книги из ГПНТБ / Кудрин, Л. П. Статистическая физика плазмы

которые можно связать с инвариантными свойствами системы при отражениях.

Подставляя формулу (29.21) в уравнение Шредингера

(28.24), можно получить уравнение для"фч(р1, рг). Однако, как уже было отмечено, метод внешней проекции эквивалентен ва­ риационному методу Ритца. Оказывается, что в предельном случае малых rs удобнее исходить из функционала вида

Подставляя сюда выражения (29.15) и (29.20), получаем при­ ближенное равенство

ция V0, явный вид которой с интересующей нас точностью не­ существен.

Вычислим Фч (рь рг) вариационным методом Ритца. Проб­ ную функцию Ф ,(Р|, рг) удобно взять в виде:

—00

300

а и p — безразмерные вариационные параметры, значения ко­ торых определяются из условий стационарности (29.23) отно­ сительно малых изменений а и |3. В результате простого вычис­ ления получим выражение для энергии ячейки:

формуле (29.24)].

Выражение в фигурных скобках полностью совпадает с ре­

для энергии основного состояния, приходящейся на одну части­ цу, приводит к выражению

Из выражений (29.25) следует, что слагаемое, пропорциональ­ ное < У п|Чгп > - 1, возрастает с ростом V'o, поскольку все выра­ жение в фигурных скобках отрицательно при малых rs. Так как 0(VVe) убывает с увеличением V'o, то Ео как функция объема

ячейки имеет максимум при некотором оптимальном значении У0(/•„). Оценки показывают, что при малых г„ оптимальный объем Уо(Гч) также мал, хотя и содержит большое число ча­ стиц, а

С учетом этого выражения верхняя оценка энергии основного состояния приводит к результату

30)

что полностью совпадает с результатом Бракнера. Интересно, что выбор достаточно удачной пробной функции сразу дает для верхней оценки удовлетворительный результат (конечно, с заданной точностью). Это означает удачный выбор подпрост­ ранства ЭЛ, или, что то же самое, удовлетворительно сконстру­

ированного проекционного оператора. Можно, конечно, по- /ч

строить оператор О с помощью менее удачного базиса. Тогда для получения выражения (29.33) потребуется не одно проекти­ рование, а несколько.

Оценка снизу для энергии основного состояния в предель­ ном случае плотного электронного газа (rs<Cl, аддитивное при­ ближение). Для вычисления оценки снизу исходим из гамиль-

тониапа (29.15). Введем проекционный оператор Оч .проекти­ рующий пространство Ж на подпространство ЭЛ] с базисом

Подпространство ЭЛ i соответствует возбуждению одной пары частиц с импульсом q над исходным состоянием Хартри — Фока

[ 0„>. Внутренняя проекция Н „ и м е е т вид

Как нетрудно видеть из этого выражения, точные собственные

функции оператора Н„ принадлежат подпространству ЭЛ2, так что их можно записать в виде

q.Pi.Pz

Функция Фч(р[, рг) обладает свойствами (29.22).

Уравнение Шредингера для Фч(рь Рг) можно получить'из

условия стационарности функционала (29.23). С интересую­ щей нас точностью этот функционал имеет вид (29.24) с той

лишь разницей, что Фч (рь р2) всюду заменяют на Фч(рь р2).

обусловливает минимум функционала (29.23) не только на классе пробных функций вида (29.38) с вариационными пара­

302

Г л а в а о д и н н а д ц а т а я

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ КУЛОНОВСКИХ СИСТЕМ

ВПРОБЛЕМЕ МНОГИХ ТЕЛ

§30. ПРОБЛЕМА УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМЫ ТОЧЕЧНЫХ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ И ОЦЕНКИ ДЛЯ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

Внекоторых работах ставится вопрос, устойчива ли кван­

товомеханическая система электрически заряженных точек? За­ метим, что речь идет именно о квантовомеханической системе,

мают существование нижней границы полной энергии системы, пропорциональной полному числу частиц. Вопрос, почему веще­ ство устойчиво, находится в поле зрения физиков со времени открытия Резерфорда, который заявил, что вещество состоит из положительных и отрицательных частиц, взаимодействующих по закону Кулона. Становление квантовой механики, как изве­ стно, было тесно связано с этим вопросом. Так, планковское квантование энергии для излучения осциллятора и боровское квантование атомных орбит приводит к тому, что энергия не «опускается» на бесконечно глубокое дно. Поэтому условия квантования являются также условиями стабильности системы.

