книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы
.pdfно |
Глава 2 |
Этот результат существенно сложнее, чем в случае фазо вой решетки без потерь. Полный обмен мощностью, конеч но, не возможен, так как обе волны испытывают потери при прохождении через рассеивающую среду. В случае рассеивания вперед при нормальном падении, k sz — k iz, также имеем а ; = a s = а, так что из соотношений
(2.7.44), (2.7.11) и (2.7.14) получаем
,.==121 а, |
(2.7.47) |
н выражения для амплитуд волн упрощаются:
A (z) = |
ch [ у М |
a (z+d) J |
(2.7.48) |
и |
|
|
|
В (z) —A0e-a(z+d) sli lГ--i Hi |
a (z-f-d)Jj , |
(2.7.49) |
|
где — d ^ 3 ^ d.
Интересно заметить, что осцилляции обмена мощностью, которые имеют место при прохождении волн в фазовой решетке, не происходят в случае решетки с потерями (амплитудной решетки). Амплитуда рассеянной волны при z --- d равна
£(d) = /l0e -2“(,sh ( I l i a d ) . |
(2.7.50) |
Постоянные ц и /гг должны удовлетворять соотношению (2.7.38). Следовательно, иаилучшпм условием для такой решетки является равенство
|
I Л |
I = и*. |
(2.7.51) |
|
Тогда амплитуда волны, рассеянной вперед, равна |
||||
5(d) = |
i n |
0(e-“d- e - 3“d). |
(2.7.52) |
|
При |
2ad = |
Jn 3 |
(2.7.53) |
|
|
||||
амплитуда достигает |
максимума: |
|
||
•®шах { d ) |
3з/2 |
0,192Л0. |
(2.7.54) |
|
Теория дифракции |
dll |
Мощность, переносимая рассеянной волной, пропорцио нальна | В |3. Решетка с периодическими вариациями поглощения, удовлетворяющая условию оптимума (2.7.51), может передать пе более 3,7% мощности падающей волны волне, рассеянной вперед. В связи с этим, конечно, бес смысленно использовать объемные решетки при рассея нии вперед, так как падающая и рассеянная волны трудно различимы. Наши расчеты преследуют цель установить оптимальные величины для рассеяния почти вперед при работе с амплитудными решетками. Интересно заметить, что для той же величины а г = а и толщины материала, определяемой формулой (2.7.53), амплитуда падающей волны после прохождения материала с тем же значением nh но при ц = 0 равна
A(d) = A0e - ^ = ^ A 0. |
(2.7.55) |
Далее рассмотрим случай отражения от амплитудной решетки. В этом случае выполняется неравенство (2.7.34), так что имеем
о+= — a-f-6 |
(2.7.56) |
и |
(2.7.57) |
а_— —а — б, |
где
(2.7.58)
hiz^sz
а а дается соотношением (2.7.43). Амплитуды волн полу чаются из формул (2.7.21) и (2.7.22) с помощью соотноше ний (2.7.23) и (2.7.24) (для — d, z ^ d)
6 ch б (z— d)— (a; — as) sh 6 (z— d)
A (z) = A0e~a<-z+d'>----------------- |
=----------------------- |
|
, (2.7.59) |
|
|
|
6 ch 26d -j- -g- (cc; — a s) sh 26d |
||
В |
k0x |
/l0e“a(2+a') • |
sh 6 (z— d) |
|
(z) = |
|
I |
||
|
|
6 ch 25d-j-- |
^- (a ;— a,s) sh 26d |
|
|
|
|
|
(2.7.60) |
Рассеянная волна возникает теперь при ъ = —d. Пред полагая, что рассеяние происходит назад при нормальном
112 Глава 2
падении, k iz — — k sz, имеем a s = — a-t и, следовательно,
а = |
0. Используя еще и условие оптимума (2.7.51), полу |
||
чаем |
из формулы (2.7.58) |
|
|
|
б |
Уз а |
(2.7.51) |
Учитывая равенство |
|
|
|
|
*) (®i |
&s)—Я/1 |
(2.7.62) |
пз формулы (2.7.G0) имеем |
г/1,1 |
|
|
|
|
(2.7.63) |
|
|
‘ 2 -I-1/3 cth (1 /3 otid) |
||
|
|
||
Оптимума по толщине теперь нет. Максимальное значение В (—d) достигается, когда 2d устремляется к бесконечно сти:
■Bmax ( — d ) : |
i./l0 = 0,268L4„. |
(2.7.64) |
|
2 л.-Уз |
|
Оптимальная эффективность пе!)едачн мощности в слу чае отражения достигает 7,2%. С амплитудной решеткой можно получить оптимальную передачу мощности для случая отражения назад, в 2 раза превышающую мощность, рассеянную вперед. Таким образом, фазовая решетка без потерь существенно эффективнее любой решетки с перио дическими вариациями коэффициента поглощения, так как с фазовой решеткой можно достичь эффективности передачи мощности 100°о.
