книги из ГПНТБ / Кузнецов, Б. Г. Этюды об Эйнштейне

Подобная концепция лежала в основе знаменитой Эрлангенской программы Феликса Клейна («Сравни­ тельное обозрение новейших геометрических иссле­ дований»), представленной сенату Эрлангенского университета и философскому факультету этого уни­ верситета при вступлении молодого ученого в состав факультета в 1872 г .1

Клейн определил ряд многообразий — пространств (по существу любой размерности) — и соответствую­ щих геометрий, указав инварианты преобразований, образующих ту или иную непрерывную группу. По­ нятие инварианта алгебраической формы было вве­ дено за двадцать лет до этого Сильвестром. Клейн положил указанное понятие в основу классификации пространств и геометрий. Он исходил прежде всего из проективной геометрии, определив ее как учение 0 свойствах фигур, инвариантных при некоторых преобразованиях, образующих группу. Аналогичным образом всякая группа непрерывных преобразований определяет самостоятельную геометрию. В элемен­ тарной геометрии объектом изучения служат свой­ ства, инвариантные относительно преобразований образующих группу движений. Каждая группа пре­ образований определяет самостоятельную геометрию, для которой она служит фундаментальной группой. В такой самостоятельной геометрии преобразуемые фундаментальной группой переменные рассматрива­ ются как величины, определяющие точку простран­ ства, а инварианты группы — как геометрические объекты. Таким образом, группа преобразований

1 Ф. К л е й н . Сравнительное обозрение новейших гео­ метрических исследований («Эрлангенская програм­ ма»). В сб. «Об основаниях геометрии». М., 1956,

стр. 399—424.

270

определяет геометрию и соответствующее ей про­ странство; говорят о метрическом, аффинном,, кон­ формном, проективном и т. д. пространствах. Такие «эрлангенские», или клейновские, пространства од­ нородны, причем их однородность не означает ни­ чего иного, кроме инвариантности геометрических объектов при переходе от одних значений, преобра­ зуемых фундаментальной группой переменных (т. е. от одной точки пространства), к другим значениям этих переменных (к другой точке пространства). Эти значения, определяющие точки клейновского пространства, представляют собой обобщение коор­ динат эвклидова пространства, фундаментальные группы — обобщение группы движений в эквлидовом пространстве, инвариантные геометрические объекты — обобщение расстояний между точками движущейся фигуры, определенных теоремой Пифа­ гора. Отсюда видно, что клейновский характер гео­ метрии представляет собой обобщение известной из элементарной геометрии и классической физики ин­ вариантности внутренних соотношений движущейся системы при ее движении, т. е. относительности дви­ жения в однородном пространстве. Соотношения каж­ дой клейновой, эрлангенской, геометрии определяют неизменность геометрических объектов при переходе из одной точки соответствующего пространства в другую. Иными словами, эти соотношения опреде­ ляют негативным образом различия между точками пространства, проявляющиеся в состоянии геометри­ ческих объектов. Таких различий нет, и преобразо­ вание состоит только в изменении преобразуемых фундаментальной группой переменных (например, в изменении координат движущегося тела в некото­ рой трехмерной эвклидовой системе отсчета при

271

неизменности внутренних геометрических соотноше­ ний в теле), т. е. имеет лишь относительный смысл. Инвариантность относительно фундаментальной группы — более общее название относительности. Сопоставив изменение известных физических пере­ менных группе преобразований, обнаружив неизмен­ ность определенных величин при указанном измене­ нии и сопоставив эти величины инвариантам неко­

о преобразовании от одной инерциальной системы к другой, а инвариантным оказывается расстояние меж­ ду точками,— перед нами классический принцип от­ носительности Галилея — Ньютона. Если наблюде­ ния приводят к инвариантности четырехмерного интервала по отношению к лоренцовым преобразо­ ваниям, мы получаем специальный принцип относи­ тельности. Инвариантность четырехмерного интер­ вала с переменной метрикой по отношению к общей группе преобразований — геометрическая форма об­ щего принципа относительности Эйнштейна. Но во всех случаях речь идет об однородности некоторого пространства, т. е. о негативном задании бесконеч­ ного множества.

