книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

нпя волнового уравнения. Наш вывод показывает, что принцип Гюйгенса является лишь аппроксимацией. Точная форма дифракционного интеграла (2.2.19) в действитель­ ности совсем другая. Но наиболее важная часть утверж­ дения, содержащаяся в этом принципе — возмущения, возникающие в отверстии, распространяются как сфери­ ческие волны из каждого элемента отверстия — действи­ тельно справедлива. Соотношение (2.2.27) тоже является аппроксимацией, но оно отлично от принципа Гюйгенса. Это соотношение показывает, что еще недостаточно просто предположить, что падающая волна действует как источ­ ник сферических волн с силой, пропорциональной ампли­ туде падающей волны в каждой точке отверстия. Необхо­ димо приписать силе источника весовые коэффициенты, чтобы обеспечить направленность (фиктивных) источников.

Возвращаясь к выражению (2.2.27), окончательно получпм полезную аппроксимацию дифракционного интег­ рала путем подстановки выражения (2.2.23). Еще раз предостережем: чтобы использовать это приближение, необходимо проверить, действительно лн произведение к на член третьего порядка [которым пренебрегли в (2.2.23)] много меньше единицы. Если это условие выполняется, получаем приближение

ф (я', у', z') = -£ie~ih2' \ (cosy-fcosa) z, ^ z x

А

В соответствии с приближением (2.2.23) г в знаменателе заменено па z' — z. Дифракционный интеграл такого вида действительно наиболее часто используется на прак­ тике. Обычно различают две области его применения. Еслп рассматриваемое поле настолько близко к отвер­ стию, что член х2 + г/2, появляющийся в показателе сте­ пени экспоненты, следует принимать во внимание, имеет место дифракция Френеля. Если этот член пренебрежимо мал, наблюдается дифракция Фраунгофера. Дифракция Фраунгофера имеет место вдали от источника дифракции. Дифракция Френеля паблюдается также в областях, достаточно удаленных от отверстия, чтобы приближение (2.2,31) бьшо справедливо, но не настолько далеких,

чтобы можно было говорить о дифракции Фраунгофера. Указанная терминология отражает историю развития оптики. Дальнейшее обсуждение приближения Френеля можно найти в разд. 4.6.

Часто бывает достаточно рассмотреть задачу в двух измерениях, а не трехмерную задачу, как мы делали до сих пор. Преимуществом двумерных задач является то, что их проще рассматривать, и исследование таких задач часто оказывается достаточным для полного пони­ мания проблем дифракции. Исследования дифракционных интегралов, проведенные до сих пор, и в частности важная аппроксимация (2.2.31), основаны на разложении падаю­ щего поля иа непрерывный набор источников сферических волн. Сферические волны естественно появляются в трех­ мерных задачах. Для двумерных задач эквивалентом сферических воли являются цилиндрические волны. Сле­ дующий вывод дифракционных интегралов обычно не при­ водится в учебниках по оптике.

Для двумерных задач характерно, что все характери­ стики поля, так же как и геометрия пространства, в кото­ ром распространяются поля, не зависят от одной из про­ странственных переменных. Схема дифракционного опыта, изображенная на фиг. 2.2.2, становится двумерной, если предположить, что ни одна из интересующих нас пере­ менных не зависит от координаты у. Символически это можно выразить с помощью соотношения

(2.2.32)

Будем называть задачу двумерной, если справедливо соот­ ношение (2.2.32). В двух измерениях волновое уравнение принимает вид

(2.2.33)

Продолжая рассуждения точно так же, как и прежде, рассмотрим в дополнение к волновому уравнению (2.2.33) неоднородное уравнение

Умножим обе части уравнения (2.2.33) на G, а (2.2.34) — на ф и вычтем одно из другого. Интегрируя полученное уравнение по области в плоскости х, z, получим

Здесь была использована двумерная интегральная теоре­ ма для преобразования интеграла по поверхности в интег­ рал по замкнутой кривой, окружающей эту поверхность. Направление п совпадает с направлением внешней нор­ мали к кривой С.

Функция Грина наиболее легко может быть найдена в полярных координатах. Направим полярную ось вдоль оси у, расстояние от осп обозначим через г, а угол между

Нас интересуют решения, симметричные в плоскости х, z, другими словами, решения, не зависимые от а. Причина этого ограничения станет ясна, когда мы рассмотрим более детально общие решения с зависимостью от а. Такие решения могут быть записаны как произведение функ­ ции, которая завпсит только от а, па функцию только г. Последняя представляет собой либо cos (па), либо sin (па). Постоянная п должна быть целой, так как мы требуем, чтобы функция G принимала то же самое значение при изменении а от 0 до 2я. Если теперь найти особенность, которая появляется после подстановки решения в (2.2.36), то получим, что интеграл от левой части равен нулю для всех функций, кроме тех, для которых п = 0. Другими словами, только функции, не зависимые от а, обладают нужной особенностью в точке г = 0.

