книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы
.pdf90 |
Глава 2 |
и запишем выражение для квадрата показателя прелом ления
п2 7?.2-}-2r]HoCOs (Р - г—j- ср)= ]—Де. (2.6.4)
Приведенное волновое уравнение (2.2.2) имеет вид J)
V2г|) /г/г„ф= 0. |
(2.6.5) |
Коэффициент к0 — постоянная распространения свобод ного пространства
А-0 —со У Бо(-10 ■ |
(2.6.6) |
Пусть падает плоская волна вида |
|
ф,-= /1е-’кг г |
(2.6.7) |
при k-i — п0к0. Предполагается, что область |
вне объема |
с синусоидально модулированным показателем преломле-
Ф и г. 2.6.1. Схема дифракции Брэгга.
Заштрихованная полоса показывает область с периодически меняющимся показателем преломления, к ^ п ks — векторы распространения падающей и рас
сеянной волн, вектор В нормален плоскостям постоянных значений показателя преломления.
ния имеет среднее значение показателя преломления п0. Это позволяет избежать ненужных усложнений, возникаго-
Э Скалярная полповая теория, которая используется здесь, применима непосредственно к волновому нолю, которое удовлетво ряет условию E-fS = 0. Для других поляризаций скалярная теория не обязательно приведет к тому же результату, что и векторная теория.
Теория дифракции |
91 |
щих из-за отражения и преломления волн па границе раздела двух сред. Эти явления на плоской границе раз дела диэлектриков уже были рассмотрены в разд. 1.6.
Кроме падающей волны, имеется рассеянная волна, которую представим в виде интеграла Фурье
ф ,= j В (ks) e~iks'rd3ks. |
(2.6.8) |
Здесь cZ3k4. является сокращенной записью |
произведе |
ния: |
(2.6.9) |
cZ3ks= dksx dks„ dksz. |
Аргумент k4 функции В представляет в сокращенном виде ее зависимость от трех переменных ksx, ksy, ksz. Интеграл берется по всем трем переменным от — оо до + оо. Выра жение (2.6.8) отличается от решения волнового уравне ния (1.3.23) . Здесь мы считаем, что все три компоненты вектора к4 изменяются независимо во всей области интег рирования. Все ограничения, которые волновое уравнение накладывает на функцию, должны быть выражены с по мощью функциональной зависимости В.
Полное поле является суммой падающей и отраженной воли:
ф = Фг + |
Ф*. |
(2.6.10) |
Подставим выражения (2.6.4), |
(2.6.7), (2.6.8) и |
(2.6.10) |
в приведенное волновое уравнение (2.6.5) |
|
|
(n-k;- Щ) Ae -iki-r + kzklAe~iki’г+ |
|
|
+ j ( n X - k l ) £ (k s) e- ikV rd3ks+ |
|
|
+ j Агк20В (ks) e~ikV r d3k4 = 0. |
(2.6.11) |
Падающая волна является решением невозмущенного волнового уравнения. Следовательно, первый член в урав нении (2.6.11) исключается. Пока уравнение (2.6.11) является точным. Однако мы хотпм решить эту задачу методом теории возмущений ц ограничиться приближением первого порядка. Поскольку Де и В являются величина ми, малыми в первом порядке, можно пренебречь их произведением и опустить последний член в уравнении (2.6.11). Умножим оставшиеся слагаемые на exp(ik(-r)
92 |
Глава 2 |
п проинтегрируем по всему пространству. Интеграл от экспоненциальной функции сводится в результате к б-функщш
j ei(k's-ks)-rd3Y==
|
= (2л)3 б (к$’х— к1х) б (k'sy— ksv) б ( /4 — ksz) |
- |
|
|
|
= (2я)3б (к ;-к ,). |
(2.6.12) |
Здесь |
б (к' — ks) является |
сокращенным обозначением |
|
трех.мерной б-фуикцни. |
|
|
|
Используя указанную выше п]юцедуру, получим из |
|||
уравнения (2.6.11) |
|
|
|
^ (к,): |
1\НАпа |
|
|
(2я)з (A-* — iigfrg) X |
|
|
|
|
X J (вй№в+Р- t,)Tl*] + |
e[(^ -P -b1)T-+])d3r> |
(2.6.13) |
куда подставлено выражение для Ае из (2.6.4). Поскольку Де обращается в нуль вне заштрихованного на фиг. 2.6.1 объема, то интегрирование в (2.6.13) распространяется только на область взаимодействия, имеющую объем V. Под знаком интеграла стоят осциллирующие функции, которые дают существенный вклад в интеграл, если их аргументы обращаются в нуль. Легко видеть, что это имеет место при