Исходные идеи Римана иные. Риман, не обобщая, как это было сделано двадцать лет спустя, понятие геометрического объекта, исследовал длину отрезка. Но эта длина, вообще говоря, не инвариантна.

Задача, решенная Эйнштейном в 1916 г., состоя­ ла в таком представлении риманова пространства, при котором оно оказывается однородным простран­ ством, т. е. негативно заданным бесконечным мно­ жеством. После того как задача была решена, появи­ лось новое обобщение, позволяющее для всякого не­

272

прерывного пространства вывести локальные законо­ мерности из заданных интегральных условий про­ странства в целом. Речь идет об упоминавшейся уже теореме Эммы Нетер.

В 1918 г. Э. Нетер1 доказала, что для каждого непрерывного преобразования координат, при кото­ ром вариация действия равна нулю, существует ин­ вариантная по отношению к этому преобразованию комбинация функций поля и их производных. Инва­ риантности такой комбинации соответствует закон сохранения. Инвариантности лагранжиана по отно­ шению к группе пространственных смещений, т. е. переносов начала координат, соответствует закон со­ хранения импульса. Инвариантности лагранжиана по отношению к сдвигам во времени соответствует со­ хранение энергии. Аналогичным образом из инва­ риантности лагранжиана по отношению к поворотам координатной системы, т. е. из изотропности про­ странства, следует сохранение момента количества движения, а из инвариантности -по отношению к по­ воротам в пространственно-временных плоскостях — обобщенный закон сохранения центра тяжести. Та­ ким образом, из однородности и изотропности про­ странства и времени вытекают фундаментальные за­ коны сохранения.

Нетер обобщила в своей работе идею инварианта, определяющего характер заданного пространства, и соответственно идею однородности последнего и исходные идеи вариационных методов механики и

273

выражающимися в нулевой дивергенции той или иной физической величины.

Преобразования, оставляющие ковариантной дан­ ную комбинацию функций поля и их производных, превращают вариацию действия в нуль. Это и зна­ чит, что сохранение физической величины в каждой точке (заданное в виде дифференциального закона нулевой дивергенции) соответствует интегральным условиям, выраженным в вариационных принципах механики и физики. Мировая линия частицы, харак­ теризующаяся наименьшим значением действия, определяется заданным полем, заданным распреде­ лением его источников. Совместимо ли такое пред­ ставление с клейновским представлением об одно­ родности пространства? Клейн легко мог объявить однородность (инвариантность некоторого интеграла при сдвигах) определяющим свойством пространства. Пространства, о которых Клейн говорил в 1872 г., не отвечают сами по себе за ускорения тел и не ме­ няют своих геометрических свойств под влиянием полей. Но можно ли совместить понятие однородно­ сти пространства с представлением о пространстве как физическом многообразии? Можно ли рассмат­ ривать искривление пути частицы как искривление пространства и вместе с тем приписывать простран­ ству однородность, считать вслед за Клейном, что свойства пространства определяются инвариантно­ стью некоторого интеграла относительно смещений в данном пространстве? Такая возможность означа­ ла бы синтез идей Клейна и идей Римана. С точки зрения Клейна, движение тела определяется свойст­ вами пространства только в отсутствии полей — ускорения не имеют геометрической природы. Отсю­ да можно вывести относительность движения в от*

274

сутствие полей. С точки зрения Римана (она, оче­ видно, соответствует позитивному определению про­ странства как актуально бесконечного множества), пространство является физическим многообразием,

и само оно своей кривизной определяет движение тел. С точки зрения -Нетер, движение в однородном пространстве определено его свойствами и в случае ненулевых полей и ускорений однородные простран­ ства Клейна определяют своей структурой поведение тел во всех случаях.

Такой синтез идей Клейна и Римана мог быть достигнут только на основе новых собственно физи­ ческих представлений о единообразном искривлении всех мировых линий в поле тяготения, т. е. на осно­ ве общей теории относительности Эйнштейна. Мы перейдем к ней после краткого анализа понятия бес­ конечности в специальной теории относительности.

