книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы
.pdf80 |
Глава 2 |
Следовательно, полуширина лепестка для решетки обрат но пропорциональна числу щелей в решетке.
Лепесток с максимумом при а = 0 называется лепест ком нулевого порядка. Он соответствует нолю, которое по существу проходит через решетку, не дифрагируя. Лепесток т-то порядка, полученный из формулы (2.5.8), соответствует волне, выходящей пз решетки под углом
ат= т —. |
(2.5.11) |
Относительная полуширина лепестка m-vo порядка равна
Д а |
__ |
1 |
(2.5.12) |
|
а ,„ |
~ m { N -1 1) |
|||
|
||||
Иоле па больших расстояниях от дифракционной решет ки состоит нз ряда почти плоских волн, распространяю щихся в разных направлениях. Лепестки дифракционной картины различных порядков можно получить в виде линий на экране, сфокусировав на него картину дальнего ноля с помощью линзы. Из формулы (2.5.11) видно, что направление каждого лепестка зависит от длины волны излучения. Следовательно, линза фокусирует свет каж дой длины волны, содержащийся в падающей плоской волне, на свое место на экране (в свое пятно). Это свойство дифракционных решеток делает их очень полезными для спектрального анализа света. Спектральное разрешение дифракционной решетки может быть легко получено пз соотношений (2.5.10) и (2.5.11). Будем считать две спектральные лнннн еще различимыми, если пик одной нз них попадает на первый провал, ближайший к пику, другой линии. Это условие называется критерием Рэлея для разрешения оптических приборов. Выбранное прави ло означает, что изменение ат для определенного измене ния длины волны ДА, должно быть равно Да согласно (2.5.10). Такое требование сразу может быть выражено через относительное изменение длины волны, которое дифракционная решетка может разрешить,
ДА _ |
1 |
(2.5.13) |
|
X ~ |
mN |
||
|
В этом выражении мы пренебрегли единицей по сравнению с большим числом N. Очевидно, что разрешающая способ-
Теория дифракции |
81 |
иость решетки улучшается при увеличении не только числа щелей, ио и используемого порядка дифракции. Разре шающая способность прибора возрастает при работе в области более высоких порядков.
Соотношение (2.5.11) для угла, под которым появляет ся данный порядок, может быть понято с помощью очень
Ф и г. 2.5.3. Иллюстрация работы дифракционной решетки.
простых рассуждений. На фиг. 2.5.3 изображены две щели дифракционной решетки; показано направление распро странения двух плоских воли, исходящих из каждой щели. Концепция плоской волны в дифракционной картине заимствована из разложения по плоским волнам произ вольного поля [см. (1.3.23)1. Дифракционный лепесток может получиться только в том случае, если две волны, исходящие из соседних щелей, интерферируют, усилива ясь. Это означает, что точки В и С, показанные на фиг. 2.5.3, должны соответствовать одинаковым фазам. Это требование удовлетворяется, если отрезок АВ равен целому числу длин воли
АВ = 171К |
(2.5.14) |
или |
(2.5.15) |
a sin а — ink. |
В приближении малых углов, используемом при выводе, соотношения (2.5.11) и (2.5.15) совпадают.
G—087
82 |
Гласа 2 |
Дифракционную решетку, изображенную на фиг. 2.5.1, можно описать, введя функцию пропускания Т следующе го вида:
г 1 , х п—4 < х < я п + 4 ,
(2.5.16)
[ о , Х п — [ a — y ) < Х < Х П — Y
Соотношение (2.5.16) означает, что Т = 0 па непрозрач ной части решетки и Т -- 1 па щелях. Хотя мы п не сле довали этим путем, выражение (2.5.4) может быть получе но подстановкой
ф (х, Z) = Гф0 |
(2.5.17) |
вподынтегральное выражение интеграла (2.2.43). Дифракционную решетку можно получить, придав
функции пропускания не только форму, описываемую соотношением (2.5.16), но и в других случаях, когда функция пропускания периодична. Особый интерес для голографии имеет решетка, фуикция пропускания которой описывается синусоидальным законом
7” = 1 —/ cos 2л ~ . |
(2.5.18) |
Подставив выражения (2.3.29), (2.5.17) и (2.5.18) в (2.2.43),
получим
ф (х', |
2') |
фо |
e-ihro |
|
gin/4 X |
||||
ух |
||||
|
|
УцГ |
||
|
|
|
(N/2)a |
|
|
|
X |
^ ^ 1~Н cos 2я j е'ках dx. (2.5.19) |
|
|
|
|
-UV/2)а |
Можно сделать обычные приближения, применимые к слу чаю дифракции Фраунгофера, и использовать выраже ние (2.3.25) в показателе экспоненты под знаком интег рала. Легче всего вычислить интеграл, выразив косинус
Теор ия с/ифракifии |
8S |
через экспоненты. В результате имеем
ЧЧ*'. z')
у а
N sin k a a —
х [ 2
ka
p \Z lf k ______ \/
VrT
|
|
N |
|
N |
