книги из ГПНТБ / Бубенников, А. В. Начертательная геометрия учебник

проекций V кривой линии пересечения ци­ линдра плоскостью тпе, т'п'е'. Цилиндр задан плоской направляющей кривой ли­ нией ab, a'b' и направлением образующих — стрелкой точки аа'.

Строим касательные плоскости к задан­ ному цилиндру, параллельные линии пересе­ чения данной плоскости тпе, т'п'е' с плос­ костью проекций V или, что равнозначно, параллельные фронтали тк, т'к' плоскости.

Касательными являются плоскости, ко­ торые касаются цилиндра вдоль его обра­ зующих, проходящих через точки касания И' и 22' направляющей линии ab, a'b' с пря­ мыми, параллельными следу cd, с' à' плос­ кости стк, с'т'к'. Точки хх' и уу' пересече­ ния этих образующих данной плоскостью тпе, т'п'е' являются наиболее близкой и наиболее удаленной от плоскости V точками кривой линии пересечения цилиндра задан­ ной плоскостью.

По схеме построения к конусам касатель­ ных плоскостей, параллельных заданному направлению, через вершину ss' конуса про-

Две косые поверхности могут, очевидно, соприкасаться вдоль их общей производя­ щей линии только тогда, когда центры про­ изводящих линий соприкасания совпадают и когда параметры перекрещивания рк этих производящих линий для обеих поверхностей равны.

В гиперболических зубчатых колесах, при­ меняемых в передачах с перекрещивающими­ ся валами, имеется соприкасание двух гипер­ болоидов вращения, катящихся один по другому.

На рис. 407 определены асимптотические конусы этих гиперболоидов и фокусы ги­ пербол меридиональных сечений соприка­ сающихся гиперболоидов, когда заданы вер­ тикальная и наклонная оси передачи и ра­ диусы п и гг окружностей шеек гиперболо­ идов. Здесь угол между осями Ь.

Углы Ь\ и 02 асимптотических конусов гиперболоидов, а следовательно, и углы между асимптотами гипербол фронтальных меридиональных сечений определяем при взятом расположении осей путем построе­ ния фронтальной проекции производящей линии ик, и'к' соприкасания гиперболоидов.

Как известно, параметр перекрещивания производящей линии гиперболоида враще­

Горизонтальная проекция ик производя­ щей линии соприкасания параллельна гори­ зонтальной проекции оси гиперболоида.

Для определения величин углов бі и 62

ружности прямой линией ик соединяем с

Р и с . 407

Касательные плоскости применяют также при построении очертаний поверхностей. Очерк поверхности следует рассматривать как линию пересечения соответствующей плоскостью проекций цилиндра, который

Р и с . 408

огибает касательные к поверхности плос­ кости, перпендикулярные к плоскости про­ екций.

Эта линия пересечения является, очевид­ но, геометрическим местом ортогональных проекций точек касания поверхности указан­ ными касательными плоскостями.

Покажем применение касательных плос­ костей к построению очертаний поверхнос­ тей вращения, оси которых параллельны одной из плоскостей проекций.

На рис. 408 построен горизонтальный очерк детали, ось которой параллельна плос­ кости проекций V и наклонена к плоскости

щения, производящей линией которой явля­ ется дуга окружности радиусом R с центром в точке кк'. Для построения кривой линии горизонтального очерка заданной поверх­ ности применяем метод вспомогательных сфер. Вспомогательные сферы выбирают касающимися заданной поверхности враще­ ния вдоль ее параллелей. Плоскости, пер­ пендикулярные к плоскости проекций H и ка­ сательные к заданной поверхности, явля­ ются касательными плоскостями и вспо­ могательных сфер. Эти плоскости касаются сфер в точках пересечения экваторов сфер параллелями их соприкасания.

Возьмем сферу, касающуюся заданной поверхности по параллели се, с'е'.

Центром этой сферы является точка оо', лежащая на оси заданной поверхности вра­ щения.

Плоскость Q у является плоскостью эква­ тора сферы, который пересекается парал­ лелью се, с'е' поверхности вращения в двух точках 1Г. Горизонтальные проекции 1 этих точек определяются точками пересечения

линии связи с горизонтальной проекцией экватора — с окружностью, радиус которой оі равен отрезку о'с'.

4. П р и в е д и т е п р и м е р ы п о в е р х н о с т е й , и м е ю ­

щ и х э л л и п т и ч е с к и е , п а р а б о л и ч е с к и е и л и г и п е р б о ­

п о в е р х н о с т и в р а щ е н и я в т о ч к е , р а с п о л о ж е н н о й на г л а в н о м м е р и д и а н е , я в л я е т с я п р о е ц и р у ю щ е й .

Обычно поверхность рассматривают как гибкую нерастяжимую оболочку.

Некоторые поверхности, если их посте­ пенно деформировать, можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Такие поверхности называют развертывающимися. Фигуру, полученную при совмещении раз­

§70 Р А З В Е Р Т К И П О В Е Р Х Н О С Т Е Й Т О Р С О В

вертывающейся поверхности с плоскостью, называют разверткой. Построение развер­ ток поверхностей представляет большой ин­ терес, особенно при конструировании из листового материала моделей различных со­ оружений, форм для металлических отливок, сосудов, трубопроводов, резервуаров и т. п.

К развертывающимся поверхностям от­ носятся торсы — поверхности с ребром воз­ врата (поверхности, образованные касатель­ ными к пространственной кривой линии), в частности, конические и цилиндрические поверхности.

Плоскость, касательная к торсу, при ка­ чении по торсу без скольжения получает на себе отпечаток с изображением всех геомет­ рических образов, намеченных на торсе. Такие же изображения получаются и на ка­ сательной к торсу плоскости при разверты­ вании его на эту плоскость, т. е. при совмеще­ нии поверхности торса с плоскостью путем изгибания торса по ряду последовательных положений его производящей прямой линии.

Таким образом,, торсы обладают общим свойством — развертываться на касатель­ ных к ним плоскостях.

Л ю б а я фигура, начерченная на поверх­ ности торса, преобразуется в плоское изобра­ жение на развертке. Можно рассматривать торс и его развертку как точечные множест­ ва, между которыми устанавливается взаим­ но однозначное соответствие. Это соответ­