книги из ГПНТБ / Колесников Д.Н. Надежность устройств автоматики и вычислительной техники конспект лекций

Из теории вероятностей известно, что основной характери­ стикой потока является его интенсивность X (t), определяемая как математическое ожидание числа событий в единицу вре­ мени:

Ч О = Нш

где m(t + ДО, m{t) — число событий соответственно за время t + At и t.

В практических расчетах часто имеют дело с так называемым простейшим или стационарным пуассоновским потоком. Он обладает тремя свойствами.

1. Свойство стационарности. Поток называется стационар­ ным, если вероятность попадания того или иного числа собы­ тий на участок времени At зависит только от величины уча­ стка, но не зависит от момента времени t. Для стационарного потока справедливо

X (£) = X = const.

2. Свойство отсутствия последействия. Поток событий на­ зывается потоком без последействия, если для любых неперекрывающнхся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие. При отсутствии последействия картина протекания случайного процесса на данном участке времени не зависит от предыстории.

3. Свойство ординарности. Поток называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок At двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с веро­ ятностью попадания одного события.

При простейшем потоке вероятность возникновения /е со­ бытий за время t выражается формулой

о {4\_ (Х/)*ехр(-Х<) fti •

Положив в этой формуле /е = 0, получим вероятность невозникновения события за время t, т. е. закон распределения вре­ мени до первого события и между событиями:

Р 0 (*) = е х р (— Щ.

Таким образом, при простейшем потоке событий время между событиями подчиняется экспоненциальному закону.

Простейший поток отказов имеет место в аппаратуре, про­ шедшей приработку, не подверженной старению, работающей в неизменных условиях и не содержащей резервированных узлов и элементов.

50

В ряде практических случаев потоки отказов отличаются от простейшего.

При нарушении свойства стационарности возникает неста­ ционарный пуассоновский поток. Здесь интенсивность потока не является постоянной для различных моментов времени.

Вероятность появления ровно k отказов за время от t0 до ^о + Л выражается формулой

О

При нестационарном пуассоновском потоке закон распре­ деления времени до первого отказа и между отказами не яв­ ляется экспоненциальным. Он зависит от вида функции X(t) и, в частности, может быть законом Релея, Вейбулла и др.

-н-х----X— О X------)Н К > * — Х-Х---- О-ч*- t

Рис. 28

Нестационарный пуассоновский поток отказов характерен для аппаратуры, находящейся в периоде приработки или ста­ рения или же работающей при изменяющихся внешних усло­ виях. Он может также возникнуть в устройствах, элементы которых работают неодновременно, и в определенных типах резервированных систем.

Встречаются на практике также потоки отказов, отличаю­ щиеся от простейшего наличием последействия (зависимостью протекания процесса на данном участке времени от предысто­ рии). Характерны такие потоки отказов для резервиро­ ванных систем, поскольку здесь вероятность отказа в данный момент зависит от того, сколько подсистем уже отказало ранее.

Примером является система, состоящая из одной основной и одной, двух и т. д. резервных подсистем (число резервных подсистем обозначается через /г). При отказе основной под­ системы на ее место подключается резервная, при отказе по­ следней резервной подсистемы возникает отказ всей системы. Если предположить, что поток отказов подсистем простейший, с интенсивностью X, а время восстановления мало, то диа­ грамма работы устройства отражается рис. 28; крестиками и кружочками отмечены отказы подсистем, соответственно не приводящие и приводящие к отказу всей системы.

Поток отказов системы (кружочки на рис. 28) отличается от простейшего и носит название потока Эрланга. Плотность

распределения времени между отказами здесь выражается формулой

/ ( 0 = Ц ^ е х р ( - « ) .

Нетрудно показать, что при к = 0 поток Эрланга совпадает с простейшим.

Свойством ординарности потоки отказов, как правило, об­ ладают.

Потоки восстановлений в большинстве практических слу­ чаев считаются простейшими; вопрос о справедливости такого предположения для тех пли иных видов аппаратуры изучен недостаточно.

§ 17. Количественные характеристики надежности восстанавливаемых устройств

Количественные характеристики надежности восстанавли­ ваемых устройств представляют собой различные формы ма­ тематического описания потоков отказов и восстановлений, имеющих место в этих устройствах. До некоторой степени по­ ток характеризуется законом распределения времени между событиями. Поэтому ранее введенные характеристики Q{1), P(t), a(i), X{t), T годятся и для восстанавливаемых устройств. Они характеризуют надежность этих устройств на участках времени от очередного восстановления до очередного отказа.

При простейшем потоке отказов указанные характеристики одинаковы для различных участков времени от восстановле­ ния до отказа. Опасность отказа и интенсивность потока отка­ зов численно равны и обозначаются одинаково через X.

Для потока восстановлений можно принять количествен­ ные характеристики, аналогичные Q(t), P(t), a(t), X{t), T.