к, = к, ± р. |
(2.6.14) |
Это важное соотношение известно как условие Брэгга. Предполагается, что объем взаимодействия простирается до бесконечности в направлениях х и у. Следовательно, интегрирование по х и у приводит к 5-функциям, так что выражение (2.6.13) можно записать в виде
В (k,)= (*S, + P , - kix) б (А,„+ Р„ ~ h v) X
х sin (fe^ ~ 7,")d Л*+б {квх- р,-/с,-,) б (ksy- Ри- к 1в) х
hsz "1' Рг — Kiz |
|
|
—sin (/■•« — |Л—fcjz) d |
'*] . (2.6.15) |
|
ksz— Рг—kiz |
||
|
Теория дифракции |
93 |
Рассеянную волну можно получить нз выражений (2.6.8)
п (2.6.15)
a|)s=:ipi0/t'i;/l |
1"е{фе~‘ ('<к-5к-1-йуи) х |
|
|
|||
+ о о |
|
|
sin (fcsz + tk— kiz) dclksz-]- |
|||
X |
е |
'hs*z |
|
|||
I |
V4 |
ksz+ Pz— kiz |
z |
|||
|
|
|
|
+“ |
-ife |
|
\ |
е - г ф e - i |
(h^x -l -l^y'ii) ( |
e ----- T j p r X |
|||
' |
|
|
|
J |
kls+>2 — noh |
|
|
|
|
X sin (fc.z-P»~friz) |
(2.6.16) |
||
|
|
|
|
ksz |
Pz "zz |
J |
Верхние индексы «-)-» |
и «—» у компонент ks указывают, |
что должны быть подставлены значения ks, соответствую щие знакам плюс и минус в выражении (2.6.14). Таким образом, компоненты х и у вектора ks определяются выра жением (2.6.14), тогда как его z-компонента произвольна.
Интегралы в (2.6.16) легко могут быть сведены к интег ралам по контуру. Путь интегрирования проходит вдоль реальной оси ksz от — оо до + оо. Каждый интеграл имеет два полюса, лежащие на пути интегрирования. Однако эти полюсы можно сместить с реальной оси на комплекс ную плоскость, используя физические аргументы. Мы все время предполагали, что показатель преломления — ве личина вещественная. Однако это идеализация. Все реальные материалы ослабляют электромагнитные волны, распространяющиеся в них. Можно не вводить предполо жения об идеальном диэлектрике без потерь. Пусть пло ская волна распространяется в идеальном диэлектрике
вдоль |
осп z. |
При выборе зависимости поля от времени |
|
в виде |
(2.2.1) |
можно записать плоскую |
волну в виде |
|
|
i|)= i|i0e_i'!oftoz. |
(2.6.17) |
В диэлектрическом материале с потерями волна будет ослабляться. Можно описать затухающую волну, введя комплексную диэлектрическую проницаемость
п0 = ?гг— шг. |
(2.6.18) |
Для положительных значений пГ и нг формула (2.6.17) описывает плоскую волну, распространяющуюся в поло-
94 |
Глава 2 |
жителыкш направления оси г и экспоненциально зату хающую но закону
а|>— e~v',1о2ч()0е“ |
(2.6.19) |
Эти рассуждения показывают, как модифицировать выра жение (2.6.16), чтобы учесть небольшие потерн в диэлект рике. В конце вычислений мы опять положим мнимую часть диэлектрической проницаемости равной пулю.
Подстановка выражения (2.6.18) для н0 в (2.6.16) сме щает полюсы подынтегрального выражения с реальной осп. Путь интегрирования не проходит теперь ни через один полюс, так что интегралы не имеют особенностей и легко могут быть вычислены. Опуская верхние индексы у ks, можно вычислить оба интеграла одновременно. Рассмотрим знаменатель
D --: ks nakQ k&z (HqA„ h zx |
Дsj/)—- |
— (ksz — k'sz) (ksz-{-k'sz), |
(2.6.20) |
где
k'^Vnlkl-kU-kly. (2.6. 21)
Мы считаем, что 1, п можем записать в хорошем приближении
ksz—]/ п'гДо Д'г.х |
• kSy |
in (■«r/'d |
( 2. 6. 22) |
|
пукц к$х |
||||
|
|
A‘sj |
Величину nt можно взять как угодно малой. В пределе при Hi —>0 выражение (2.6.22) становится точным. Путь интегрирования и положение полюсов схематически пока заны на фиг. 2.6.2. Пупктирпые кривые изображают две бесконечно большие полуокружности, которые замыкают путь интегрирования вдоль реальной осп.
