книги из ГПНТБ / Маркузе, Д. Оптические волноводы

Все полученные выше соотношения остаются справед­ ливыми для решетки с переменными потерями, если произвести замену

Другое полезное развитие данной теории получается путем обобщения формы распределения показателя преломления переходом от простой синусоиды к произвольной форме с малой амплитудой. Используем вместо формул (2.6.1) или (2.6.33) выражение

ная волна, образующаяся в случае распределения показа­ теля преломления общего вида, находится сразу, если приписать индексы величинам р п ф в формуле (2.6.26) п просуммировать полученные выражения.

Однако следует помнить, что условие Брэгга (2.6.14) для х- и ^-компонент должно быть удовлетворено, так что суммирование надо ограничить лишь теми членами, для которых оно выполняется.

Можно применить развитую теорию со всеми обобще­ ниями к многослойным диэлектрикам, которые часто используются в зеркалах и фильтрах. Для этого нужно разложить данное распределение показателя преломле­ ния в ряд Фурье. Для любой падающей волиьт условию Брэгга может удовлетворить не больше чем один член ряда. Из формулы (2.6.14) получаем сразу требуемую толщину слоя для любого желательного угла падения. Однако амплитуда волны может быть получена с хорошей точностью только для зеркал с низкой отражательной способностью из-за ограничений, свойственных теории возмущений. Общее рассмотрение можно провести для случая, когда свет падает нормально па слоистое вещество. Наиболее эффективным способом анализа для этого случая является использование лишь основного члена в разло­ жении (2.6.35). При нормальном падении в формуле (2.6.14) сохраняются только z-компоненты векторов и они равны

(с точностью до знака) модулям этих векторов. Таким образом, из (2.6.14) получаем условие оптимума для периодического многослойного зеркала

= 2п/Х, получим длину периода D, требуемую для макси­ мального отражения от многослойной периодической структуры,

(2.6.38)

2.7. ДИФРАКЦИЯ БРЭГГА. ТЕОРИЯ ОБЯЗАННЫХ БОЛИ [131

Рассмотрение дпфракции Брэгга в предыдущем разделе привело нас к важнейшим результатам. Оно позволило получить дифракционную картину тонкой дифракционной решетки, а также найти важное условие Брэгга в общей векторной форме (2.6.14) п в более привычной форме (2.6.29). Единственным недостатком теории возмущений является невозможность использования ее для предсказа­ ния амплитуд падающей и рассеянной волн в случае сильной связи или большой длины взаимодействия.

Вэтом разделе завершается обсуждение дифракции Брэгга рассмотрением теории связанных волн примени­ тельно к взаимодействию падающей волны с дифрагиро­ ванной.

Вкачестве исходных примем выражение (2.6.4) и при­ веденное волновое уравнение. Будем использовать систему координат, показанную на фиг. 2.6.1, так что плоскости z = совпадают с границами пластины, имеющей перио­ дически меняющийся показатель преломления. Используя сведения, полученные из теории возмущений, о том, что имеется определенная дифрагированная плоская волна, предположим, что полное поле можно представить в виде

Амплитуда А падающей волны и амплитуда В дифраги­ рованной волны считаются функциями z. Взаимодействие волн не столь сильно, чтобы существенно изменить ампли­ туды волн на пути в одну длину волны. Это позволяет

пренебречь вторыми производными амплитуд по сравнению с остальными членами. Такой прием в книге используется неоднократно. Полученное важное математическое при­ ближение приводит к связанным дифференциальным урав­ нениям первого порядка для амплитуд волн.

Чтобы можно было рассмотреть дифракцию Брэгга в среде с периодической вариацией коэффициента погло­ щения, необходимо, чтобы среднее значение п0 показателя преломления содержало член, соответствующий потерям. Таким образом, мы воспользуемся соотношением (2.6.18) при дополнительном предположении

Тогда соотношение (2.6.4) можно аппроксимировать сле­ дующим образом:

Предположение (2.7.2) означает, что потери в среде настолько малы, что амплитуда волны не изменяется суще­ ственно на пути, равном длине волны. Аналогично из соот­ ношения (2.7.3) следует, что модуляция коэффициента поглощения или изменение показателя преломления сла­ бые. Эти предположения подтверждаются во всех случаях, представляющих практический интерес. Если потери в веществе столь велики, что приближения (2.7.2) и (2.7.3) не применимы, падающая волна поглощается так сильно, что дифракция Брэгга уже наблюдаться не может.

Пренебрегая вторыми производными амплитуды, полу­ чим

\Ц А е - '1кг 1' ) = - ( к \ А + Ш 1 г^ ) е—iki'r, (2.7.5)

где k iz — z-компоиеита вектора к ;. Модуль постоянных распространения определяется соотношением

Используя это соотношение и условия, рассмотренные выше, а также подставляя выражение (2.7.1) в приведен-

104 Глава 2

+iirerfr; [i4e",(ki+P)‘r+ 5 e -1<k«_|,,‘r]= 0. (2.7.7)

Используем то обстоятельство, что векторы распростра­ нения рассеянной и падающей воли должны удовлетворять условию Брэгга (2.6.14). Тогда экспонепщтальпые мно­ жители в первых двух скобках равны единице. Теперь можно повторить процедуру, которая применялась ранее для решения уравнения (2.6.11). Умножим обе части равенства (2.7.7) на ехр (;'кг - г) и проинтегрируем получен­ ное уравнение по всей плоскости х, у. Пусть в направле­ нии z интегрирование распространяется па много периодов осцилляций, а интервал интегрирования остается корот­ ким по сравнению с расстоянием, па котором А (z) и В (z) изменяются значительно. Все члены, кроме первого, в равенстве (2.7.7) приближенно равны пулю, и мы полу­ чаем

Аналогично, умножая обе части равенства (2.7.7) на exp(/ks*r) и интегрируя, находим

При отсутствии периодической вариации показателя пре­ ломления (ц -- 0) уравпепня (2.7.8) и (2.7.9) независимы.