sin (Aaa-j-2jt) |
2 |
sin (kaa— 2л) -у - . |
||
-1- i ------ |
2n |
|
2л |
]■ |
kaA- a |
|
ka — |
|
|
(2.5.20)
Действие такой синусоидальной решетки существенно отличается от действия щелевой решетки (2.5.6). В то время как щелевая решетка имеет бесконечно много лепе стков, дифракционная картина (2.5.20) имеет только три лепестка. Лепесток нулевого порядка соответствует перво му члепу в скобках. Этот член просто представляет диф ракционную картину щели, размер которой равен разме ру всей решетки. Этот лепесток очень узкий и имеет мак симум при а ~ 0. Каждый из других членов в скобках соответствует одному боковому лепестку. Существенной разницей между двумя решетками является появление множителя sin л (а/Х) а в знаменателе выражения для щелевой решетки. Этот мпожнтель отсутствует в выраже нии для синусоидальной решетки. Знаменатели в случае синусоидальной решетки обращаются в нуль только в од ной точке, в которой и возникает лепесток. Но они не обра щаются в нуль периодически, как в случае щелевой решет ки. Этот пример показывает, что можно сконструировать решетку, имеющую только по одному боковому лепестку с каждой стороны лепестка нулевого порядка.
Завершим рассмотрение дифракционных решеток ана лизом фазовых решеток. Две рассмотренные выше решетки модулировали амплитуду падающей волны по закону, заданному периодической функцией пропускания. Можно получить дифракционную решетку, модулируя не ампли туду, а фазу падающей плоской волны. Это можно сде лать, помещая на пути волны совершенно прозрачный предмет. Фаза прошедшей волны зависит от длины опти ческого пути света, проходящего через определенную часть прозрачного предмета. Изготовив стеклянную пластинку периодически меняющейся толщины, получим периодиче
6*
84 |
Глава Й |
скую фазовую модуляцию падающей плоской волны. Фазо вую решетку можно также осуществить с помощью зву ковых волн в жидкости. В комплексных обозначениях фазовую модуляцию можно представить просто, введя фазовый множитель для функции пропускания:
2' = е '[ 1-Н cos 2л(.-с/а)]_ |
(2 .5 .2 1 ) |
Подставив это выражение в соотношения (2.5.17) и (2.2.43), получим
! ' > Н |
т г е"‘,‘ |
w |
x |
|
Л/2 |
|
|
X |
j exp |
^l-(-if cos 2n-^-\-kax j j dx. (2.5.22) |
|
- Л / 2
Интеграл в этом выражении оцепить гораздо труднее, чем интегралы, вычисленные ранее. Чтобы получить представ ление о поведении фазовой решетки, начнем с прибли женного решения. Положим Ц 1 и пренебрежем члена ми второго и более высокого порядка по Л Это приближе ние позволяет получить следующее выражение:
|
- ihro |
|
Ф(я', =')- Ух |
е’ X |
|
У Г0 |
|
|
|
DIZ |
|
|
X | ^ 1 -\-U cos 2л |
j ei,iax clx. (2.5.23) |
|
-л/2 |
|
За исключением |
фазового множителя |
перед интегралом |
и того факта, что вместо t в выражении появилось t, умноженное на г, выражение (2.5.23) идентично форму ле (2.5.19) для синусоидальной амплитудной решетки. Выражение (2.5.20) дает сразу решение задачи о фазовой решетке после замены t на it и умножения всего выра жения на несущественный фазовый множитель е 1. Таким образом, видно, что при малых значениях t имеется толь ко три лепестка: лепесток нулевого порядка, соответствую щий щели шириной, равной полной ширине решетки, и два боковых лепестка первого порядка по обе стороны щели. Однако этот результат не точный. Если в выраже нии функции пропускания (2.5.21) сохранить члены более
Теория дифракции |
85 |
высокого порядка, то получим лепестки дополнительных дифракционных порядков. Согласно формуле (2.5.20), максимуму лепестка первого порядка соответствует равен ство
которое через длину волны выражается следующим ооразом:
a - j = ± l . |
(2.5.24) |
Главные максимумы произвольных порядков соответствуют
а |
(2.5.25) |
а — = т, |
где ш — любое положительное пли отрицательное целое число или нуль. Чтобы проверить это утверждение и полу чить выражение, которое позволит определить амплитуды максимумов в каждом порядке, а также ширипу лепестка, положили
|
|
|
|
a |
|
. |
(2.5.20) |
|
|
|
v = a ^ - = |
—m-{-e, |
|||
где m — целое, a |
|
e < |
1. |
|
(2.5.27) |
||
|
|
|
|
|
|||
Вводя новую переменную |
|
|
|
||||
|
|
|
|
2л -а= 0 ,’ |
|
(2.5.28) |
|
получим из |
формулы |
(2.5.22) |
|
|
|
||
\\А х' |
— а |
1|)0 |
е<"/4 |
e~iftr° |
gi |
>< |
|
1( x , z')) - a y i |
e |
y |
2„X |
|
|||
|
|
|
|
я (П/n) |
|
|
|
|
|
|
|
X |
[ |
ei(ve+i cos e) d 0 . |
(2 .5 .2 9 ) |
—лРо.'п)
Разделидг пределы интегрирования на участки длиной 2л.
