книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы
.pdf30 Глава 1
1.5. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ
Как неоднократно отмечалось, уравнения Максвелла не определяют электромагнитное поле полностью. Среди неограниченного числа возможных решений уравнений Максвелла нужно выделить те, которые удовлетворяют так же граничным условиям рассматриваемой частной задачи.
В задачах о неоднородных структурах без скачкообраз ного изменения диэлектрической проницаемости гранич ным условием обычно является требование исчезновения поля в бесконечности и его ограниченность внутри любой конечной области пространства. Задачи подобного типа будут здесь встречаться. Требование исчезновения поля в бесконечности приводит к направляемых! модам. Поле направляемых воли ограничено направляющей структурой и не теряет мощность на излучение.
Наиболее общий тип граничных условий соответствует кусочно-однородному распределению диэлектрической проницаемости. Этот случай имеет место, например, когда на пути светового луча стоит стеклянная линза. Для нас представляют интерес только граничные условия для переменных во времени полей (которые отличаются от граничных условий статических полей). Искомые гранич ные условия получаются из уравнений Максвелла в инте гральной форме. Эти уравнения можно вывести интегри рованием (1.2.1) и (1.2.2) по произвольному объему. Применение интегральной теоремы Стокса приводит к сле дующим интегральным соотношениям:
§ K d S = |
J - ^ - n d A , |
(1.5.1) |
S |
A |
|
§ E d S = - j 4 r n ^ . |
(1.5.2) |
|
S |
A |
|
Единичный вектор n направлен перпендикулярно элементу поверхности dA, тогда как dS указывает направление, касательное к кривой 5, ограничивающей поверхность А.
Поскольку форма и положение замкнутой кривой S произвольны, будем считать, что она расположена так, как показано на фиг. 1.5.1. Замкнутый путь интегрирова ния находится бесконечно близко к границе между двумя
Волновая оптика |
31 |
диэлектрическими средами, обладающими различными значениями е. Одна часть кривой расположена в среде 1, а другая — в среде 2. Участки пути, идущие параллельно границе, значительно короче длины волны излучения, но все же много длиннее участков пути интегрирования по перек границы. Фактически мы сокращаем длину этих последних участков пути до нуля. Область внутри кривой
Среда 1 |
Среда 2 |
Ф и г . |
1.5.1. |
Путь интегриро- |
е, |
|
вания |
при выводе граничных |
|
||
|
условий. |
|
|
|
S — замкнутая |
кривая; |
и е2 — |
|
|
диэлектрические |
пр оницаемости |
|
||
|
сред. |
|
|
|
Поверхность 'раздела
диэлектриков
становится исчезающе малой и потому правые части уравнений (1.5.1) и (1.5.2) можно принять равными нулю. Величины Е и Н на коротких, но конечных участках пути, расположенных целиком в одной или другой среде, мож но считать постоянными, так что
[(Яг)1-(Я*)2] AS = 0,
[( £ ,)! - ( а д Д5 = 0.
Индекс t указывает, что речь идет о компонентах поля, тангенциальных к границе. Длина бесконечно малого участка пути интегрирования в каждой среде обозначена через AS. Отсюда сразу получаем искомые граничные условия для тангенциальных компонент поля:
(Ht)1 = ( а д |
(1-5.3) |
(£г), = ( а д |
(1.5.4) |
Физический смысл соотношений (1.5.3) и (1.5.4) |
состоит |
в том, что тангенциальные компоненты полей Е и Н непрерывны на границе сред. Эти граничные условия совместно с условиями на бесконечности, рассмотренными
32 Глава 1
ранее, используются для выделения тех решений уравне ний Максвелла, которые соответствуют данной конкретной физической задаче. Существуют граничные условия для нормальных компонент векторов D н В, которые вытекают из уравнений для дивергенций (1.2.5) и (1.2.6). Они пока зывают, что компоненты этих векторов, нормальные к границе раздела сред, также должны быть непрерывны ми. Однако уравнения для дивергенций могут быть полу чены из уравнений Максвелла, если взять дивергенцию от (1.2.1) и (1.2.2). Поскольку дивергенция ротора равна нулю, сразу же получаем, что должны быть равны нулю временные производные от дивергенций D и В. Но вре менные производные от величин, зависящих от времени, могут равняться нулю лишь в том случае, когда сами эти величины равны нулю. В электродинамике при наличии зависимости от времени уравнения для дивергенций выте кают из уравнений Максвелла и не являются независимы ми, т. е. они не являются условиями, которые можно на лагать отдельно. Граничные условия для нормальных компонент векторов D и В, вытекающие из уравнений для дивергенций, также не являются независимыми и уже содержатся в уравнениях Максвелла. Поэтому граничные условия для нормальных компонент полей D п В авто матически выполняются, если справедливы соотношения (1.5.3) и (1.5.4). Лишь в случае статических магнитных и электрических полей граничные условия для нормаль ных компонент независимы от граничных условий для тангенциальных компонент. Соотношения (1.5.3) и (1.5.4) являются граничными условиями только в случае разрыва однородности внутри диэлектрической среды.
