книги из ГПНТБ / Руководство к лабораторным занятиям по физике учеб. пособие

Говорить о периоде этой функции можно только в том смысле, что она принимает нулевые значения через равные промежутки времени.

Свойства колебательного контура часто характеризуют, ука­ зывая его добротность или логарифмический декремент затухания.

Логарифмическим декрементом затухания ѵ называется величина

С*-'»)

Если за k колебаний амплитуда колебаний уменьшается в е раз, то V — 1Ik. Логарифмический декремент затухания можно опре­ делить, следовательно, как величину, обратную числу периодов, за время которых амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Добротность контура Q определяется с помощью соотношения

добротность контура. С помощью (2.16) и (2.3) найдем, что при малом затухании

Рассмотрим физический смысл добротности (в случае малых потерь).

Ш = Г 0 (1 - е ~ 28т) «а Г 026Г = W0

Таким образом,

(2-22>

Добротность определяет, во сколько раз энергия, запасенная в контуре, превосходит среднюю потерю энергии за промежуток времени, в течение которого фаза колебания меняется на 1 радиан.

2) Рассмотрим теперь случай

при этом х, а следовательно, и со равны нулю. Предельный переход при со — 0 в (2.15) дает

I — — -^г- ем sin соt — — (соt) е~ы — — ~ teM , (2.24)

Зависимость тока от времени в этом случае изображена на рис. 299. Ток в контуре не имеет колебательного характера и является апе­ риодическим. Равенство (2.23) определяет так называемые крити­ ческие условия опыта. Величина сопротивления і\?кр, при котором

осуществляется критический режим, называется критическим сопро­ тивлением. С помощью (2.3) легко получить

3) Обратимся теперь к случаю

Оба корня характеристического уравнения являются в этом случае вещественными. Уравнение (2.12) может быть при этом записано в виде

Кривая зависимости токаот времени, соответствующая (2.27), изоб­ ражена на рис.300.Как видно из графика, процессявляется апе­ риодическим.

Величина, стоящая в квадратных скобках, носит название импеданса контура и обозначается обычнобуквой Z,

Выражение для Z не зависит от начальных условий, не содержит ни токов, ни напряжений и определяется только свойствами эле­ ментов, соединенных в контур. Импеданс является, таким образом, характеристикой контура. Подстановка (2.33) в (2.32) дает

Полученное выражение полностью эквивалентно закону Ома. Роль

сопротивления играет в нем импеданс контура Z. Равенство (2.34) обладает характерной особенностью: правая его часть содержит произведение двух комплексных величин, а левая является действи­ тельной. Легко видеть, что это обстоятельство не носит принципи­ ального характера и является случайным. Возьмем вместо (2.28)

Фаза ср определяет начальные условия: в самом деле, при t — О напряжение не обязательно должно проходить через максимум, как это молчаливо предполагалось при написании (2.28). При переходе

к (2.30) в цравой части уравнения будет стоять уже не Шйеіш, а Щ0еій‘, где Щ0 является комплексной величиной,

К =

Связь между током и напряжением в этом случае снова определя­ ется импедансом контура Z, но вместо (2.34) следует писать

Уравнение (2.36) имеет вполне общий характер.

Исследуем несколько более подробно свойства импеданса Z.

Выражение для Z содержит действительную часть, называемую обычно активным сопротивлением контура, и мнимую часть, носящую название реактивного сопротивления или реактанса. Правила сло­ жения импедансов при последовательном и параллельном включении элементов те же, что и для обыкновенных сопротивлений. Импеданс индуктивности равен iQL, импеданс емкости равен —HQC, импе­ данс сопротивления — просто R.

Подставим Z в показательной форме:

Разрешим уравнение (2.36) относительно / 0 и перейдем от ком­ плексного к действительному выражению для тока. Как было ска­

зано выше, для этого достаточно взять действительную часть /:

Сравнивая (2.38) с (2.35), найдем, что ток отстает от напряжения по фазе на величину ф, определяемую отношением мнимой и действи­ тельной частей импеданса. Амплитуда колебаний обратно пропор­ циональна модулю импеданса Z0.

Метод комплексных амплитуд облегчает решение многих задач, так как сводит решение дифференциальных уравнений к решению

Рис. 302. Параллельный контур.

решение, нужно прибавить к найден­ ному сумму (с произвольными коэф­ фициентами) двух независимых реше­

ний уравнения без правой части. Как мы видели выше, решения однородного уравнения (без правой части) затухают. Через доста­ точно долгий промежуток времени их вклад всегда становится исчезающе мал. Метод комплексных амплитуд позволяет получить, таким образом, установившееся решение, к которому рано или поздно система обязательно придет.

Особенно важен'метод комплексных амплитуд в теории перемен­ ных токов, где установившееся решение представляет главный интерес.

В качестве иллюстрации найдем ток в цепи источника переменого тока в контуре, изображенном на рис. 302. Для параллельного

Разрешим (2.39) относительно Z и представим Z в показательной форме:

]

Уравнения (2.40) показывают, что импеданс цепи в этом случае равен R и оказывается вещественным. В дальнейшем мы рассмотрим слу­ чай резонанса более подробно.

Решения, полученные методом комплексных амплитуд, допускают

простую геометрическую интерпретацию. Комплексное число Z = = Z0ë^ представляется в комп­

лексной плоскости вектором, длина которого равна Z0. Угол, составляемый вектором с вещест­ венной осью, равен я|з. Комплек­ сное напряжение Ш0еІШ или комплексный ток / 0e'<ß<—Ф>пред­ ставляются поэтому векторами, вращающимися с угловой ско­ ростью Q. Удобно перейти к си­ стеме координат, которая сама вращается с угловой скоростью

тудным значениям напряжения и тока. Вектор / повернут относи'

тельно Щ. Угол между векторами равен сдвигу фаз между ними. Такие диаграммы называются векторными диаграммами.

Построим векторную диаграмму напряжений для контура, изоб­ раженного на рис. 301. Поскольку во всех элементах цепи течет один и тот же ток, удобно положить его фазу равной нулю и отсчи­ тывать от нее фазы напряжений на всех элементах цепи. Учитывая, что падение напряжения на сопротивлении находится в фазе с током, падение напряжения на индуктивности опережает ток на угол я/2 , а падение напряжения на емкости отстает от него на я/2 , получим векторную диаграмму, изображенную на рис. 303. Складывая век­

§ 3. Установление колебаний

Вернемся теперь к общему решению уравнения (2.29). Как уже было выяснено, это решение является суммой любого частного решения нашего уравнения и общего решения уравнения без

19 п/р Л, Л, Гольдина

уравнения (2.36) и (2.37):

_

при точном резонансе. Выразим входящие в подкоренное выражение величины L/R и RC через собственную частоту и добротность кон­ тура с помощью (2 .2 1 ):

(2.44)

пV ' + « ’ ( £ - t ?

Уравнение (2.44) определяет форму резонансной кривой. При отступ

Формула (2.44) может быть в этом случае упрощена. Заметим для этого, что

Формула (2.48) верна для контуров с большим Q. Форма резо­ нансной кривой для разных Q изображена на рис. 305. Если изобра­ жать резонансную кривую в координатах ДШю0 и /0//„, то, как следует из (2.48), форма кривой зависит только от Q. Добротность кон­ тура поэтому может быть определена из формы резонансной кривой.

19*