книги из ГПНТБ / Климов, В. А. Некоторые прикладные методы анализа и синтеза сложных автоматических систем с использованием ЦВМ

ж

Уравнения (4.216) - (4.219), как и уравнения (4.203) + (4.206),

записаны применительно к условию т ~ п .

При составлении искомой зависимости здесь также будем ис­

пользовать условие (4.207). Однако апцроксимацию будем осуще­ ствлять для иных кривых.

По знаменателю функции (4.216), полагая, что щ м р стоит коэффициент А2 и, имеем

,_ А г,и

(4.220)

2>4i7 '

Используя (4.207), записываем

На рис.4.24 сплошными линиями представлены кривые коэффи­ циента Аг и для различных значений параметра р (1.84). Зависи­ мость (4.221), по которой строились кривые,с учетом (1.84)

имеет вид

Показанные на рис.4.24 1фивые были аппроксимированы зави­

симостью

которой соответствуют на том же рисунке пунктирные линии. Вви­

ду практического совпадения сплошных и пунктирных кривых в даль­ нейшем для коэффициента А2 ииспользовалась зависимость (4.223).

Заменяя в (4.223) параметр р по выражению (1.84), записы­ ваем

285

Для того чтобы записать зависимость (4.224) применительно к уравнению (1.48), необходимо воспользоваться опять условиями подобия переходных процессов. Тогда получаем

(4.225)

Зависимость (4.225) совместно с (4.214) определяет законы формирования коэффициентов при р в знаменателях передаточных функций колебательных составляющих системы третьего порядка.

ходных процессов для различных точек этих рабочих областей и

на рис.4.4 представлен пример линий равных значений^ jH z d 2. При исправлении параметров £ для колебательных составляю­

Для первых рабочих подобластей первая составляющая, как известно, имеет первый порядок. Тогда остальные составляющие процессов должны выделяться, как для системы третьего порядка (об этом говорилось в первой главе).

Цри этом оказалось, что, если для указанной системы тре­ тьего порядка колебательная составляющая определяется первыми 'коэффициентами левой части уравнения (I . I '), как в (4.206), то для исправления коэффициента £ этой составляющей достаточно применить прием, который рекомендовался для системы третьего порядка, т.е. достаточно применить зависимость (4.214) и не учи­

тывать, что на самом деле система имеет четвертый порядок.Ошиб­

ки в определении исправленных значений коэффициента £ практиче­ ски отсутствуют.

Если для рассматриваемой системы третьего порядка колеба­

тельная составляющая определяется последними коэффициентами ле­ вой части уравнения этой системы, как в (4.218), то для исцравления параметра £ этой составляющей достаточно применить сна­ чала прием, который рекомендовался для этой составляющей в си-

286

стеме третьего порядка [т.е. применить зависимость (4.2253 , а затем дополнительно исправить коэффициент цри р путем при­

менения зависимостей, которые получаются из (4.214) - (4.215) путем увеличения индексов веек коэффициентов на единицу. За­

висимости имеют вид

должен быть изменен первоначально исправленный коэффициент при р .

Окончательно зависимость для коэффициента а г и , который должен стоять при р в уравнении рассматриваемой составляющей, записывается

5

287

В (4.229) добавок, определяемый зависимостью (4.227), и соотношения (4.230) шесто (4.228) записаны выражения с уче­

том первоначального исправления коэффициента a z .

Таким образом, здесь нужно последовательно применять за­ висимости, которые фактически получены для системы третьего по­ рядка. Ошибки при этом в исправленных значениях £ оказывают- -

ся малыми настолько, что практически выполняется условие -

(4.207).

Для вторых рабочих подобластей первая составляющая имеет уравнение второго порядка. На исправлении для нее параметра £ остановимся ниже. Сейчас рассмотрим этот воцрос для второй составляющей, если она колебательная,

Напомним, что из Методических соображений формирование уравнений высоких порядков в изложенных выше исследованиях и ниже осуществляется путем последовательного увеличения поряд­

ков уравнений более простых, причем каждый раз при переходе к уравнению, порядок которого на единицу выше предыдущего,осу­

ществляется увеличение на единицу степеней р во всех слагае­ мых и добавляется свободный член.

Таким образом, уравнение (1.57) получается путем описанно­ го выше перехода от уравнения (1.48). Если для уравнения (1.57)

первая и вторая составляющие являются колебательными, то пер­ вая составляющая для уравнения (1.48) будет апериодической,'а вторая тоже колебательной (это следует из указанного выше прие­ ма формирования уравнений, об этом излагалось' также выше).