Известно несколько иное граничное условие, часто используемое в случае идеального металлического про водника. Это условие требует равенства нулю компоненты электрического поля, касательной к поверхности идеаль ного проводника. В этом случае не требуется дополнитель ного условия для компоненты поля Н. В оптике понятие идеального проводника почти не применяется, так как его нельзя реализовать со сколько-нибудь удовлетвори тельной степенью точности с помощью существующих металлов. Металл следует рассматривать как диэлектри ческий материал с комплексным значением диэлектрнче-
Волновая оптика |
33 |
ской проницаемости. Тогда граничные условия, установ ленные выше, пригодны и полностью описывают рас сматриваемую ситуацию.
1.6.ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ НА ГРАНИЦЕ ДИЭЛЕКТРИКОВ
Мы теперь подготовлены для решения простейшей, но весьма важной задачи распространения воли. Пусть плоская волна с волновым вектором к, падает из одно родной среды с диэлектрической поницаемостыо £j/s0 на плоскую границу раздела между этой средой и другой
Ф и г . 1.6.1. Отражение н преломление плоской волны на границе раздела двух диэлектрических сред.
Волновые векторы падающей, прошедшей и отраженной волн обозначены соответственно через к,, к 2 и ка.
средой с диэлектрической проницаемостью, равной е2/е0. Наша цель состоит в изучении явления отражения и пре ломления волны при ее падении на подобную границу.
Геометрия задачи схематически дана на фиг. 1.6.1. Система координат выбрана так, чтобы ку■= 0. Рассмот рим два различных случая. Предположим сначала, что электрическое поле поляризовано по направлению осн у, т. е. вектор электрического поля параллелен плоской
3-087
34 Глава 1
границе раздела. Позже мы положим, что вектор Е ле жит в плоскости х, z. В любом случае будем рассматри вать падающую и отраженную волны в среде 1 и прошед шую волну в среде 2. Уравнения для плоской волны, рас пространяющейся в произвольном направлении к, уже были даны в разд. 1.4. Осталось сложить две плоские волны в среде 1, учесть наличие плоской волны в среде 2 и подобрать направления волновых векторов и амплитуды волн таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия (1.5.3) и (1.5.4).
Рассмотрим сначала случай, когда имеется только
составляющая 1Ну электрического поля, |
так что в среде 1 |
E y = Ae~ikir-\-Be~ik:>r, |
(1.6.1) |
а в среде 2 |
(1.6.2) |
E y = Ce~ik=r. |
Множитель exp (iat) для простоты опущен. Поляризация поля Н следует из (1.4.6), так что в среде 1 (напомним, что имеется только у-компоиеита вектора Е)
Hx= - A n lz ]Г/ %.е- * ‘г- В Пзг ]г |
/ ^1X e~ikЗГ, |
(1.6.3) |
||
Нz—*4/1lx V |
r |
v-e-fcar, |
(1.6.4) |
|
Г \x |
|
r |
|
|
а в среде 2 |
|
|
|
|
Hx= - C n 2tJ/ |
f - e - * * , |
(1.6.5) |
||
IIz= Cn2xj / |
|
|
|
(1.6.6) |
Связь между векторами п и к дается соотношением (1.3.11). Теперь нужно потребовать, чтобы тангенциальные компо ненты поля Еу и Ых удовлетворяли граничным условиям
(1.5.3) и (1.5.4). При х = 0 получаем
A e - iki*-\-Be-ik3*z = Ce~iktoz, |
(1.6.7) |
А п ь У ъ e-ifti*z+ BnZxV ^ i e~ihKz= С п 2хУ ч е ~ {к^ |
. (1.6.8) |
Эти уравнения должны выполняться для всех значений z; иными словами, зависимость от z должна здесь отсутст-
Волновая оптика |
35 |
вовать. А это возможно только, когда
'Hz |
“•2z |
b3z- |
(1.6.9) |
Выражения для составляющих к х и, следовательно, ком понент пх вектора п получаются из (1.3.13) и (1.3.14):
k 1а;— ф^(0“Щр, |
к^х— ^Ix^h |
(1.6.10) |
|
h x = |
V “ 2e 2p. — |
/c2z = n 2xk 2, |
( 1 . 6 . 1 1 ) |
^Зх—^ |
^3x^1• |
(1.6.12) |
|
Проекция 7cJz, определяющая направление падающей пло ской волны, может быть выбрана произвольно. Знак минус в (1.6.12) не следует из (1.3.13), но он необходим, чтобы избежать противоречия между (1.6.7) и (1.6.8). Если
