книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

Прп использовании метода стационарной фазы функция, которая умножается на быстро осциллирующую экспо­ ненциальную функцию, выносится из-под интеграла. В рассматриваемом случае множитель i/kx в выражении

Таким образом, мы получили все необходимые результаты для вычисления интеграла (2.3.10). После проведения необходимых подстановок ■ учетом того, что члены, соот­ ветствующие 0+, получаются путем замены d на —d во всех уравнениях, имеем*)

определяет направление, в котором точка х' , ъ' оказы­ вается видимой из щели.

Метод стационарной фазы является не просто удобной математической аппроксимацией, но имеет и определенный физический смысл. Точка /сИВ определяет ту область на оси кх, которая дает максимальный вклад в интеграл. Так как интеграл представляет собой суперпозицию пло­ ских волн, выражение (2.3.14) показывает, какая часть

х) Все члены, содержащие d, кроме входящих в экспоненту,

опущены как несущественные.

этих волн вносит наиболее существенный вклад в процесс дифракции. Отношение k'^lk определяет синус угла между направлением распространения волн и осью z. С учетом нашего приближения дальнего поля можно записать выра­ жение (2.3.14) в виде

х'

(2.3.26)

Правая часть выражения (2.3.26) вычислена с помощью формулы (2.3.25). Таким образом, получено, что направ­ ление плоских волн, вносящих наибольший вклад в про­ цесс дифракции, совпадает с направлением, под которым точка поля х' , z' видна из щели. Это интересный резуль­ тат, так как плоские волны, движущиеся в других направ­ лениях, можно не учитывать в точке наблюдения. В дей­ ствительности дифракционная картина, конечно, полу­ чается как суперпозиция бесконечного числа плоских волн. Метод стационарной фазы раскрывает тот факт, что только волны, которые находятся в непосредственной близости (в пространстве к) к волнам, направленным на точку наблюдения, дают существенный вклад в поле в этой точке.

Дифракционное поле (2.3.24) имеет форму цилиндри­

Множитель (2.3.27), как показано на фиг. 2.3.1, пмеет знакомый вид функции sin х!х. Он имеет максимум при а = 0. Функция симметрична относительно а и убывает при возрастании | а |. Ширина главного лепестка выра­ жения (2.3.27) определяется величиной nd/K. Определим угловую ширину лепестка излучения как угол а = Да, при котором функция (2.3.27) первый раз обращается в нуль. Этой точке соответствует значение аргумента сину­ са, равное я. Отсюда находим

Это важная формула. Она показывает, что полуширина Да главного лепестка излучения уменьшается при умень­ шении длины волны X излучения, а также при увеличении ширины щели d. Проходя через узкую щель, свет рассеи­ вается в стороны тем больше, чем уже щель и чем больше длина волны. Соотношение (2.3.28) имеет большое значе­ ние для расчета направленных антенн, для которых наши результаты непосредственно применимы. В разд. 3.6 мы

Ф и г. 2.3.1. Днфракцпоппая картина, создаваемая плоской волпой, проходящей через щель в непрозрачном экране.

увидим, что выражение (2.3.28) может быть интерпрети­ ровано как следствие знаменитого принципа неопределен­ ности Гейзенберга [10].

Осталось показать, что решение (2.3.24) также можно получить с помощью дифракционного интеграла (2.2.43). Поскольку мы имеем дело с далекой частью дифрагирован­ ного излучения, вызванного волной, которая падает нор­ мально на поверхность щели, то, прежде чем использовать выражение (2.2.43), можно сделать ряд упрощающих приближений.

так как волна падает нормально (у = 0) и мы предпола­ гаем, что в приближении (2.3.25) величина а мала. Нако-

пец, пренебрежем пленом х2 в показателе экспоненты под интегралом (2.2.43). С учетом этих дополнительных при­ ближений интеграл (2.2.43) можно записать в виде

Пренебрежение в показателе экспоненты под интегралом членом х2 приводит к результату (2.3.30), соответствую­ щему дифракции Фраунгофера. В приближении (2.3.25) подразумевается, что х' z', так что можно заменить z' на г везде, кроме показателя экспоненты, куда входит произведение малой величины х'!ъ' и большого числа к. Используя приближение

Поскольку А: = 2лА, выражения (2.3.32) п (2.8.24) равны. Оба подхода, применяемые для получения поля дифракции на узкой щели, с учетом принятых приближений приво­ дят к одному и тому же результату. Если использовать выражение (2.2.43) в качестве исходного, то метод дифрак­ ционного интеграла оказывается много проще метода плоских волн.

2.4. ДИФРАКЦИЯ НА КРУГЛОМ ОТВЕРСТИИ

Дифракционную задачу, рассмотренную в предыдущем разделе, оказалось возможным решить с помощью дву­ мерных уравнений. В этом разделе рассмотрим задачу, которая может быть решена лишь с помощью трехмерного дифракционного интеграла (2.2.31)

Пусть поле плоской волны падает перпендикулярно поверхности круглого отверстия в непрозрачном экране.