В 1925 г. квантовая механика дала количественный ответ па вопрос об устойчивости атома. Было показано, что атом с зарядом ядра Ze и Z электронами не может обладать энергией, меньшей — Z2Ry(Ry = me4/2S2), причем ридбергRyсоставляется из фундаментальных физических констант т, е и К. Это решает проблему стабильности отдельного атома.

Макроскопический образец вещества состоит из очень боль­ шого числа отрицательно и положительно заряженных частиц, взаимодействующих по Кулону, и это приводит к чрезвычайно большому многообразию явлений, таких4 как химическая связь, существование металла (связь частйц в металле), силы Ван-дер-Ваальса, сверхпроводимость, сверхтекучесть и даже биологические явления. Поэтому проблема устойчивости макро­ скопической системы непроста. Хотелось бы понять, каким об­ разом системы, обладающие столь большим количеством раз­ нообразных эффектов, все-таки имеют одно общее фундамен­ тальное свойство, которое можно назвать с в о й с т в о м насы-

304

вещества почти не зависит от сил некулоновского происхожде­ ния (ядерных, магнитного дипольного взаимодействия, эффек­ тов запаздывания, релятивистских эффектов, радиационных по­ правок и т. д.). Эти эффекты приводят к поправкам и принци­ пиально несущественны. Поэтому можно ограничиться пред­ ставлением, что вещество — совокупность зарядов, взаимодейст­ вующих по Кулону и подчиненных законам движения, диктуе­ мым нерелятивистской квантовой механикой. Если удастся понять устойчивость системы в такой модели, то значительно легче подойти и к пониманию устойчивости реального вещества.

Математический критерий устойчивости был сформулирован Дайсоном и Ленардом в следующем виде [7]. Пусть гамильто­

где инфимум берется по всем jV-частичным волновым функ­ циям системы Чг(г1, г2 , ..., rN), нормированным на единицу, всем массам, удовлетворяющим условию

Отметим, что в этом определении пока ничего не сказано о статистике частиц. В общем случае утверждение о стабильно­ сти должно учитывать и статистику частиц. Тогда число А должно зависеть от количества и сорта рассматриваемых ча­ стиц в системе.

Очень важно, что проблема устойчивости связана с необхо­ димостью подведения строгого математического базиса под статистическую механику. Статистика имеет физический смысл только в том случае, если термодинамические величины, такие, как энергия, энтропия и т. д., экстенсивны, т. е. пропорцио­ нальны числу частиц асимптотически для больших систем. Та­ ким образом, условие стабильности (30.5) необходимо для

305

определения конечной свободной энергии системы, нриходящейся па одну частицу.

Если не требовать большой точности при вычислении ниж­ ней границы энергии системы при больших N, то для установ­ ления такой границы необходимы совсем простые аргументы. В качестве примера можно высказать следующее утверждение: при соблюдении условий (30.3) и (30.4)

Действительно, гамильтониан (30.1) можно переписать в виде

и массами m*(/V—1) и тДАг—1). Тогда можно сделать следую­ щее простое преобразование:

£м„н = Inf (Y, HW) > V Inf (4/f HUW).

1<i</<jV

Но

границу для энергии основного состояния системы, но не решает проблемы стабильности. Оказывается возможным сделать го­ раздо более сильное утверждение. Пусть система N частиц, чьи

нов, стабильна. Доказательство этого утверждения новозможно привести здесь ввиду его сложности [7]. При подсчете q каждое спиновое состояние определенного сорта частиц должно подсчи-

306

гываться отдельно, антисимметрия пространственных волновых функций соблюдается только для частиц одного сорта и одного' и того же спинового квантового состояния.