Используя |
выражение |
(2.5.1), |
получим |
|
л(D/a) |
|
|
|
|
1 = j |
e i(v0+(cos 0) ^ 0 __ |
|
|
|
-л (D/a) |
|
N / 2 |
(2п+1)я |
|
|
|
|||
|
= |
2 |
i |
e;(v0-!-t cosO) do. (2.5.30) |
n= -JV/2 (2 n - 1)л
8G Глава 2
Используя соотношения (2.Г).26) и (2.6.27), можно запи
сать приближенное |
равенство |
|
|
|
||||
|
|
|
Лг/ 2 |
(2п +1)я |
|
|
||
|
|
I — |
2 |
|
ei2njte |
j |
ei(-7n0+<cos0) f/0. (2.5.31) |
|
|
|
|
n = - N / 2 |
(271- 1)я |
|
|
||
Из-за |
малости |
величины е функция eie0 почти постоянна |
||||||
в пределах |
интегрирования |
и вынесена из-под |
знака |
|||||
интеграла. |
Оставшееся в (2.5.31) |
подынтегральное |
выра |
|||||
жение |
является |
периодической функцией с периодом |
||||||
2я. Пределы интегрирования пптеграла по полному периоду периодической функции могут быть сдвинуты без изменения величины интеграла. Фактически надо
только заменить 9 |
на 0' |
+ |
2шт, чтобы получить |
|
JV/2 |
|
я |
|
|
1 = ^ |
е '2ппг |
j |
gi(—m0'+( cos 0') ^0'_ |
(2.5 .32) |
n= -JV /2 |
|
- я |
|
|
Интеграл в этом выражении является функцией Бесселя. Одно из интегральных представлеипй функции Бесселя [111 имеет вид
Л |
|
/ п (з) = - ^ | ei(-n0+zsin0>do. |
(2.5.33) |
—ТС
Вводя
0= 0 '+ - ^
и сдвигая область интегрирования периодической функ ции, чтобы снова ее сделать симметричной, получим
- 1п (я /2 ) |
» |
(2.5.34) |
/ n(z) |
| ei(-n0+2 COS 0)^0. |
— Я
Выражение (2.5.34) позволяет переписать соотношение
(2.5.32) в виде
JV/2 |
|
(2.5.35) |
/= 2 я е ’т Ся/2>/т (г) 2 |
ei2nne' |
n = - N / 2
Теория дифракции |
87 |
Суммирование |
уже было проведено |
в (2.5.5), |
так |
что |
из соотношения (2.5.29) получаем |
|
|
|
|
4 (*', z') = a |
iftro |
/ т (г) х |
|
|
eUfm+l/2)^+l] |
|
|
||
|
sin яе СУ- И ) ^ |
|
5 |
|
|
|
яе |
х |
' |
Здесь sin (яе) заменен па яе.
Из соотношения |
(2.5.36) |
видно, что амплитуды рас |
||
сеянного |
излучения |
становятся большими |
только при |
|
е = 0. В |
этой точке |
|
|
|
|
Шп —п |
1) ■■==/У 1. |
(2.5.37) |
|
|
Е-0 |
Я8 |
|
|
Как было указано выше, главные дифракционные макси мумы приходятся на целые значения а (а/Х) в соответст вии с формулой (2.5.26). Фазовая решетка имеет беско нечно много максимумов, амплитуда которых спадает как функция Бесселя ??г-го порядка
J m (t). |
(2.5.38) |
В табл. 2.5.1 приведены некоторые зпачения J m (t).