Используя приближение (2.3.29) и пренебрегая членами хг

иу- в показателе экспоненты, запишем выражение (2.2.31)

вследующем приближенном виде:

A

(2.4.1)

Здесь предполагается, что экран расположеп при z = 0. Чтобы оценить интеграл, введем полярную систему коор­ динат с полярной осью, параллельной оси z'. Тогда коор­ динаты х' , у' и х, у можно выразить следующим образом:

Комбинация, в которой этп величины входят в подынтег­ ральное выражеппе функции .(2.4.1), принимает вид

х ' х + у ' у = р о cos(P — Р').

Располагая ось, от которой отсчитываются углы, таким образом, чтобы Р' — 0, получим

Чтобы упростить обозначения, введем величину г0, рав­ ную радпусу, получаемому пз выражения (2.2.23) при z = х = у = 0. Таким образом, из выражения (2.4.1)

имеем

a 2n

ф (х', y'; z') = -£p-\|)0e -ihr° j odd l| eifc(p/z' ) 4 c o s (2.4.5)

о 0

Интеграл по Р может быть выражен через функцию Бес­ селя нулевого порядка, которая имеет следующее интег­ ральное представление [11]:

(2.4.6)

о

Используя хорошо известное соотношение [11] между / 0 и функцией Бесселя первого порядка / 1

(2.4.7)

ка опять определяется углом, при котором поле обращает­ ся в пуль. Первый нуль функции Бесселя .Д (z) имеет место при z = 3,832 [11], так что по аналогии с (2.3.28) получаем

Эта формула очень похожа на формулу (2.3.28). Если счи­ тать, что отверстие диаметром 2а соответствует щели шириной d, то получим, что половина углового размера Да главного лепестка излучения дифракционного поля за круглым отверстием мало отличается от полуширины главного лепестка в случае щели.

2.5. ДИФРАКЦИОННАЯ РЕШЕТКА

Дифракционные задачи, рассмотренные в двух преды­ дущих разделах, дают ценную вводную информацию о физике дифракции света и помогают научиться опери­ ровать с полезными приближениями для нахождения дифракционных полей на больших расстояниях. Однако ни щель, ни круглая диафрагма сами по себе еще не явля­ ются устройствами, применяемыми на практике. Задача, рассматриваемая в этом разделе, гораздо важнее для прак­ тики.

Дифракционные решетки являются приборами, кото­ рые применяются для анализа частот, составляющих пемопохроматическпй свет. Простой пример дифракцион­ ной решетки приведен на фиг. 2.5.1. Непрозрачный экран имеет большое число щелей шириной d. Эти щели параллельны друг другу и расположены точно периоди­ чески на расстоянии а одна от другой. Полное число щелей N + 1 заполняет область экрана шириной D так, что имеет место соотношение

Чтобы упростить последующие выкладки, предположим, что N12 — целое. Векторы к, показанные на фиг. 2.5.1, представляют собой векторы распространения. Предпо­ лагается, что вектор к г направлен перпендикулярно поверхности экрана. Вектор к0 соответствует части падаю­

щей волны, которая за экраном продолжает распростра­ няться в первоначальном направлении. Векторы к4 и к2 добавлены, чтобы изобразить рассеянный свет. Единствен­ ной (но существенной) разницей между этой задачей

kx Дифракционная

р еш ет к а

Ф и г. 2.5.1. Иллюстрация дифракционной решетки, состоящей из многих тонких щелей в непрозрачном экране.

и задачей о щели, разобранной в разд. 2.3, является число существующих щелей. Чтобы решить задачу о дифрак­ ционной решетке и получпть полное поле за решеткой, надо сложить рассеянный свет от каждой щели.

Используя формулу (2.3.31), заменим расстояние от центра каждой щели до точки х , z' выражением

Решим задачу о дифракционной решетке в приближе­ нии Фраунгофера точно так же, как решались дифрак­ ционные задачи в предыдущих двух разделах. Имеется в виду, что мы пренебрежем членом Хп в выражении (2.5.2). Координата хп = па определяет центр п-й щели решетки.

функция F (а) очень быстро осциллирует с частотой D/2X (по переменной а). Из формулы (2.5.5) видно, что всякий раз, когда синус в знаменателе обращается в нуль при

(т — целое), синус в числителе выражения (2.5.7) также

Ф и г. 2.5.2. Графическое представление функции | F (а) |, зада­ ваемой формулой (2.5.7), которая определяет дифракционную картину дифракционной решетки.

обращается в нуль. В точках (2.5.8) функция принимает значения

Величина пика, характеризующего действие дифрак­ ционной решетки, пропорциональна числу щелей в решет­ ке. Чтобы получить представление о полной картине дей­ ствия решетки как функции а, график на фиг. 2.5.2 надо мысленно представить умноженным на функцию, соответ­ ствующую одной щели, которая показана на фиг. 2.3.1. Угловая полуширина лепестка для решетки может быть определена, так же как и в случае одной щели, точкой, в которой функция F обращается в нуль первый раз после прохождения через максимум. Таким образом, угловая полуширина лепестка для решеткн равна

(2.5.10)

D N - Ь1 а '