При рассеянии вперед (плп почти вперед) вектор (1 дол жен быть направлен параллельно плоскостям z - const. Это означает, что плоскости постоянных потерь плп посто янного показателя преломления должны быть ориентиро ваны почти перпендикулярно плоскостям z = const. При рассеянии назад вектор [1 должен быть направлен почти перпендикулярно плоскостям z — const, так что слои постоянного показателя преломления параллельны пло скостям z = const.
3
ГЕОМЕТР] 14ЕСКА Я ОПТИКА
3. 1. 1 5 В Е Д Е 1 Ш Е
Замечательной особенностью видимого света является малость длины его волны. Существует электромагнитное излучение с более короткой волной. Это ультрафиолетовое излучение, рентгеновские лучи и гамма-излучение. Обла сти видимого света соответствуют длинам волн примерно от 0,4 до 0,7 мкм. Более длинные волны называются ин фракрасными волнами, волнами диапазона СВЧ и радио волнами. Часто области ультрафиолетового и инфракрас ного излучений также относят к оптике. Однако не так важно, как именно мы определим область оптического излучения, если имеем дело с излучением, длина волны которого существенно меньше любых размеров, встречаю щихся в нашей повседневной жизни. Линейные размеры элементов во многих оптических приборах гораздо больше длины волны света, проходящего через эти приборы. В та ких случаях для описания процессов распространения света можно пользоваться приближенными методами гео метрической оптики. При этом нет необходимости в реше нии уравнений Максвелла пли волнового уравнения. Геометрическая оптика применима в тех случаях, когда дифракцией света можно пренебречь.
Лучевая оптика, как иногда называют геометрическую оптику, мо?кет быть использована при рассмотрении явлеипи, описываемых волновым уравнением, прн условии, что длина волны мала по сравнению с размерами аппаратуры. Лучевая оптика применима поэтому для решения многих задач, связапных с распространением звука. Она близка к классической механике материальной точки. Действи тельно, соотношение между лучевой оптикой и волновой оптикой такое же, как между классической механикой и волновой механикой.
S-087
114 |
Глава 3 |
Начнем с вывода |
уравнений геометрической оптики |
из волнового уравнения. Затем получим эти же уравнения нз принципа Ферма и рассмотрим принцип Гамильтона применительно к геометрической оптике. .Покажем, что теорема Лнувилля, обычно рассматриваемая в статистиче ской механике, имеет важные и интересные приложения в оптике. В данную главу включена также квантовая тео рия лучевой оптики, показывающая, что квантование уравнений геометрической оптики также приводит к вол новому уравнению. Сопоставление релятивистской меха ники материальной точки н релятивистской квантовой механики показывает, что так называемое параксиальное приближение в лучевой оптике эквивалентно нерелятивистской механике материальной точки.
Принцип Гамильтона в лучевой оптике ы квантовая теория световых лучей не являются совершенно необхо димыми для понимания остальной части книги. Поэтому читатель при желании может опустить разд. 3.5 п З.б.
3.2.ВЫВОД УРАВНЕНИИ ЛУЧЕВОЙ ОПТИКИ И 113 ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Вгл. 1 было выведено волновое уравнение (1.3.0) из уравнений Максвелла. Отмечалось, что волновому уравне нию удовлетворяет каждая составляющая векторов элек трического и магнитного полей в однородной среде. Однако даже в случае неоднородной среды можно использовать волновое уравнение с хорошим приближением, если пока затель преломления среды изменяется очень мало на рас стояниях, сравнимых с длиной волны излучения. Волновое уравнение описывает не только электромагнитные явле ния, но н множество других задач, связанных с распростра
нением волн. В линейном приближении волновым уравне нием может быть описано распространение звука в жид костях, газах и твердых телах. Тот факт, что волновое уравнение берется в качестве отправной точки геометриче ской оптики, свидетельствует о том, что мы собираемся получить приближенную теорию, которая может быть использована при исследовании распространения не только
1) Лучевая оптика хорошо наложена в [I, 15, 16|.