Исследования показали, что, если для данной второй состав­ ляющей процессов осуществлено исправление коэффициента ^ в

,системе третьего порядка, то при переходе в системе четвертого порядка необходимости в его дополнительном исправлении практи­

чески не возникает, т.е. в системе четвертого порядка для вто­

рой рабочей подобласти при исправлении коэффициента £ второй

(колебательной) составляющей, можно использовать зависимость (4.229), полученную для системы третьего порядка.

Для первой составляющей процессов вторых рабочих подобла­ стей системы четвертого порядка первоначально была предпринята попытка использовать зависимость, которая получается из (4.225)

288

Однако доследующие исследования показали необходимость вне­

сти в эту зависимость небольшую коррекцию. Если исправлялся коэффициент а, , то необходимо это учитывать. Зависимость

(4.231) приобретает вид

ных составляющих для систем третьего и четвертого порядков, можем заключить, что в общем случае рассматриваемое исправле­

ние осуществляется в два этапа.

Вначале исправление осуществляется по формулам типа (4.225),

(4.231) и (4.232). Здесь осуществляется учет влияния на коле­ бательность данной составляющей предыдущих (быстропротекающих) составляющих. Этот этап исключается, если для данной составляю­ щей отсутстуют быстропротекающие (это относится, например,ко

второй составляющей первой рабочей подобласти системы третье­ го порядка).

На втором этапе вносится дополнительное исправление в па­ раметров коэффициент при р ) по зависимостям типа (4.215) и

(4.227). На этом этапе осуществляется учет влияния на колеба­

тельность данной составляющей последующих (медленно протекаю­ щих) составляющих. Этот этап исключается, если для рассматри­ ваемой составляющей отсутствуют медленно протекающие состав­ ляющие. Во всех случаях это замечание относится к первым со­ ставляющим.

Для указанных двух этапов можно записать формулы исправле­ ния параметров £ для колебательных составляющих.Для первого этапа эта формула записывается на основе зависимостей (4.225), (4.231) и (4.232) и имеет вид

«х-г

Для второго этапа рассматриваемая формула записывается на

основе зависимостей (4.215) и (4.227) и оказывается следующей:

290

прием, который уже применялся при составлении уравнений границ рабочих областей и в других случаях.

Было высказано вначале предположение, что зависимости

(4.233) и (4.235) и общая формула (4.237) будут справедливы и для систем более высоких порядков. Для системы-пятого по­

рядка справедливость этого предположения была доказана подроб­ ным исследованием. При этом были указаны физические факторы объясняющие этот результат для системы пятого порядка. Так как эти факторы имеют место и для систем всех более высоких поряд­ ков, то это использовалось как основание для того, чтобы счи­

тать зависимости (4.233), (4.235) и (4.237) справедливыми для систем любых порядков.

Таким образом, для исправления параметров £ (коэффициен­ тов при р в. знаменателях передаточных функций) колебательных составляющих в общем случае для систем любых порядков должны использоваться зависимости (4.233), (4.235) и (4.237).

По рассматриваемому в данном параграфе вопросу изложим еще физические пояснения по использованным приемам составления

зависимостей для исправленных коэффициентов, стоящих при р в знаменателях передаточных функций колебательных составляющих процессов.

Как следует из предыдущих материалов, при составлении ука­

занных зависимостей учитывается влияние на колебательность дан­ ной составляющей только предыдущей для нее и последующей состав­ ляющих. Для систем сравнительно низких порядков (нацример, третьего и четвертого порядков) это может определяться просто отсутствием других составляющих, а для систем более высоких

порядков оказалось возможным учитывать влияние только ближайших к данной составляющих потому, что, как выше было установлено,

для систем высоких порядков имеет место практическое совпаде­ ние сумм постоянных времени для быстропротекающих составляю­ щих и запаздывания, создаваемого первой из этих быстропроте­ кающих составляющих.

Таким образом, оказывается, что при учете влияния на коле­

бательность данной j - й составляющей более быстропротекающих составляющих, начиная с j + J - S составляющей, можно учитывать

влияние только j + 1 - й составляющей, так как все другие состав­ ляющие вносят малую долю в общее время запаздывания от этих

составляющих.