Помимо указанных существуют количественные характери­ стики специально для восстанавливаемых устройств. Такими

характеристиками являются: средняя наработка на отказ tv,

Средняя наработка на отказ — это среднее значение вре­ мени работы между отказами. При простейшем потоке отка­

зов tp = Т.

Среднее время восстановления — это среднее значение вре­ мени вынужденного простоя, вызванного отысканием и устра­ нением неисправности. При простейшем потоке восстановле­

ний tp = Тв.

Понятие средней частоты отказов удобно ввести, исходя из эксперимента по ее определению. Средняя частота отка-

52

зов — это отношение числа отказавших образцов в единицу времени к числу образцов, поставленных на испытание, при условии, что вышедшие из строя образцы заменяются исправ­ ными:

Ап (О »(*) = MN -

Эта формула аналогична выведенной ранее в гл. 1 для часто­ ты отказов a(t); различие между ними — в указанном усло­ вии замены отказавших образцов.

Установим зависимость между средней частотой отказов и другими известными характеристиками надежности.

Число отказавших в единицу времени образцов можно оп­ ределить как

An(t) = An, (t) + An2{t),

где An,(t) — количество отказавших образцов из числа перво­ начально поставленных на испытание; An2(t) — количество от­ казавших образцов из числа поставленных на замену по ходу эксперимента.

В соответствии с формулами § 5

[w (%) NАт]а (t — т)Дt образцов. В последнем выражении пред­ полагается, что образцы начинают терять надежность только после включения в работу, т. е. началом отсчета времени для них принимается момент т.

Для определения Дn2(t) необходимо просуммировать по­ лученное выражение по всем возможным промежуткам вре­ мени от 0 до t:

t

An-, (t ) = NAt J w(t) a ( t — x) rfx.

о

Теперь

i

An (t) — a (t) NAt + NAt f <o (x) a (t — x) rfx b

и окончательно

t

to (t ) = a (t) + I ш(x) a {t — x) di. b

Пользуясь этой формулой для конкретного закона распре­ деления времени между отказами, можно связать соД) и a(t);

53

последняя величина уже достаточно просто связывается с дру­ гими известными количественными характеристиками.

Аналитическое решение полученного интегрального урав­ нения не всегда возможно и, во всяком случае, связано с вы­ числительными трудностями. Для некоторых законов распре­ деления времени приходится решать это уравнение прибли­ женно. Поэтому мы приведем только результаты исследования полученного уравнения, выраженные графически (рис. 29). Здесь: 1 — экспоненциальный закон; 2 — закон Релея; 3 —

нормальный закон.

Графики построены для различных законов распре­ деления времени до отказа. Параметры законов выбра­ ны таким образом, что средняя наработка на отказ Т во всех случаях одинакова.

Непосредственно из рис.

I29 следуют такие выводы.

1.При любом законе

распределения времени до отказа средняя частота от­ казов a ( t ) с увеличением времени стремится к пределу, рав­

ному 1/Т.

2. При экспоненциальном законе распределения времени до отказа, т. е. при простейшем потоке, средняя частота отка­ зов постоянна и по величине равна опасности отказа к и ин­ тенсивности потока к.

Средняя частота отказов со(^) как характеристика надеж­ ности восстанавливаемых устройств хороша тем, что позво­ ляет оценить необходимую частоту профилактических работ и объем запасных частей. Однако она не учитывает параметры потока восстановлений и поэтому применяется в первую оче­ редь для устройств, время восстановления которых пренебре­ жимо мало.

В случае если время восстановления существенно, в каче­ стве количественной характеристики надежности используют коэффициент готовности.

§ 18. Коэффициент готовности

Коэффициент готовности — это вероятность того, что вос­ станавливаемое устройство будет работоспособно в любой произвольно выбранный момент времени в стационарном про­ цессе функционирования. Установим связь коэффициента го­ товности с другими количественными характеристиками на­ дежности на примере устройства с простейшими потоками от-

54

казов и восстановлений соответственно с интенсивностями к и р. Вычислим вероятность работоспособного состояния в мо­ мент времени t + At:

P ( t + A t ) = P (t) Л (At) + Q (t) P, (At),

Я, (At) = 1 — exp (— рД£) оё рД£

(переход к приближенным формулам оправдан ввиду малости At). Кроме того, как известно, Q(t) = 1— P(t). Поэтому можем записать

P ( t + A t ) = P ( t ) ( \ — Ш ) + [1 — Я(*)]рД*.

Разделив обе части равенства на At, получим

= - (X4- к.) я (t) + р.

Устремив At к нулю и перейдя к пределу, получим дифферен­ циальное уравнение

Я' (t) = — (X + р) Я (t) -f р.