Таблица 2.5.1
Выборочные значения функции Бесселя J m (t) для различных значений порядка т н аргумента t
t
771 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1,0 |
|
|||||
0 |
9,90-10-1 |
9,60-10-1 |
9,12-10-1 |
8,46-10-1 |
7,65-10-1 |
1 |
9,95-10-2 |
1,96-10-1 |
2,87-10-* |
3,69-10-1 |
4,40-10-1 |
2 |
4 ,98-Ю -з |
1,97-10-2 |
4,37-10-2 |
7,58-10-2 |
1,15-10-2 |
3 |
1,66-10-1 |
1 ,3 2 -1 0 -3 |
4 ,4 0 -1 0 -3 |
1,02-10-2 |
1,96-10-2 |
4 |
4,16-10-6 |
6,61IO- 5 |
3,31-10-1 |
1 ,03-10-з |
2,48-Ю -з |
5 |
8,32-Ю -з |
2,65-10-6 |
1,99-10-5 |
8,31-10-5 |
2,50-10-1 |
6 |
1,39-10-» |
8,84-10-8 |
1,00-10-6 |
5,56-10-6 |
2,09-10-5 |
Амплитуды дифракционных максимумов не только уменьшаются при возрастании порядка т, но они также
8 8 Г.кию 2
зависят от глубины модуляции t. Для I 1 приближение (2.5.23) справедливо при т — +1.
Читатель, вероятно, заметил очень тесную связь меж ду угловой характеристикой дифракционной решетки н частотным спектром модулированных радиоволн. Случай простой синусоидальной амплитудной модуляции соот ветствует случаю решетки с синусоидальной функцией пропускания. Случай фазовой решетки соответствует синусоидальной фазовой (пли частотной) модуляции в радиотехнике. Наконец, простая щелевая решетка соот ветствует импульсной амплитудной модуляции несущей высокой частоты. Это соответствие угла отклонения час тотному спектру в процессах, зависящих от времени, не ограничивается дифракционными решетками. Оно на ходит еще более полезное применение при рассмотрении свойств преобразования в линзах, которые будут рассмат риваться в одной из последующих глав. Соответствие угла отклонения частотному спектру в процессах, зависящих от времени, обусловлено тем фактом, что в условиях диф ракции Фраунгофера дифракционный интеграл принимает форму интеграла Фурье, как ото легко можно видеть из соотношения (2.5.19) пли (2.5.22). Свойства преобразо ваний Фурье для дифракционных процессов, в частности прп установке линз на пути светового пучка, будут рас смотрены в главе о линзах.
2 .6 . Д И Ф Р А К Ц И Я Б Р О Г Г Л . Т Е О Р И Я В О З М У Щ Е Н И И
В предыдущем разделе рассматривались двумерные дифракционные решетки нулевой толщины. В этом раз деле будут исследованы толстые фазовые решетки.
Пусть показатель преломления плоской пластины ди электрического вещества меняется по закону
п = п0 + |
т| cos (Р -г + </>). |
(2.6.1) |
Показатель преломления |
синусоидально |
модулирован |
в пространстве. Области постоянного показателя прелом ления лежат в плоскостях, перпендикулярных вектору р. Расстояние D между двумя последовательными максиму мами п (или любыми другими фиксированными значениями)
Течрия дифракции
дается формулой
где Р — модуль вектора р.
Распределение (2.6.1) может быть реализовано с по мощью звуковых воли в диэлектрической среде. Сжа тия и разрежения, возникающие в звуковом поле, вызы вают такого рода изменения п. Изменения показателя преломления в звуковой волне проходили бы через веще ство со скоростью звука. Это движение волн не нашло отражения в формуле (2.6.1).
Можно рассматривать это выражение как моменталь ный снимок трехмерного звукового поля. Однако распре деление показателя преломления обсуждаемого здесь типа может быть получено путем фотографирования трехмерной интерференционной картины па фотоэмульсию. После того как эмульсия будет проявлена и атомы серебра обесцве чены, в желатине останется распределение показателя преломления, подобное (2.6.1). Такое распределение, конечно, стационарно и не перемещается в веществе. Оно хорошо соответствует пашен математической модели.
Распределение показателя п (2.6.1) соответствует трех мерной фазовой решетке в диэлектрических материалах. Эта решетка обладает свойствами, подобными свойствам двумерной фазовой решетки, рассмотренной в предыду щем разделе. Действительно, еслн слой вещества, из которого состоит решетка, имеет не слишком большую толщину и если падающая волна входит в вещество пер пендикулярно, а вектор р направлен параллельно поверх ности вещества, можно в хорошел! приближении говорить, что решетка двумерная.
Геометрия общей задачи представлена па фиг. 2.6.1, где, кроме вектора падающей плоской волны кг и вектора рассеянной плоской волны ks, приведен также вектор р. Линии постоянного показателя преломления показаны наклонной штриховкой.
Решим эту задачу рассеяния методом теории возмуще
ний. Будем считать, что |
|
11 < 1 |
(2.6.3) |