасность полного (не параметрического) отказа эле­ мента. Так, для резистора имеется в виду обрыв, для диода — обрыв и короткое замыкание. В общем случае необходимо ■точно указать, что понималось под отказом при определе­ нии Я0.

Индекс в обозначении Я0 подчеркивает, что опасность от­ каза определена при нормальных условиях эксплуатации, т. е. при температуре окружающей среды 20±5° С, давлении воз­ духа 720—780 мм рт. ст., влажности воздуха 50—80%, и от­ сутствии каких-либо дополнительных внешних воздействий.

Величина Яо справедлива при коэффициенте нагрузки йы, равном единице. Коэффициент нагрузки — это отношение дей­ ствующего значения какого-либо электротехнического факто­ ра, определяющего режим работы элемента, к его номиналь­ ному значению. Например, для резистора /е„ = Р/Рн, где Р — мощность, реально рассеиваемая на резисторе; Рн — номи­ нальная мощность.

Для многих элементов имеют смысл несколько коэффи­ циентов нагрузки. Так, для диода молено указать коэффи­ циенты по прямому току и по обратному напряжению. Для полупроводниковых триодов возможное количество коэффи­ циентов нагрузки еще больше.

Как правило, режим работы элемента выбирают таким образом, чтобы лишь по одному параметру коэффициент на­ грузки находился в пределах 0,6—0,9, а по остальным он со­ ставлял бы много меньшую величину. Тогда в расчете надеж­ ности достаточно учесть только один, «главный» коэффициент нагрузки.

Для реальных условий работы опасность отказа определя­ ется по формуле

X = Я0а,а2. . . а„ = Я0а,

где см— а,г — поправочные коэффициенты, учитывающие отли­ чие условий работы от нормальных и реальные коэффициенты нагрузки.

Из всех факторов, влияющих на величину опасности отка­ за, для большинства элементов лучше всего изучены темпера­ тура внешней среды и коэффициент нагрузки. Результаты изучения сведены в графики или таблицы, позволяющие опре­ делить поправочный коэффициент а = Я/Яо для конкретных условий. В приложении 16, в показаны типичные кривые, от­ ражающие влияние указанных факторов на надежность рези­ сторов и конденсаторов.

Конкретные величины Яо для различных элементов и кри­ вые для нахождения поправок содержатся в специальных

•справочниках, имеющихся на каждом предприятии. Эти мате­

29'