291

При учете влияния на колебательность j - й составляющей более медленно протекающих составляющих, начиная cJ-7-й и до первой составляющей., можно учитывать влияние только^-;-# состав­ ляющей, так как по отношению к составляющим, начиная c j -2-й

и до первой, запаздывание, создаваемое j. -й составляющей,ока­ зывается малым. Так, например, по отношению Kj-2-й составляющей основная часть запаздывания со8дается^-/-й составляющей. Сле­

довательно, взаимодействиемj -й и всех более медленно проте­ кающих составляющих, начиная c j - 2 -й и до первой, можно пре­ небрегать, что и учитывалось выше.

Из методики составления формул для исправленных коэффици­

ентов колебательных составляющих следует, что первоначально были составлены зависимости для систем третьего и четвертого порядков. Затем было осуществлено обобщение этих зависимостей на системы более высоких порядков. Физически это оказалось возможным потому, что, как выше было установлено, имеет место для систем высоких порядков и систем четвертого порядка прак­

тическое совпадение сумм постоянных времени для быстропротекаицих составляющих в соответственных точках. Из этого выте­ кают и предыдущие пояснения.

Другие приемы п о в ы ш е н и я точности приближеняпгп

описания процессов

Из других возможных приемов повышения т о ч н о с приближент ­

ного описания процессов з работе рассматривается исправление

начальных условий для колебательных составляющих процессов при

условии, что им предшествуют одна или две апериодических со­ ставляющих, а также рассматривается прием объединения состав­

ляющих первого порядка в колебательные или апериодические вто­ рого порядка составляющие.

Необходимость в исправлении начальных условий для колеба­

тельных составляющих возникает в связи с тем, что при нулевых

начальных условиях для этих составляющих [для j -й составляющей - Ху(+-о)=Оили (+0]=0и i-j (+•£))=о] или при близких к нулевым

начальных условиях имеются значительные ошибки в протекании

процессов, если указанным составляющим непосредственно пред­ шествуют (являются более медленно протекающими) одна апериоди-

292

ческая или две рядом расположенные апериодические составляющие.

Это положение иллюстрируют кривые на рис.1.60, I.6I и др. Для случая, когда колебательной составляющей предшествует

одна апериодическая составляющая, предлагается использовать следующую формулу для исправления начальных условий:

Для второго случая, когда колебательной составляющей пред­ шествуют две рядом расположенные апериодические составляющие, предлагается для исправления начальных условий применять фор­

мулу

Дх^(+0)=0,02— [а^.2(+0)-л^_,(+0)| +7,8^-[^.3(+0)-^.г(+о|с(4.239)

Вформулах (4.238) и (4.239) через йх^(+0) обозначено до­

полнительное слагаемое к скорости изменения выходной координаты колебательного звена, т.е. исправление начальных условий осуще­ ствляется по отношению только к этой величине, а начальное зна­ чение х^(+0) не изменяется.

В(4.238) и (4.239) применены следующие обозначения:

время запаздывания, создаваемое колебательным звеном (см.4.139); 7-_7и Т-_2- постоянные времени дляJ-j-й и}-2-й апериодических

указанного выше замечания относительно L .

При вычислении показателей качества составляющих процессов

слагаемое Ах-(+-0) может учитываться непосредственно, или должно

О

В рассматриваемых случаях, когда необходимо осуществлять исправление начальных условий для колебательных составляющих,

требуется, кроме того, выполнять (при оценке показателей ка­

чества процессов по показателям качества для отдельных состав­ ляющих) сложение кривых колебательных составляющих с кривыми для предыдущих апериодических составляющих и сдвиг кривых для

составляющих процессов кривые для колебательных составляющих сдвигаются влево на интервалы 47"=27-, а теперь должны допол­

принимается постоянным и равным его начальному значению ду(+о). Для вычисления интервалов 4t g • рекомендуется использовать

Следующий прием повышения точности приближенного описания процессов, как выше указывалось, состоит в объединении уравне­ ний рядом расположенных составляющих первого порядка в общие уравнения второго порядка.

Из содержания данной и предыдущих глав легко заметить,что при разложении процессов в системах на отдельные составляющие могут оказаться рядом расположенными составляющие первого по­ рядка, причем в общем случае их число может быть произвольным.

Очевидно, что при объединении уравнений этих составляющих в единое уравнение будет достигнуто повышение точности описа­

ния процессов. Однако целесообразно ограничиться объединением этих уравнений только в уравнения второго порядка, так как в

этом случае можно по простым алгоритмам вычислять показатели качества составляющих процессов. Здесь пока имеется в виду, что объединение будет осуществляться в том случае, когда ря­

дом расположенные составляющие первого порядка яри объединении будут соответствовать колебательному звену. Это определяется