к 3х = со]/eip?i3;c имеет тот же знак, что и к 1х, то левые части (1.6.7) и (1.6.8) будут пропорциональны и правые части будут противоречить друг другу. Уравнения (1.6.7) и (1.6.8) можно теперь использовать для определения амплитуд В и С, отнесенных к произвольной амплитуде А падающей плоской волны. Имеем систему уравнений
|
|
- В |
+ |
С = А, |
|
|
|
В + Т Г С = А. |
|
||
Ее решение имеет вид |
|
hix |
|
||
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2А |
(1.6.13) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
(1.6.14) |
|
|
|
|
|
|
причем |
|
|
|
|
|
h x |
п 2х |
f |
Е3 |
1 / C02S2 p — fcjz |
(1.6.15) |
h x |
nix |
V |
|
V “ 2SiP — fcfz |
|
|
|
||||
Соотношения (1.6.10)—(1.6.15) полиостыо определяют ре шение задачи. Остается исследовать это решение и опреде лить физические свойства отраженной и прошедшей волн.
Так как модули векторов kj и к 3, как |
и |
их компо |
ненты к х, одинаковы, из формулы (1.6.12) |
и |
фиг. 1.6.1 |
|
|
3* |
36 |
Глава 1 |
|
очевидно, |
что |
(1.6.16) |
|
оц = а 3. |
Падающая и отраженная волны составляют одинаковые углы с нормалью к отражающей поверхности. Это и есть закон отражения. Обозначая абсолютную величину векто ров к 4 и к 2 через к{ и к 2, получим из (1.3.13) следующее соотношение:
ki |
е2 |
(1.6.17) |
V t |
||
|
<4 |
|
Согласно фиг. 1.6.1, синус угла а г равен
sina;= - ^ , i = 1, 2 или 3. |
(1.6.18) |
Используя соотношения (1.6.9), (1.6.17) и (1.6.18), можно записать
sin а 2 п1 |
(1.6.19) |
|
В правой части стоит отношение показателей преломления двух сред. Показатель преломления определяется соот ношением
г 1 |
( 1.6.20) |
Л± |
|
' “ - У ТГ£о - |
|
Уравнение (1.6.19) является очень важным и известно под названием закона Снеллиуса. Этот простой закон позволяет проследить за ходом световых лучей через последовательность однородных сред. Поэтому оказывает ся возможным проанализировать способность линзовых систем формировать изображение путем проведения луча в соответствии с законом Снеллиуса. В соответствии с закопом преломления световых лучей луч представляет собой ломаную линию, приближающуюся к направлению норма ли к поверхности раздела при переходе из одной диэлек трической среды в другую, обладающую более высокой диэлектрической проницаемостью.
Фиг. 1.6.1 относится к случаю, когда показатель пре ломления среды 2 выше, чем у среды 1. Допустим, однако,
на время, что е4> |
е2 и, следовательно, |
> п2. Тогда |
из формулы (1.6.19) |
имеем |
|
sin а2— -^~ sin oq )> sin а 4. |
(1.6.21) |
|
п 2
|
Волновая оптика |
37 |
По мере роста угла |
функция sin а 2 достигает единицы |
|
до того, как а у станет равным 90°. В этом предельном слу чае плоская волна входит в среду 2 параллельно границе между двумя средами. Бесконечно малое возрастание приводит к sin a 2 > 1, что невозможно удовлетворить ни при каких вещественных значениях а 2. Физическая интерпретация этого явления заключается в том, что прошедшая волна больше не пересекает границу, т. е. остается лишь отраженная волна. Это явление называют полным внутренним отражением. Анализ на этом предель ном случае не заканчивается, и мы можем изучить поведе
ние плоских волн более |
детально. |
Из формул (1.6.9) |
и (1.6.18) следует, что |
|
|
7C2Z=-fclz |
&2-—® |
(1.6.22) |
так что, согласно (1.6.11), |
величина к 2х становится мни |
|
мой. Зависимость амплитуды волны от г в среде 2 теперь задается функцией *)
указывающей, что волна больше не распространяется в среду 2, а является спадающей (нераспространятощейся) волной с амплитудой поля, убывающей экспоненциально с ростом х.