Нас интересуют лишь значения ъ вне трехмерной дифракционной решетки. Следовательно, достаточно огра ничиться случаем
| z | > cZ. |
(2.6.23) |
В' области, удовлетворяющей соотношению (2.6.23), экс поненциальный множитель ехр (—ikszz) определяет схо дящийся либо расходящийся характер подынтегрального выражения. Необходимо разграничить эти два случая.
Теория дифракции |
05 |
Сначала предположим, что 2 положительно:
z > d. |
(2.6.24) |
Вэтом случае экспоненциальный множитель обращается
внуль на кривой С2, показанной на фиг. 2.6.2. Добавле
ние интегрирования вдоль С2 не изменит величины интег-
Ф и г. 2.6.2. Путь интегрирования в комплексной плоскости ks,-.
рала. Так как нет других полюсов, кроме указанного, можно использовать интегральную теорему Коши, чтобы стянуть путь интегрирования в бесконечно малую окруж ность. Тогда значение пптеграла равно вычету. Пусть величина z отрицательна:
z < - d . |
(2.6.25) |
Путь интегрирования вдоль С{ не дает вклада по анало гичным причинам. Замена интегралов в (2.6.16) контур ными приводит к следующему результату:
Ф«= — ЩПоЩА ["■ |
„_ii,S.->.r sin fe r + pz— kiz)d |
|
|||
|
k $z —f—Pz— k jz |
|
|
||
|
|
|
|
||
|
£__ Ф e - i k ‘+ )-r s ' n C'sz |
Pz |
k iz) d |
| ^ <2 g 2 6 ) |
|
|
h'sz |
ksz |
Px |
Jl'iz |
J |
Величина ksz, входящая в выражение (2.6.26), задается формулой (2.6.21). Штрих в индексе отброшен для случая сходимости. Выражение (2.6.26) является решением
% Глава 2
дифракционной задачи Брэгга в первом порядке приближе ния теории возмущенны.
Выражение (2.6.26) указывает на несколько интересных свойств рассеяния Брэгга, к рассмотрению которых мы перейдем.
Условие Брэгга, сформулированное соотношением (2.6.14), не удовлетворяется точно для z-компопенты этого векторного уравнения. Этот факт становится очевидным, если рассмотреть синусоидальные множители в (2.6.26). Соотношение (2.6.14) для х- и (/-компонент является точ ным, потому что по предположению решетка бесконечна в направлениях х и у. Устремляя d ->- оо, получим 6-функ ции вместо синусоидальных множителей [см. (2.3.8)], п z-компопента в условии Брэгга также становится точной. Для конечной величины d имеется небольшое отклонение от точного выполнения условия (2.6.14) для z-компонен- ты. Члены с синусоидальными функциями оказываются уменьшенными, как показано на фнг. 2.3.1. Пик увели чивается при возрастании d и достигает бесконечности в пределе при d —у оо. Ширина пика уменьшается по мере
увеличения его высоты. В большинстве |
случаев d К |
н для z-компоиеиты условие Брэгга |
удовлетворяется |
с хорошей точностью.
Однако мы получили, что, кроме условия Брэгга, должно удовлетворяться условие (2.6.21). Это соотноше ние может быть переписано в виде
(2-6.27)
Это важное соотношение устанавливает, что рассеянная волна распространяется с той же скоростью, что н падаю щая волна, п что обе они распространяются с фазовой скоростью плоских воли в среде с показателем преломле ния ?г0. Соотношение (2.6.27) н условие (2.6.14) для х- II (/-компонент определяют все компоненты вектора к„.
Рассеянная волна является плоской. Ее амплитуда определяется точностью, с которой удовлетворяется по компонентам соотношение (2.6.14), п выражается через синусоидальные функции, входящие в выражение (2.6.26). Если условие Брэгга (2.6.14) выполняется даже для z-ком- поненты, амплитуда рассеянной волны достигает макси-
|
Теория дифракции |
97 |
мума: |
|
|
i|)e= - |
f'SZА е - ^ (±)-г в*1*. |
(2.6.28) |
Амплитуда рассеянной волны, конечно, пропорциональна амплитуде падающей волны, а также изменению показа теля преломления г) н толщине d трехмерной решетки. Интересным обстоятельством является зависимость ампли туды от обратной величины ksz. При уменьшении z- kom - поненты вектора распространения амплитуда возрастает. Это можно понять, если учесть, что волна проходит боль шее расстояние внутри решетки, когда вектор распростра нения параллелен границе решетки. Чем дольше рассеян ная волна остается внутри решетки, тем больше опа взаи модействует с падающей волной и тем большая мощность может быть передана от одной волны другой. В предель ном случае ksz = 0 теория возмущений неприменима. Эта теория не учитывает уменьшения амплитуды падаю щей волны. Точная теория, развитая в разд. 2.7, учиты вает потери могцности.падающей волны, которые приводят к уменьшению ее амплитуды.