Решим это уравнение в предположении, что при t = 0 устрой­ ство исправно, т. е. P(t) |(=0 = 1:

р (Ч = т т т + т т г ехР 1 - ( ^ + 1*)Ц

Из последнего выражения следует, что в стационарном ре­ жиме (при t —>- 0 0 ) вероятность застать устройство в рабочем состоянии

Р (*) = х + Г- ■

Таким образом, по определению коэффициента готовности

55

Поэтому

Я (^ = /гг + (1 — k T) exp [— (^ + i1 ) *].

График функции P{t) приведен на рис. 30 (кривая 1). Здесь же для сравнения показана вероятность безотказной работы устройства без восстановления при той же опасности отказов (кривая 2 ) . Таким образом, при простейших потоках отказов и восстановлений вероятность работоспособного со­ стояния устройства представляет собой монотонно убываю­ щую функцию времени, которая при t-*- оо стремится к пре­ дельному значению, равному коэффициенту готовности.

Учитывая, что %= 1/Г и ц = 1 /Гв, значение коэффициента' готовности можно записать в следующем виде:

/гг

?*+ Д

Дополнительные исследования показывают, что последнее вы­ ражение справедливо для лю­ бых стационарных потоков от­ казов и восстановлений в нере­ зервированных устройствах.

Рис. 30 Экспериментальная оценка коэффициента готовности мо­ жет быть получена по результатам эксплуатации устройства в-

течение определенного календарного срока из соотношения

k * =

+ А)

за данный календарный срок при условии, что за данный ка­ лендарный срок имело место k отказов и восстановлений.

§ 19. Модель состояний системы

На практике встречаются системы, состоящие из ряда под­ систем, каждая из которых имеет свои интенсивности потока отказов и восстановлений. Возможно, что при отказе некото­ рых подсистем их функции берут на себя другие подсистемы. Таким образом, для системы в целом существует целый ряд возможных состояний в смысле надежности.

56

В этих условиях составление уравнений, описывающих: вероятности пребывания системы в том или ином состоянии, становится сложной задачей. Для формализации ее решения весьма полезной оказывается модель состояний системы. Иногда ее называют также моделью гибели и размножения.

Модель представляет собой граф, вершины которого соот­ ветствуют возможным состояниям системы (рис. 31). Верши­ ны нумеруют или прямо обозначают на схеме вероятности Р\, Р2 ... пт. д. пребывания системы в соответствующем со­ стоянии. Стрелки, исходящие из данной вершины, указывают возможные переходы из данного состояния в другие; стрелки, входящие в данную вершину, указывают возможные переходы из других состояний в данное. На той же схеме обозначаютинтенсивности потока переходов.

По модели состояний формальным путем составляют диф­ ференциальные уравнения для вероятностей состояний:

i=i

где A,j — интенсивности потоков переходов, связанных с дан­ ным состоянием; /е — количество переходов в t-e состояние и. из него; Px(t) — вероятность состояния, из которого соверша­ ется переход.

Если стрелка перехода направлена из £-й вершины графа,

5Т

главе для анализа надежности резервированных систем с вос­ становлением.

Г Л А В А 4

РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

§ 20. Виды резервирования

Резервирование — это такой прием повышения надежности, когда используется избыточное оборудование, аналогичное основному.

Степень избыточности оборудования характеризуется крат­ ностью резервирования т, которая вычисляется по формуле

стем), необходимое для функционирования устройства.

Рис. 33

Различают резервирование с целой кратностью, когда h —1

58

Поэлементное резервирование дает больший выигрыш в ■надежности. Покажем это на примере (рис. 34). Резервиру­ ется устройство из трех одинаковых элементов 1, 2 , 3 с ис­ пользованием трех резервных 4, 5, 6. Очевидно, что в этом примере отказ резервированного устройства связан в первую очередь с отказом двух элементов, но не во всяком их сочета­ нии. При общем резервировании имеется 9 таких неблаго­ приятных сочетаний (1—4, 1—5, 1—6, 2—4, 2—5, 2—6, 3—4, 3—5 , 3 —6), при поэлементном резервировании — только 3

( 1 - 4 , 2 - 5 , 3 - 6 ) .

Рис. 34

К сожалению, поэлементное резервирование часто оказы­ вается технически трудно реализуемо. Например, несложно ввести резервную цифровую вычислительную машину (ЦВМ), но гораздо труднее спроектировать ЦВМ, содержащую два за­ поминающих, два арифметических устройства и т. д., причем включенных по схеме резервирования.

По способу включения резерва различают резервирование с

постоянно включенным резервом и резервирование замеще­ нием (рис. 35). В последнем случае элемент (подсистему) подключают с помощью переключателей П, чем удается устра­ нить взаимное влияние подсистем и облегчить режим резерва. Однако переключатели и схема управления ими вносят допол­ нительную надежность.

Частным случаем резервирования замещением является применение скользящего резерва (рис. 36). Он используется для устройств, состоящих из одинаковых элементов. При не­ обходимости любой элемент с помощью логической схемы и коммутатора заменяется на резервный. Этот вид резервирова­ ния характеризуется небольшими затратами оборудования.

59