книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

3.3. ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ ДЛЯ СВЕТОВЫХ ЛУЧЕН

Граннчное условие для световых лучен можно получить из формулы (3.2.12). Используя результат теории линей­ ных интегралов [17], сразу же находим

(3.3.1)

Интеграл берется по замкнутой кривой х). Вектор cl\ направлен по касательной к этой кривой. Используя фор­ мулы (3.3.1) п (3.2.12), получаем важное соотношение

(3.3.2)

В слегка измененном виде уравнение (3.3.2) выражается следующим образом:

(3.3.3)

Из уравнения (3.3.3) следует, что результат интегрирова­ ния п (dr/ds) •!' (t — вектор, касательный к кривой п па­ раллельный dl) в пределах от Р х до Р 2 не зависит от пути интегрирования. Индексы 1 и 2 у ill означают интегриро­ вание вдоль разпых кривых. Этот результат можно интерпретировать двумя различными способами. При одной пптерпретацпп рассматривается поле лучей в про­ странстве. В этом случае из уравнения (3.3.3) следует, что еслп проекция вектора п (dr/ds) па направление кривой (вдоль которой берется интеграл) интегрируется от точки Р 1 до точки Р 2, то результат интегрирования не зависит от выбора пути интегрирования. Конечно, вектор dr/ds направлен по касательной к направлению каждого из све­ товых лучей, пересекаемых кривой интегрирования. Это интересный и удивительный результат. Другая интерпре­ тация уравиеиия (3.3.3) приводит к результату, который еще более важен для лучевой оптики. В данном случае

с одним из световых лучей. Векторы dr/ds и d\ параллель­ ны в этом случае, и их произведение является просто линейным элементом ds светового луча. Соотпонгение (3.3.3) принимает вид

(3.3.4)

Интеграл от п вдоль светового луча известен как оптиче­ ская длина пути. Тогда уравнение (3.3.4) можно интерпре­ тировать следующим образом. Две точки Pi и P z можно соединить двумя различными световыми лучами только в том случае, если оптические длины путей одинаковы для обоих лучей. Этот результат важен для систем форми­ рования изображения. Изображение формируется тогда, когда каждый луч, выходящий из произвольной точки объекта, встречается со всеми остальными лучами, выходя­ щими из той же точки объекта, в некоторой другой точке пространства. Точка, в которой все лучи, исходящие из данной точки объекта, сходятся, называется точкой изображения. Из равенства (3.3.4) следует, что оптические длины путей всех лучей, соединяющих точку объекта сточкой изображения, одинаковы.

После такого отступления вернемся к пашей исходной цели — получению граничных условий для световых лучей. Предположим, что поле световых лучей проходит через граппцу между двумя средами с различными показателями преломлеппя, как показано на фиг. 3.3.1. Здесь изобра­ жена также кривая С, которая проходит параллельно границе в среде 1, пересекает ее в направлении от среды 1 к среде 2 и возвращается к исходной точке, проходя параллельно границе в среде 2. Выбирая кривую С в каче­ стве пути интегрирования в (3.3.2), получаем

(3.3.5)

Едпппчный вектор t направлен по касательной к границе. Уравнение (3.3.5) получено для случая, когда путь вдоль

этих участков интегрирования. Отрезки пути интегриро­ вания, пересекающие границу между двумя средами, счи­ таются исчезающе малыми. Векторы dr/cls и t имеют еди-

Л у ч и света

ц пересекающая ее: I — единичный вектор, тангенциальный к поверхности.

нпчную длину. С учетом углов, показанных на фиг. 3.3.2, сразу же получаем необходимое граничное условие

Это соотношение уже было выведено в разд. 1.6 [уравнение (1.6.19)]. Таким образом, снова получен закон Сиеллиуса методом геометрической оптики.

Ф п г. 3.3.2. Расположе­ нно углов a t н а 2, входя­ щих в закон Спеллнуса.

Этот результат тем более удивителен, что была сделана оговорка о приближенности результатов лучевой оптики на границе двух диэлектрических сред. Эта оговорка осно­ вывалась на том, что уравнения лучевой оптики следуют из волнового уравнения, которое само является лишь

приближением в случае пеоднородной среды. Приближен­ ный характер волнового уравнения является следствием его вывода из уравнений Максвелла. На границе сред пока­ затель преломления (или диэлектрическая проницаемость) изменяется очень значительно, что приводит к нарушению условия (е2 — ej)/e<^l (полученного в разд. 1.3), при котором справделиво волновое уравнение. Чтобы получить равенство (3.3.6) из уравнений лучевой оптики, необхо­ димо использовать волновое уравнение именно в той обла­ сти, где его применимость становится сомнительной. Однако результат (3.3.6) подтверждается строгим выводом равенства (1.6.19), который был основан на уравнениях Максвелла. Более того, можно вывести уравнение эйко­ нала непосредственно из уравнений Максвелла [18].