При отсутствии связи обе волны в среде с потерями рас­ пространяются с затухающими амплитудами. Интересно

z = const. Если плоская волна распространяется внутри однородной среды с потерями, ее амплитуда уменьшается как ехр [—а (к/1 к |) - г]. Однако в данном случае ситуация другая. Мы предположили, что плоская волна падает из среды без потерь и входит в среду с потерями в плоско­ сти z = —d. Амплитуда А 0 этой волны постоянна вне среды с потерями и уменьшается как функция z в этой среде. Граничное условие при z = —d: амплитуда А (г) должна быть равна амплитуде падающей волны А 0. Амплитуда волны (2.7.10) удовлетворяет этому гранично­ му условию, и, следовательно, это решение задачи пра­ вильное. Отражение и преломление на границе раздела отсутствуют, так как, согласно предположению (2.7.2),

Совместное решение уравнений (2.7.15) и (2.7.16) позволяет

Так как a ;, a s и х малы, мы не можем теперь пренебречь второй производной А. Будем искать решение в виде

106 Глава 2

Из формулы (2.7.15) получаем

KqK [(<т++а,)ае°+(H-d)_)_(CT_ -f а,) b e С*+‘0]. (2.7.22)

Таким образом, мы нашли общее решение задачи о дифрак­ ции Брэгга. Остается изучить это решение, чтобы получить сведения о некоторых иптересных частных случаях.

Существует два возможных способа наблюдать дифрак­ цию Брэгга. В зависимости от ориентации вектора р усло­ вие Брэгга (2.6.14) выполняется или для отраженной рас­ сеянной волны, или для прошедшей рассеянной волны. Таким образом, мы должны рассмотреть случай, когда рассеянная волна возникает на той же стороне рассеиваю­ щего материала, с которой первичная волна падает, либо случай, когда она возникает с противоположной стороны.

Прежде всего рассмотрим случай отраженной рассе­ янной волны. При этом на противоположной стороне рас­ сеивающего слоя т о л щ и н о й 2d рассеянная волна отсут­ ствует (фиг. 2.6.1). Следовательно, начальными условиями являются В = 0 при z — d и А — А 0 при z = —d. Эти два условия позволяют найти коэффициенты а и Ь, опре­ деляющие амплитуды,

В случае проходящей волны, когда рассеянная волна воз­ никает па противоположной стороне рассеивающего мате­

риала по отношению к падающей волне, налагаются усло­ вия В ----- 0 и А = А а при z --- —d. Амплитудные коэффи­ циенты в этом случае имеют вид

Дальнейшее рассмотрение дифракции Брэгга проведем для реальной фазовой решетки, а также для решетки, образованной периодическими слоями с потерями. В обоих случаях необходимо различать рассеяние вперед и назад.

Если периодические изменения показателя преломле­ ния имеют вещественные значения (фазовая решетка), то потери пренебрежимо малы и можно положить

Для случая прохождения (рассеянная волна возникает иа противоположной стороне слоя рассеивающего матери­ ала) из соотношений (2.7.21), (2.7.22), (2.7.25) и (2.7.26)

имеем

Этот результат ясно показывает, как периодически проис­ ходит обмен мощностью между двумя волновыми процес­ сами. Если

то вся мощность падающей волны переходит к рассеянной волне. Таким образом, мы получили результат, который не могли вывести из теории возмущений: дифракция Брэг­

га может иметь '100%-ыую эффективность. Количество пере­ данной мощности зависит от силы связи и толщины слоя материала. При 2pd<^ 1 получаем

на той же стороне, что и падающая волна), падающая и рас­ сеянная волны движутся в противоположных направлени­ ях. Это означает, что z-компонеиты их волновых векторов имеют противоположные знаки, т. е.

Параметр р в (2.7.29) теперь мнимый и удобнее написать

Амплитуды поля находятся снова из соотношений (2.7.21) н (2.7.22). В этом случае с помощью формул (2.7.23) и (2.7.24) находим

получаем тот же результат (2.6.28), что и из теории возму­ щений. Следует отметить интересное различие между слу­ чаями отражения п прохождения воли. В случае прохож­ дения мощпость может осциллировать, т. е. переходить от одной волны к другой периодически. Полная передача мощности возможна при надлежащем выборе толщины рассеивающего материала. В случае отражения осцилля­ ции мощности между волнами отсутствуют. Полная пере­ дача мощности от падающей волны к рассеянной возможна, если рассеивающее вещество имеет достаточно большую толщину. Дальнейшее увелпчеппе толщины пе приводит к заметным дополнительным эффектам. Точный выбор толщины рассеивающего вещества в этом случае ие крити-

чей. Если материал имеет достаточную толщину, всегда будет иметь место полная нередача мощности. Примером такого случая являются многослойные диэлектрические зеркала. В случае прохождения волны необходимо очень точно подбирать толщину материала, чтобы получить пол­ ное прохождение энергии.

Далее рассмотрим случай рассеивающего вещества с периодическими вариациями потерь (амплитудную ре­ шетку). Мы не можем теперь считать, что постоянная часть диэлектрических потерь обращается в нуль, посколь­ ку, для того чтобы в веществе не было усиления волны, мнимая часть показателя преломления (2.6.1) не должна становиться положительной.

Теперь получим амплитуды волн для случая прохождения через среду с периодическими варпацпямп потерь (для

— d ^ z ^ d)

A (z) = e -“(z+d) ^chy(z-)-d)— к‘9^а- sh у (z-|~<j) j Аа,

(2.7.45)