Полное внутреннее отражение представляет собой пример существования в свободном пространстве нераспространяющихся волн, которые были рассмотрены в разд. 1.3. Полное внутреннее отражение наблюдается всякий раз, когда угол падения волны, приходящей к гра нице раздела двух диэлектрических сред со стороны более плотной среды (среды с большим показателем пре ломления), превышает некоторое критическое значение, определяемое уравнением
sin aic= — . |
(1.6.23) |
' |
Л1 |
4 |
1) Квадратный корень в (1.6.11) может иметь знак либо плюс, либо минус. Выбираем к2х = — £ | к2х |, так как в противном случае получается нарастающая волна, которая нарушает гранич ное условие конечности (или равенства нулю) интенсивности поля в бесконечности.
38 Глава 1
Уравнение (1.6.23) определяет критический угол для полного внутреннего отражения. Тот факт, что волна в среде 2 экспоненциально убывает, когда оц превышает критический угол, говорит о том, что поле в этой среде возбуждается со слишком короткой длиной волны, чтобы быть распространяющейся волной в среде с более низким показателем преломления (см. обсуждение данного вопро са в разд. 1.3).
Амплитуды полей прошедшей п отраженной воли да ются выражениями (1.6.13) и (1.6.14). Из формулы (1.6.15) видно, что отношение к 2х/к1х всегда положительно *), Как следствие этого величина С!А всегда положительна независимо от того, поступают волны из плотной среды в среду с низким показателем преломления или наоборот. Знак амплитуды В отраженной волны зависит от характе ра двух сред вблизи границы. Если волна отражается от среды с более высоким показателем преломления, то, как следует из формулы (1.6.15), величина к 2х/к1х больше единицы п, следовательно, амплитуда В отрицательна. Отражение от более плотной среды изменяет знак напря женности электрического поля. В противном случае, когда световая волна отражается от среды с более низким показателем преломления по сравнению со средой, откуда она пришла, амплитуда В положительна, т. е. вектор Е не меняет знака прп отражении.
Представляет интерес рассмотреть отраженную и про шедшую через границу мощности. При использовании метода комплексных амплитуд исходным является соотно
шение (1.2.12) |
|
S = lRo(ExH*). |
(1.6.24) |
В частном случае, когда отлична от нуля только ком понента Е у вектора Е, для я-проекции вектора S получаем
^ = |5,|=4-|Re(^*)|. |
(1.6.25) |
ж-проекция вектора Пойнтинга представляет собой мощ ность, проходящую перпендикулярно поверхности. Мощ-
*) В данном случае исключаем пз рассмотрения явление пол ного внутреннего отражения.
Волновая оптика |
39 |
ность S z, протекающая параллельно границе, на поверх ность раздела не падает. Рассмотрим мощность падающей, отраженной и прошедшей волн. Мощность падающей волны получим путем подстановки слагаемого с множи телем А выражений (1.6.1) и (1.6.4) в (1.6.25). В итоге имеем
Pi = |
(1.6.26) |
Мощность отраженной волны содержит множитель В:
Р г = \ п 1ху ^ - \ В \ \ |
(1.6.27) |
Наконец, мощность прошедшей волны дается выражением
Pt = ^ n 2xj / ^ \ С \ \ |
(1.6.28) |
Коэффициент отражения и коэффициент прохождения определяются следующими соотношениями:
|
В |
Рг |
_ |5 |2 |
|
(1.6.29) |
|
|
Pi |
\А |2 ’ |
|
|||
|
|
|
|
|||
Т |
|
Р{ |
hx |
|С |2 |
|
(1.6.30) |
|
Pi |
kix |
\А I2 |
• |
||
|
|
|
||||
Для того чтобы выразить коэффициенты отражения и про хождения через угол падения волны, запишем выраже ние (1.6.15) с учетом (1.6.18) в виде
к2х_ п2 cosа2
к\х П) cos ct-i
Подставив вместо а 2 выражение, полученное из закона Снеллиуса (1.6.19), имеем
к2х |
"l/a-1—nf sin2 aj |
(1.6.31) |
|
к}Х |
«л cos aj |
||
|
Отношение прошедшей мощности к падающей можно теперь получить из формул (1.6.13), (1.6.30) и (1.6.31):
4ni cos aj 1/ п\ — п\ sin2 ai
(1.6.32)
(ni cos ctj-f-Д / — nf sin2 оц)2