Справедливость изложенного метода можно обосновать следующим аргументом. Примем, что граница между дву­ мя средами является не линией, а размазанной областью, в которой показатель преломления постепенно изменяется от п\ до ?г2. Пусть это изменение происходит достаточно быстро, так что оно завершается на расстоянии, малом по сравнению с другими, интересующими нас размерами, но большом по сравнению с длиной волны света. В этом случае в переходной области можно использовать волно­ вое уравнение. В итоге получаем результат (3.3.6), как п раньше в предположении, что отрезки пути, параллель­ ные границе, много больше отрезков интегрирования, соединяющих обе области пространства. Поскольку луче­ вая оптика справедлива при X —»- 0, гладкая пере^ходная область может быть сколь угодно малой и в то же время достаточно широкой по сравнению с длиной волны.

3.4.ПРИНЦИП ФЕРМА

Вразд. 3.2 из приведенного волнового уравнения были получены уравнение эйконала и уравнение луча. В этом разделе будет использован другой подход. Уравнения геометрической оптики можно получить из вариационного принципа. Этот подход имеет то преимущество, что вскры­ вает тесную связь между лучевой оптикой и классической механикой.

из вариацноипых принципов. Наиболее известным из ва­ риационных принципов физики является принцип наи­ меньшего действия Гамильтона 119]. Принцип Ферма очень похож по форме на знаменитый закон Гамильтона. Есть, однако, одно существенное отличие: принцип Гамильтона основан па минимизации функций от времени, а принцип Ферма — на минимизации функций от пространственных координат. Сходство между классической механикой и оп­ тикой требует поэтому замены времени пространственной координатой. За исключением этого, сходство между луче­ вой оптикой и механикой очень близкое.

Принцип Ферма основывается на понятии об оптиче­ ской длине пути, которое введено в (3.3.4). Он утверждает, что световой луч всегда выбирает траекторию с минималь­ ной оптической длиной пути. Как указал Люнеберг [16], в редких случаях этот минимум фактически может быть максимумом. Кроме того, важно понять, что эта миними­ зация длины пути не приводит к абсолютному минимуму. Принцип Ферма требует, чтобы любой путь в непосред­ ственной близости от минимальной траектории был длиннее ее. В математических обозначениях принцип Ферма при­ нимает вид

р i

Вместо длины пути можно ввести попятие о времени про­ хождения путем деления уравнения (3.4.1) на постоянную с, т. е. скорость света в вакууме. Величина chi является скоростью света в среде с показателем преломления п. Тогда выражение под знаком интеграла есть время, кото­ рое необходимо свету для прохождения расстояния ds. Поэтому принцип Ферма можно записать в виде

(3.4.2)

Р) и Р г — это две фиксированные точки в пространстве. Световой луч должен пройтп от Рх к Р 2 за минимальное время, т. е. он должен найти траекторию, которая приводит

Решение задачи (3.4.5) хорошо известно в вариацион­ ном исчислении и нет необходимости приводить ого здесь [20]. Оно дается уравнениями Эйлера для вариационной задачи

Подстановка выражения (3.4.6) приводит к

С помощью формулы (3.4.3) эти уравнения можно записать в более сжатой форме:

Сравнение формул (3.4.11) и (3.4.12) с (3.2.16) показывает их идентичность. В самом деле, из принципа Ферма следу­ ет, что двух уравнений (3.4.11) н (3.4.12) должно быть достаточно для определения траектории луча. Это свиде­ тельствует о том, что z-компонента уравнения луча являет­ ся лишней. Действительно, можно показать, что соот­ ветствующее уравнение для z можно получить из уравне­ ний для х и у. Для облегчения этого доказательства преоб­ разуем соотношение (3.4.3) к виду

тель знаком с уравнениями движения Гамильтона [19]. Переход от уравнений Эйлера (в механике они обычно называются уравнениями Лагранжа) к уравнениям Гамиль­ тона достигается следующим образом. Начнем с введения обобщенных импульсов рх и ру, которые рассматриваются как переменные, канонически сопряженные с х и у. Обоб­

щенные импульсы задаются уравнениями

Лагранжиан L дается формулой (3.4.6). Ключевым момен­ том в этом определении является выбор независимых пере­ менных для гамильтониана Л. Предполагается, что лаг­ ранжиан зависит от х, у, х' н у' , как это следует из (3.4.6). По определению независимыми переменными гамильто­ ниана являются х , у, рх и ру. Замена переменных дости­ гается, если заменить х’ и у' на рх и ру с помощью формул (3.5.1) н (3.5.2). Наличие различных независимых пере­ менных указывает на то, что рх, ру, х' и у' считаются здесь независимыми от х и у, тогда как х' и у' зависят от рх н ру. Воспользовавшись взаимной зависимостью этих перемен­ ных, получаем

Использование соотношений (3.5.1) и (3.5.2) с учетом фор­ мул (3.4.4) дает одно из уравнепий Гамильтона:

d x __ дН

(3.5.4)

dz д

С помощью аналогичного вычисления получаем также, что

Остальные два уравнения находятся из (3.5.3).