Условие Брэгга (2.6.14) и соотношение (2.6.27) пока зывают, как связаны направления падающей и рассеян ной воли. Оба знака в соотношении (2.6.14) допустимы, так что имеем две диаграммы, изображенные на фиг. 2.6.3 и 2.6.4. Обе диаграммы представляют собой равнобедрен ные треугольники. Вектор направлен перпендикулярно плоскостям постоянного показателя преломления. Падаю щая волна рассеивается этими плоскостями. Две диаграм мы получаются потому, что волна может падать на решет ку сверху или снизу. Существенным моментом в дифракции Брэгга является тот факт, что рассеяние пропсходит как отражение света от плоских диэлектрических поверхно стей. Если рассеяние имеет место, то оно происходит зер кально в соответствии с законом отражения света от зер кал. Однако условия зеркального отражения недостаточ но, чтобы появилась рассеянная волна. Рассеяние имеет место, если волна падает на отражающие плоскости постоянного показателя преломления под углом а/2. Этот угол легко получить из диаграмм:
Х_ |
(2.6.29) |
|
2D ' |
||
|
7-087
98 |
Глава 2 |
Это соотношение также известно как условие Брэгга. Для получения правой части было использовано соотноше ние (2.0.2). Уже отмечалось, что условие Брэгга выпол няется точно, только когда толщина дифракционной решетки становится бесконечно большой. Для решетки
Ф и г. 2.6.3. Иллюстрация условия Брэгга для случаи, когда в соотиошсшш (2.6.14) используется знак минус.
Ф и г. 2.6.4. Иллюстрация условия Брэгга для случая, когда и соотношении (2.6.14) используется знак плюс.
конечной толщины условие Брэгга выполняется лишь приближенно. Этот факт можно использовать при опреде лении положения днфракцнонпых максимумов двумерной
Ф и г. 2.6.5. Топкая дифракцион ная решетка Брэгга при нормаль ном падении плоской волны.
фазовой решетки из законов рассеяния Брэгга. Предполо жим, что толщина d сравнительно мала. Тогда условие Брэгга выполняется неточно. Пусть вектор Р направлен параллельно стороне дифракционной решетки, а волна падает иа решетку перпендикулярно, как показано на фиг. 2.6.5. Условие Брэгга справедливо в этом случае только для х- и [/-компонент (фиг. 2.6.6). Конечно, длина векторов ks и кг та же, но векторная диаграмма не согла
Теория дифракции |
69 |
сована. Для малых углов соотношение (2.6.29) справед ливо приближенно, так что получаем
(2.6.30)
Это выражение идентично выражению (2.5.25) для дифракционного максимума первого порядка, полученному в разд. 2.5. Величина D в разд. 2.5 обозначалась как а.
Сравнение формул (2.6.30) и (2.5.25) выявляет важный общий момент. Вывод законов дифракции Брэгга, осно ванный иа теории возмущений в первом порядке, позволил
Ф и г. 2.6.6. Для тонкой дифракционной ре шетки условно Брэгга точно не выполняется.
получить только первый порядок интерференции трех мерной дифракционной решетки. Эта ситуация полностью аналогична приближению первого порядка теории дву мерной фазовой решетки, использование которого дало максимумы первого порядка (2.5.24). Точная теория дифракции Брэгга показывает, что имеются также высшие порядки интерференции, поэтому точное условие Брэгга должно иметь вид
к5 = кг ± ш(). |
(2.6.31) |
Целое т указывает порядок интерференции дифракцион ной решетки. Требование зеркального отражения сохра няется. Единственная разница заключается в том, что имеется большое число возможных направлений для падаю щей волны, при которых возникает дифракционная кар тина. Однако для большинства практических приложений, таких, как голография или рассеяние света звуковыми волнами в жидкости, изменение показателя преломления г) столь незначительно, что надежно можно наблюдать толь ко первый порядок дифракции.
Так как теория дифракции Брэгга применима к рас сеянию света звуковыми волнами в жидкостях и твердых телах, ие удивительно, что наши результаты могут быть получены из квантовой теории рассеяния света фононами.