Геометрическая оптика |
115 |
света, но и звука. Векторная природа |
света теряется |
в представлениях геометрической оптики. Свет рассматри
вается как скалярный процесс. |
В терминах фотонной тео |
рии это означает, что мы |
пренебрегаем свойствами |
спина фотона. |
|
Ограничимся гармоническими во времени процессами, предполагая, что все переменные поля имеют зависимость от времени, которая в комплексных обозначениях может быть выражена через exp (ton), так что волновое уравнение можно заменить приведенным волновым уравнением
(2.2.2) !) |
|
V -\р —J—/с2ф= 0, |
(3 .2 ,1 ) |
в котором к может быть выражено в любой из следующих форм:
(3.2.2)
Следует сразу же оговориться, что приведенное волновое уравнение в действительности не накладывает больших ограничений по сравнению с волновым уравнением (1.3.6), как это может показаться, потому что, как мы убедились в разд. 1.3, в дисперсионной среде волновое уравнение имеет физический смысл только в узком диапазоне частот, для которого можно определить фазовую скорость излу чения. Волновое уравнение справедливо для всех частот только в свободном пространстве. Однако случай свобод ного пространства представляет наименьший интерес для геометрической оптики.
Чтобы получить желаемое приближение, предположим, что волновая функция ф имеет следующий вид:
У, z) e _i,l°s (ж, v, ц, щ е /,-0 — ш V |
(3 .2 .3 ) |
Преимуществом этой формы волновой функции является то, что она отделяет быстрые фазовые изменения, вызван ные малостью длины волны поля излучения в свободном пространстве, от гораздо более медленных изменений амплитуды ф0. Как ф0, так и S являются функциями, кото-
Ч Как ужо отмечалось, это уравнение также называется уравнеином Гельмгольца. —Лрим. ред.
8 *
не |
Глава 3 |
рые можно считать медленно изменяющимися по отноше нию к длине волны излучения. Подстановка в приведенное волновое уравнение дает
К ( - J - V S - V S ) i|i„— дА,,(2ViS1• V'i|5„-j-a|)nV ZS )- |- У 2»|i„ = 0.
(3.2.4)
Члены в (3.2.4) сгруппированы в порядке уменьшения сте пени величины к 0. Из-за малости К величину к0 следует рассматривать как очень большое число. Далее можно предположить, что ф0 и S являются действительными вели чинами. Это означает, что член с множителем ik0 должен равняться пулю независимо от двух других членов. Неко торые авторы 114] используют комплексные ф0 и S, что приводит к представлению о комплексных лучах. В данной книге этот формализм не используется, по вместо этого предполагается, что выражение (3.2.3) представляет собой разложение комплексного числа ф на амплитуду ф„ и фазу k 0S. Для коротких длин воли первый член в (3.2.4) много больше последнего, так что с хорошим приближением мож но записать
(VS)a= n2. |
(3.2.5) |
Показатель преломления, как обычно, определяется соот ношением
ггО Л2 |
е |
(3.2.6) |
К |
ео |
|
Уравнение (3.2.5) известно как уравнение эйконала. Оно задает функцию S , которая позволяет определить поверх ности постоянных фаз уравнением
S (х , у, z) — const. |
(3.2.7) |
Поверхности постоянных фаз определяют форму поля излучения, поэтому уравнение эйконала описывает рас пространение волны в приближении геометрической оптики.
В соответствии с названием «лучевая оптика» геометри ческая оптика использует понятие световых лучей для описания распространения поля излучения. Понятие о све товом луче возникает естественным образом, когда мы наблюдаем, как тонкий световой пучок распространяется
Геометрическая оптика |
117 |
в пространстве. В большинстве сред свет постепенно рас сеивается на пути его распространения, что делает види мой траекторию светового пучка. Каждому знаком вид топкого светового пучка в накуренной комнате. Интен сивные световые лучи видимы даже в относительно чистом воздухе, поскольку частицами пыли рассеивается энергия, достаточная, чтобы проследить траекторию луча. Однако понятие светового луча было несколько обобщено. Интуи тивно ясно, что два световых пучка пойдут почти по одно му и тому же пути, если они вышли параллельно и близко друг от друга. Таким образом, можно представить себе пучок (связку) световых лучей, определяющих направле ние распространения более широкого светового поля. В терминах волновой оптики можно говорить о световом пучке как об участке плоской волны, который заполняет только весьма узкую область пространства. С некоторым приближением такой пучок можно получить пропускани ем плоской волны через отверстие в непрозрачпом экране. Как следует из разд. 2.3 и 2.4, плоская волна, прошедшая через очень узкое отверстие, не сохраняет своей формы. Однако, если отверстие велико по сравнению с длиной волны (это предположение существенно для геометриче ской оптики), световой луч, прошедший через отверстие, будет расширяться благодаря дифракции сравнительно медленно, а понятие об ограниченной плоской волне будет оставаться приблизительно справедливым па некотором расстоянии за отверстием. Известно, что поверхностп постоянных фаз перпендикулярны направлению распро странения света плоской волны. Теперь можно определить световые лучи как траектории, ортогональные фазовым фронтам световой волны. Если известны поверхности постоянных фаз, можно получить световые лучи, построив линии, перпендикулярные фазовым фронтам. Когда фазо вые фронты изгибаются в пространстве из-за изменений
показателя |
преломления, то соответствепио изгибаются |
и световые |
лучи. |
Желательно иметь возможность определять поведение световых лучей непосредственно без построения фазовых фронтов из уравнения эйконала.