Утверждение (30.8) несовершенно в двух отношениях. Во-первых, для стабильности системы требование, чтобы все частицы были фермионами, отнюдь не обязательно (эмпириче­ ский факт). Статистика ядер, например, не связана с пробле­ мой устойчивости. Поэтому предположение, что только частицы одного знака (скажем, отрицательные) есть фермионы, яв­ ляется существенным ограничением. Во-вторых, константа А содержит массу ядра. Эмпирический факт состоит в том, что химическая связь и энергия связи определяются только ридбергом, в который входит масса электрона, но не масса ядра. Ста­ бильность системы не должна зависеть от массы ядра и долж­ на иметь место, даже если масса ядра бесконечна.

Очень сильное утверждение, свободное от этих недостатков* состоит в следующем. Пусть N отрицательно заряженных ча­ стиц принадлежит к различным сортам фермионов; их массы и

Доказательство этой теоремы обещано Дайсоном и Лепардом. Существенно, что это неравенство решает проблему устойчиво­ сти системы в постановке задачи (30.5).

Чрезвычайно важно, что без введения статистики частиц не­ возможно построение экстенсивной нижней границы энергии системы. Поэтому существенно, что стабильность вещества тес­ но связана со статистикой частиц, и в частности с принципом Паули. Утверждение (30.8) легко обобщить па систему ферми­ онов на фоне компенсирующего заряда. Это обобщение имеет, таким образом, непосредственное отношение к модели элек­ тронного газа, которая подробно описана выше. В этой модели фермионы взаимодействуют не только друг с другом, но и с полем, создаваемым зарядовым фоном. Пусть р(х)— плотность заряда, создающего внешнее поле. Гамильтониан системы можно представить в виде

N

N

+ - у J dxdW (*) ух(>Уу j - (30.10)

307

Здесь третий член в правой части учитывает взаимодействие электронов с внешним полем, а последний — собственную энер­ гию фона. Предположим, что собственная энергия — некоторое конечное число (для дальнейшего это несущественно) и N ча­ стиц удовлетворяют условиям теоремы (30.8) и подвержены действию поля, обусловленного фоном с конечной собственной энергией. Тогда можно утверждать, что

Чтобы доказать это утверждение, рассмотрим фиктивную систему, состоящую из 2N частиц, N из которых имеют мас­ сы rrii и заряды е,-, а остальные N частиц обладают теми же массами, но противоположными по знаку зарядами — е,-. Пусть

/ S ,

для общности полное число сортов частиц есть 2q и Н 2ы— гамильтониан системы, включающий кинетическую энергию и кулоновскую энергию взаимодействия 2N зарядов. Рассмотрим теперь энергию этой системы в состоянии, которое описывается функцией

308

Сравнение неравенств (30.16) и (30.14) приводит к доказатель­ ству сделанного выше утверждения.

Равенство в (30.16) имеет место лишь в случае р/= 0, т. е. когда фон точно компенсируется зарядовой плотностью частиц

К " г | Ф I2 ]>3 efi (г, — х).

Этот случай и представляет интерес (квазинейтральность си­ стемы).

В приведенном доказательстве существенно, что последний член в выражении (30.10) — собственная энергия фона — вклю­

ственно более общий результат по сравнению с (30.11), так как оно констатирует стабильность системы заряженных фермионов ь поле фиксированных точечных зарядов, где энергия, по опре­ делению, не содержит какого-либо члена собственной энергии.

В предыдущей главе был предложен метод систематических оценок энергии системы в проблеме многих тел. В частности, этот метод имеет прямое отношение к изучению стабильности системы. Установление нижней границы в этом смысле эквива­ лентно теоремам Дайсона, поскольку нашей целью было полу­ чение граничного значения для энергии как экстенсивной ве­

чается от метода Дайсона тем, что он дает рецепт последова­ тельного сближения граничных значений для энергии к ее точ­ ному значению, в то время как мажорантные теоремы Дайсона не могут ответить на вопрос, насколько нижняя граница близка к истинному значению энергии системы, и не указывает алго­ ритма улучшения этой границы. Однако метод Дайсона имеет и одно важное преимущество: изложенные выше теоремы не предполагают в качестве обязательного условия положительной определенности оператора взаимодействия. Мажорантные тео­ ремы, используемые в нашем методе, не доказаны для отрица­ тельно определенного эрмитова оператора, поэтому предло­

309