книги из ГПНТБ / Заманский, М. Введение в современную алгебру и анализ

290 ГЛ. VII. МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА

чем доказывается непрерывность (см. общий результат, относя­ щийся к непрерывным линейным отображениям, в гл. IX, раз­ дел 2, § 2).

Итак, проектор р гильбертова пространства Е в замкнутое подпространство М пространства Е есть непрерывное линейное отображение пространства Е в М.

Пусть, например, I = N, а Ф есть фильтр дополнений конеч­ ных подмножеств; тогда (fi(x)) есть последовательность точек из F, и сходимость fi(x) к f(x) записывается равенством

]а0, ß[, где ß > а 0. Сходимость fa(x) к f(x) по Ф означает, что fa(x) стремится к f(x), когда а стремится к сіо справа.

Говорят также, что функция / есть простой предел семейства fi относительно фильтра Ф.

Теперь можно утверждать, что во множестве отображений пространства Е в F элемент / имеет в качестве близких эле­

ния окрестностей любого f^ S T или базиса открытых окрестно­ стей любого f.

Хотя приводимое нами определение нельзя считать достаточ­ ным, мы все же будем называть топологией простой сходимости

топологию, определяемую при помощи простого предела после­ довательностей (/„) элементов из к элементу f из ЗЕ.

Более удовлетворительное определение может быть дано для того случая, когда F — метрическое пространство.

§2. Топология на множестве функций со значениями

вметрическом пространстве

Если в качестве лФ взять семейство подмножеств, сводящихся к точке, то равномерная сходимость на этом семействе бФ будет простой сходимостью на Е.

Пример . Семейство числовых функций (/„), определенных на R, может сходиться просто к функции f; оно может равно-

сходимость влечет простую сходимость.

2. Топология равномерной сходимости на Е. Пусть f a g — два элемента из £Г. Положим

6{f, g) = sup d(f(x), g(x)).

X <= E

б есть отображение произведения 2Г X S2" во множество дей­ ствительных чисел, конечных положительных или равных г-)-оо

(ибо может быть, что 6(/, g) — + оо), которое обладает сле­ дующими свойствами:

1) Если / = g, то

Следовательно, б обладает всеми свойствами расстояния,

кроме свойства принимать лишь конечные значения; б назы­ вается уклонением.

Теперь на SF определяется база открытых окрестностей эле­ мента f е ЗГ путем отнесения ему всех тех g е ЗГ, для которых '

&(f<ë) ■< а, где а пробегает множество действительных положи­ тельных чисел.

3. Случай ограниченных функций. . Если есть множество ограниченных отображений f пространства Е в F, т. е. если мно­ жество f(E) ограничено в F, что сводится к тому, что для не­ которого произвольного у о ^ F

sup d (уо, f (х)) * s j

2 «а < 2 н «*(*)»<

стремится к нулю; значит, последовательность функций

по норме пространства !%).

Однако обратное неверно; ряд может равномерно сходиться,

ные числовые функции ип, определенные следующим образом:

=+ оо.

6.Непрерывные функции. Когда речь идет о непрерывных функциях, можно предполагать, что Е —топологическое про­ странство.

Важным результатом, относящимся к непрерывным функ­ циям, является следующая

Те о р е ма . Если (/п) — последовательность непрерывных отображений топологического пространства Е в метрическое про­ странство F, равномерно сходящаяся к отображению f, то ото­

влечет существование предельной функции f, к которой /р равно­ мерно сходится.

Вводимое ниже понятие равностепенно непрерывного мно­ жества функций позволяет указать достаточные условия непре­ рывности предела непрерывных функций.

Множество А непрерывных функций на топологическом про­ странстве Е со значениями в метрическом пространстве F на­ зывается равностепенно непрерывным в точке Хо е Е, если для любого е > Осуществует такая окрестность V точки Хо, что если х е У , то d(f (х), f (х0) ) < е при любом / е /1 ; множество А на­ зывается равностепенно непрерывным на Е, или просто равно­ степенно непрерывным, если оно равностепенно непрерывно в каждой точке из Е.

П р е д л о ж е н и е . Если семейство (fn) равностепенно не­ прерывно в точке х0 и если /„ сходится просто на Е к отображе­ нию /, то f непрерывно в точке х0.

щ е с т в у е т т а к а я о к р е с т н о с т ь V т о ч к и Xq^. E, ч т о д л я л ю б о г о п

СТУПЕНЧАТЫЕ ФУНКЦИИ ПРИБЛИЖЕНИЕ СТУПЕНЧАТЫМИ ФУНКЦИЯМИ

Ступенчатые функции составляют тип функций, которые мо­ гут рассматриваться как простые и наиболее употребительным примером которых могут служить характеристические функции подмножеств некоторого множества. Для их определения не тре­ буется вводить топологию на множестве изменения переменного, но если это множество является топологическим пространством, то они позволяют равномерно приближать непрерывные функ­ ции.

§ 1. Ступенчатые функции

Пусть Е — некоторое множество (не обязательно топологиче­ ское пространство), F — векторное пространство над полем R действительных чисел. И пусть на Е задано конечное множе­ ство попарно непересекающихся подмножеств А і, ..., Ар. Сту­ пенчатая функция f определяется следующим образом: каждо­ му А2 ставится в соответствие некоторая точка а; из F; эта функ­

Это функции с действительными значениями, а поскольку F есть действительное векторное пространство, то значение а; сту­ пенчатой функции f в точке х е А і может быть записано в виде

f — ^atV A f

Это обозначение более удобно, чем обозначение, которое было бы более корректным в соответствии с принятыми вначале со­ глашениями и которое выглядело бы так:

/ = 2 ф л ^ .

Из предыдущего замечания вытекает, что ступенчатая функ­ ция получается из характеристических функций подмножеств Л*.

Таким образом, если речь идет об одной ступенчатой функ­ ции, то изложенные соображения достаточны для их определе­ ния. Но в интересующие нас задачи должны будут входить семейства ступенчатых функций: так, мы будем исследовать, является ли, при задаваемых условиях, непрерывная функция равномерным пределом ступенчатых функций; нам понадобится ввести операции над ступенчатыми функциями (векторное про­ странство). Если мы хотим получить сумму двух ступенчатых функций, определенных на двух семействах Л,- и В ,■подмножеств из Е, то мы приходим к рассмотрению новых подмножеств из Е, состоящих из Аі U Bj, А і fl Bj и из Аі — Вj (множество точек Л,-, не принадлежащих Bj); так, например, если Л и В —такие прямоугольники в R2, что Л П В Ф 0 , то qu + Фв есть ступен­ чатая функция, принимающая значение 1 на Л — В и В — Л, значение 2 на А П В и значение 0 на С (Л U В); можно, следова­ тельно, написать, что

Фл + Фв = Фл-в + Фв-л + 2Флпв>

т. е. имеем конечную линейную комбинацию характеристических функций попарно непересекающихся подмножеств из Е. И если к подмножествам Л — В, В —Л, Л Г) В присоединить С (Л (J В), то получится разбиение множества Е, а рассматриваемая функ­ ция будет линейной комбинацией характеристических функций элементов этого разбиения.

Эти замечания приводят к определениям, которые будут сейчас сформулированы.

1. Определение клана на множестве.

Определение. Кланом на множестве Е называется непустое семейство Г таких подмножеств из Е, что если Л е Г и В е Г то

Л и В е Г « Л - В е Г ,