Выберем фиксированную начальную точку и проведем из нее вектор ко всем точкам светового луча. Знать вектор
118 |
Глава 3 |
г для всех точек вдоль луча — это все равно, что иметь математическое описание светового луча. Определив s как расстояние, измеренное вдоль светового луча, полу чим единичный вектор
- = ■ £ • |
<з-2 8 ) |
По определению единичный вектор и, касательный к свето вому лучу, перпендикулярен фазовым фронтам. Из фор мулы (3.2.7) вытекает, что вектор, перпендикулярный фазовым фронтам, является градиентом от S:
v = VS. |
(3.2.9) |
Векторы v и и должны быть'параллельиы. Величину век тора v можно найти из уравнения эйконала (3.2.5)
| V | = и. |
(3.2.10) |
|
Отсюда сразу же получается соотношение |
|
|
н |
v |
(3.2.11) |
|
||
плн, подробнее, |
|
|
dг |
= VS. |
(3.2.12) |
ds |
|
|
Дифференцирование по s можно представить как умноже ние единичного вектора (3.2.8) на оператор V:
d |
dij |
д |
di |
(3.2.13) |
|
ds |
ds |
dx-t |
ds |
||
|
i
Чтобы получить уравнение луча, найдем градиент от обеих частей уравнения эйконала (3.2.5):
2 V S - V V S = 2п Vn. |
(3.2.14) |
Произведение W является тензорным оператором. Соот ношение (3.2.14) может быть проверено по составляющим векторов. Используя формулы (3.2.12) н (3.2.13), можно переписать (3.2.14) и получить следующее соотношение:
j L v S = Vn. |
(3.2.15) |
as |
|
Геометрическая опт ика |
119 |
Взяв производную от (3.2.12) по s и используя (3.2.15), получаем уравнение луча
М п £ ) = * " ■ |
<з-2Лв> |
Уравнение луча и уравнение эйконала являются двумя альтернативными описаниями геометрической оптики. Уравнение луча более удобно для определения траектории световых лучей в однородной среде. Однако решение точно го (в пределах лучевой оптики) уравнения (3.2.16) трудно получить. Для многих практических применений представ ляет интерес приближенное уравнение луча. В некоторых оптических задачах рассматриваются световые лучи, кото рые всегда распространяются почти параллельно оптиче ской оси системы. Это ие значит, что лучи ие могут значи тельно отклоняться от оптической оси. Здесь имеется в виду, что угол а, который световые лучи образуют с этой осью, остается достаточно малым и поэтому можно поль зоваться приближением
tg а ж sin а ^ a, cos а ^ 1. |
(3.2.17) |
Если принять оптическую ось за ось z, то
ds «= dz |
(3.2.18) |
с точностью, предполагаемой допущением (3.2.17). Упро щение, следующее из (3.2.17), известно как параксиальное приближение. В этом приближении уравнение , (3.2.16) упрощается до уравнения параксиальных лучей
|
i ( „ * ) = v n. |
(3.2.19) |
Уравнение |
параксиальных лучей будет использовано в |
|
гл. 7 для |
решения задач распространения лучей в опти |
|
ческих волноводах с параболическим распределением показателя преломления.
Уравнение луча можно получить также из имеющего более общий смысл вариационного принципа. Преяоде чем перейти к этому выводу, исследуем граничные условия, которым подчиняются световые лучи на границе сред с различными диэлектрическими проницаемостями.