Дополнительно мы должны потребовать, чтобы функ­ ция Грина представляла волны, исходящие нз точки х ' , z'. Имеются также решения, представляющие волны, которые приходят из бесконечности и собираются в точке х' , z'. Эти волны должны быть исключены, так как из физиче­ ских соображений очевидно, что поле должно образовы­ ваться волнами, исходящими из области источника конеч-

иой протяженности. В наших дифракционных задачах следует ожидать, что поле в точке х ' , z' генерируется (фиктивными) источниками, расположенными в отверстии. Волны, собирающиеся из бесконечности на точку в отвер­ стии, не удовлетворяют этому требованию. Это ограниче­ ние на допустимые функции Грина было впервые сформу­ лировано Зоммерфельдом и называется условием Зоммерфельда.

Возвращаясь к уравнению (2.2.36), теперь можно записать просто

U + f ^ + ^ G = 6(o:-a:')6(Z- Z')- (2-2.37)

Левая часть этого уравнения имеет типичный вид диффе­ ренциального уравнения Бесселя. Следовательно, реше­ ниями уравнения (2.2.37) должны быть цилиндрические функции. Существуют цилиндрические функции различ­ ного вида. Так как (2.2.37) является дифференциальным уравнением второго порядка, то, как известно, сущест­ вуют два независимых решения. Функции Бесселя и Ней­ мана являются независимыми решениями этого вида [6, 8]. Однако ни одно из этих решений не пригодно здесь. Функ­ ции Бесселя не имеют особенностей, которые требуются согласно правой части уравнения (2.2.37). Функция Ней­ мана обладает необходимым сингулярным поведением в источнике, но она представляет стоячие волны п таким образом нарушает условие Зоммерфельда. Суперпозиция этих двух функций могла бы удовлетворить обоим требо­ ваниям. Такая суперпозиция существует в форме функции Хаикеля двух родов. Функция Ханкеля первого рода представляет волны, приходящие из бесконечности [при выборе временного множителя exp (iat)]. Функция Хан­ келя второго рода как раз соответствует нашим целям. Она имеет требуемую сингулярность п представляет вол­ ны, исходящие из начала системы координат, в которой описана функция. Следовательно, функция Грина имеет вид

Оставляем читателю проверить, что G удовлетворяет уравнению (2.2.37), в частности, что сингулярность при­ водит к нужному виду правой части уравнения.

Нашу задачу со щелыо можно проиллюстрировать на фиг. 2.2.2. Щель имеет ширину d и расположена так, что края щели параллельны направлению у. Предполо­ жим, что падающая волна имеет волновой вектор, лежащий в плоскости х, z, так что ку = 0. Геометрия задачи такова, что если компонента ку отсутствует, на щели не будут создаваться волны, распространяющиеся в направлении у. Следовательно, рассеянное поле не зависит от у. Таким образом, наша задача является двумерной в смысле опре­ делений, приведенных в предыдущем разделе. Эти пред­ варительные соображения позволяют упростить инте­ грал (1.3.23) с помощью следующего соотношения:

ф (кх, ку, со)= (2я)2 ср' {кх) б (со — со0) 6 (ку). (2.3.2)

Такое представление амплитуды преобразует выражение (1.3.23) к следующему виду:

оо

'К г '.з '.О Н н - J Ф'(kx) e - ^ ' + W d k x. (2.3.3)

Временной множитель exp (UoQt) здесь опущен для про­ стоты. Чтобы еще упростить задачу, предположим, что волна падает на щель перпендикулярно. Следовательно, падающая волна может быть описана выражением

Предположим, что поле в щели с достаточной точностью может быть описано просто путем усечения функции (2.3.4). При расположении щели в плоскости z = 0 усеченная функция имеет вид

Амплитуда ф' может быть получена просто как преобразо­ вание Фурье функции (2.3.5)

меняющаяся осциллирующая функция стремится уничто­ жить вклад от функции, которая умножается на нее. Следовательно, если функция, которая умножена на экспо­ ненциальный множитель, изменяется медленно по срав­ нению с экспоненциальной функцией, результат интегри­ рования будет исчезающе мал. Теперь предположим, что на оси кх имеется точка, где производная аргумента экспо­ ненты обращается в нуль. Такая точка максимума или минимума аргумента определяет малую область, в которой аргумент стационарен, другими словами, он не меняется

впервом порядке при изменении кх. Такая область дает большой вклад в интеграл, так как быстрые осцилляции прекращаются в этой области изменения кх и никакого взаимного уничтожения не происходит. Метод стационар­ ной фазы состоит в нахождении точки или точек, где аргу­ мент быстро осциллирующей функции имеет стационарное значение. Аргумент разлагается в ряд Тейлора в окрест­ ности этой точки: разложение проводится до членов вто­ рого порядка. Член первого порядка, конечно, обращается

внуль по определению стационарной точки. Функция, умножаемая на быстро осциллирующую функцию, взятая

встационарной точке, выносится из-под пптеграла. Метод стационарной фазы аналогичен действию 6-функции, так как интеграл пропорционален величине функции, умножен­ ной на осциллирующую функцию со значением аргумента, взятым в стационарной точке.

Прежде чем использовать этот метод применительно к интегралу (2.3.7), перепишем его таким образом, чтобы экспоненциальные функции, содержащиеся в его подын­