книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

между линзой и левым фокусом. Беря отношение (4.2.5) и (4.2.6), получаем для величины изображения соотноше­ ние

Б заключение настоящего раздела приведем краткое опи­ сание разрешающей способности оптических приборов,

Ф н г. 4.2.3. Мнимое изображение объекта, расположенного между линзой н фокусом.

не вдаваясь глубоко в рассмотрение свойств оптических систем, связанных с формированием изображения. Точ­ ность, с которой можно получить изображение точки, зависит от предельной точности определения положения луча. Лучи в оптике служат лишь для приближенного описания оптических явлений. Точное описание должно быть дано в рамках волновой оптики. Поскольку волновая оптика определена ранее в разд. 3.6 как квантовая теория лучевой оптики, то мы уже знаем, что волповая функция есть величина вероятности нахождения луча в данной точке. Положение и «импульс» световых лучей представ­ ляют собой две величины, которые не могут быть опреде­ лены с произвольной точностью. Для того чтобы опреде­ лить положение светового луча с точностью Ах в попереч­ ном направлении, следует допустить разброс «импульса» луча. Из соотношения неопределенности (3.6.56) получим ограничение на точность определения положения светового луча или, что то же самое, на разрешение изображения точки

(4.2.9)

■172 Глава 4

от передней и задней поверхностей линз. Если же игнори­ ровать это явление, то для описания волновой оптики линз будет достаточно использовать лишь скалярное волновое уравнение. Мы ограничимся рассмотрением только тонких линз. Дополнительные трудности, обусловленные тол­ щиной лпнз, лучше трактуются с помощью лучевой оптики. Такую трактовку можно найти в большинстве кпиг по оптике [1, 15].

Тонкая линза является фазовым корректором. Если рассмотреть волновое поле до п непосредственно после линзы, то обнаружится, что фаза волны изменяется, тогда как ее амплитуда в большинстве практических случаев остается без изменения. Обозначим входное поле непо­ средственно перед линзой через ф;, а выходное поле сразу за линзой через-фо- Предполагая для простоты круговую симметрию поля, действие линзы можно описать уравнением

где г — расстояние от оптической осп. Потребуем, чтобы линза имела такие же свойства, что и линза, описываемая уравнением (4.2.4). Тот факт, что лучи представляют собой траектории, ортогональные волновым фронтам, позволяет перевести картину, представленную на фиг. 4.2.1, на язык волновой оптики. Результат показал на фиг. 4.3.1.

Пунктирными линиями изображены волновые фронты. Падающая плоская волна превращается в сферическую волну, сходящуюся в фокальной точке на расстоянии / позади лпнзьт. Фаза волны непосредственно после прохож­ дения волны через линзу определяется соотношением

Знак минус связал с тем, что распространяющаяся волна зависит от времени по закону (2.2.1). Уравнение (4.3.2) можно обосновать следующим образом. При г, равном р, т. е. радпусу линзы, фазовый сдвиг равен нулю. Он возра­ стает при уменьшении г п достигает максимума при г = 0. Такое поведение становится очевидны.\г, если вспомнить, что собирающие лппзы толще в центральной своей части вблизи оптической оси и становятся все тоньше при уда­ лении от центра по направлению к периферии. Более толстый участок в центре соответствует большей оптнче-

ской длине пути для светового поля, чем тонкий участок у края. Более длинный оптический путь означает больший фазовый сдвиг. Предположение о квадратичной зависимо­ сти является приближением, справедливым для линз, для которых удовлетворяется соотношение

Квадратичная закономерность становится понятной, если учесть, что фазовый сдвиг должен быть одинаков для г и

Ф н г. 4.3.1. Топкая линза как фазовый корректор. Падающая плоская волна превращается за линзой в сферическую волну, схо­ дящуюся в фокальной точке.

—г. Квадрат есть папнизшая степень, удовлетворяющая этому требованию. Наличие членов четвертого порядка указывало бы на то, что линза обладает аберрациями. Эти простые соображения позволяют определить фазовый сдвиг с точностью до неизвестного параметра К. Эта константа должна описывать оптическую силу линзы. Мы определим эту константу в параксиальном приближении. Поскольку каждый волновой фронт является поверхностью постоян­ ной фазы, то, следовательно, волновой фронт на расстоя­ нии £ от края линзы (см. фиг. 4.3.1) имеет фазу у (0). Получаем соотношение

па расстояние £ от края линзы до волнового фронта, касаго-

щегося тонкой линзы в точке ?'=0. Величина к есть по­ стоянная распространения (1.3.13). Расстояние £ можно получить из теоремы Пифагора, примененной к треуголь­ нику, показанному на фиг. 4.3.1:

Константа К теперь получается из формул (4.3.4) и (4.3.6):

Фазовый сдвиг, обусловленный прохождением волны через тонкую линзу, получим окончательно из равенств (4.3.2)

и (4.3.7):

7 ( 0 = (4.3.8)

Фазовый сдвиг позволяет рассчитать прохождение волн через тонкую линзу. Для простоты рассмотрим двумер­ ный случай. Следуя обычной нашей практике, назовем задачу двумерной, если отсутствует зависимость от одной декартовой координаты. Предполагая, что нет зависи­ мости от г/, рассмотрим прохождение волнового поля от плоскости, находящейся на расстоянии а перед линзой, до плоскости на расстоянии Ъ позади линзы. В нашей двумерной задаче мы имеем дело с тонкой линзой, экви­ валентной цилиндрической лиизе. Геометрия задачи показана на фиг. 4.3.2.

Прохождение входного поля ф,- из сечения z; = const в положение непосредственно перед линзой описывается

В соответствии с характером параксиального приближе­ ния мы заменили косинусы, стоящие в (2.2.43), на единицу.

от линзы. После прохождения линзы оно преобразуется следующий! образом км. (4.3.1) и (4.3.8)]:

Функция г|)2 описывает волну непосредственно за линзой. Поле в выходной плоскости имеет вид

После подстановки выражения (4.3.9) в (4.3.10) и исполь­ зования полученного соотношения для исключения чр2

Ф в г. 4.3.2. К определению некоторых величии, используемых п волновой оптике для описания формирования изображения с по­ мощью топкой линзы.

из (4.3.11) получаем двойной интеграл. Интегрирование,

не затрагивающее входное поле т|)г, приводит к интегралу

оо

/ = J ехр [ - 4 (4 - + т - т )*'а] х

Для упрощения записи в выражении (4.3.12) были исполь­ зованы соотношенпя

Врезультате получаем соотношение между входным полем

иполем на выходе

сю

Уяе1(^ 4)л е-Щг0-г.)е_;(Л/2/)р2

%ХУаЬ

В общем виде это соотношение оказывается довольно сложным. Имеются, однако, весьма интересные частные случаи, заслуживающие специального исследования. Начнем с рассмотрения случая

Поскольку а стоит в знаменателе выражения (4.3.18), то очевидно, что мы сталкиваемся здесь с сингулярностью. Однако с данной сингулярностью легко справиться, если обратиться к (4.3.15). При а — 0 член с х1 исчезает из по­ дынтегрального выражения, н мы имеем дело с представ­ лением 5-функции:

Используя формулы (4.3.15) и (4.3.20), получаем резуль­ тат для предельного перехода

а-о ' а

вает связь световой интенсивности изображения с интен­ сивностью объекта (если изображение увеличено,

> 1 ) .

Читатель, несомненно, обратил внимание на то, что размеры линзы здесь предполагаются настолько больши­ ми, что ее истинными границами можно пренебречь и рас­ пространить интегрирование от —оо до +оо. Очевидно, что это приближение оправдано, если размер светового пятна мал по сравнению с размером линзы. Однако прене­ брегаемый нами конечный размер линзы в случае его учета приводит к дифракционным эффектам, которые ограничи­ вают достижимое разрешение изображения (см. разд. 4.6).

Вернемся к выражению (4.3.18) и продолжим обсужде­ ние волновой оптики линз, рассмотрев еще одни частный случай. Предположим, что

Иными словами, поле объекта и поле изображения распо­ ложены в передней и задней фокальных плоскостях линзы. Подстановка выражений (4.3.16) н (4.3.26) в (4.3.18) при­ водит к следующему соотношению:

— ОО

X e Hh/nxoXidxi. (4.3.27)

Исключая нз рассмотрения несущественный фазовый мно­ житель, мы видим, что выходное поле в задней фокальной плоскости линзы представляет собой преобразование Фурье входного поля, расположенного в передней фокаль­ ной плоскости. Лииза, следовательно, способна осуще­ ствлять преобразование Фурье. Этот результат является очень важным при оптической обработке данных и в слу­ чае пространственной фильтрации. Поскольку преобразо­ вание Фурье какого-либо входного поля, расположенного в передней фокальной плоскости, осуществляется в задней фокальной плоскости, то оказывается возможным воздей­ ствовать на полученный «спектр» с помощью простран­ ственной фильтрации, фазового сдвига или перемножения с другими функциями для того, чтобы придать прсобразо-