9

Теория относительности Эйнштейна — результат крушения большой серии попыток сохранения в на­ учной картине мира самостоятельного раздельного существования пространства и времени. Основой та­ кого самостоятельного существования была мгновен­ ная передача взаимодействий. Она превращала про­ странство в бесконечное множество, заданное в дан­ ный момент. Это слово «заданное» означает: вопреки Аристотелю, нечто реальное происходит «теперь»,— существует реальный физический эквивалент трех­ мерной геометрии.

275

Когда в результате развития электродинамики появилось представление о конечной скорости рас­ пространения взаимодействий, физически содержа­ тельный образ «мгновенного» пространства еще можно было спасти. Можно синхронизировать, т. е. отождествить во времени события в различных точ­ ках, рассматривая сигналы (например, световые лучи), пришедшие в две точки (осветившие два экрана) из источника, находящегося на равных расстояниях от этих точек. Можно даже синхронизиро­ вать события, т. е. отождествить два мгновения, в от­ даленных точках при движении системы «источник света и два экрана» относительно эфира, т. е. при движении, вызывающем отставание сигнала в одном направлении и опережение — в другом. Основой та­ кой синхронизации служит понятие скорости движу­ щихся тел относительно бесконечного, неподвижного эфира, заменившего пустое пространство Ньютона с мгновенным дальнодействием. Покоящийся эфир — это бесконечное тело, существующее уже «сейчас» (причем слово «сейчас» имеет смысл по отношению ко всему бесконечному телу), это физический прооб­ раз трехмерной актуальной бесконечности.

Таким образом, мы можем теперь уточнить при­ менительно к проблеме бесконечности и относитель­ ности смысл слов «самостоятельное существование», которыми выражалось отношение пространства ко времени в классической физике. Самостоятельным существованием обладает многообразие (многообра­ зие пространственных положений, многообразие мо­ ментов), задание свойств которого само по себе, без задания свойств другого многообразия, определяет поведение тела. Ньютоново пространство, заданное в данный момент, т. е. «мгновенное» пространство.

276

Определяет своей однородностью поведение предо­ ставленного самому себе тела — сохранение импуль­ са. Ньютоново время, заданное само по себе, без указания на ту или иную структуру пространства, определяет сохранение энергии.

Теория относительности Эйнштейна устранила из картины мира не только лоренцов эфир, но тем са­ мым и заданное в данный момент пространство, т. е. отказала трехмерной геометрии в существовании не­ посредственного физического эквивалента. Движение относительно эфира — бессодержательное понятие, поскольку не только механические, но и все физиче­ ские процессы протекают единообразно во всех си­ стемах, движущихся одна относительно другой без ускорения. Если устраняется понятие скорости тела по отношению к эфиру, то тем самым исчезает воз­ можность синхронизации событий, не зависимой от движения систем, в которых определено время, ког­ да произошли эти события. Исчезает представление о едином, не зависимом от движения пространствен­ ных систем отсчета потоке времени, состоящем из последовательных мгновений, тождественных себе во всем бесконечном пространстве. Свойства бесконеч­ ного пространства, заданные для данного мгновения, не могут определить ход физических процессов.

Мы имеем в виду негативное определение хода физических процессов заданными общими свойства­ ми пространства, т. е. единообразие процессов, в ко­ тором выражается однородность пространства. В тео­ рии относительности Эйнштейна ход физических процессов определяется, так же как в классической концепции относительности движения по инерции, негативным образом: определяющие этот ход свойст­ ва многообразия состоят в его однородности и

277

изотропности, а определенность физических процес­ сов состоит в их единообразии. Но, в отличие от клас­ сического принципа относительности, в теории Эйн­ штейна единообразными оказываются не только ме­ ханические процессы в различных смещающихся одна относительно другой инерциальных системах, но и распространение света. Постоянство скорости света в таких системах означает изменение простран­ ственных и временных масштабов при переходе от одной системы к другой, и инвариантом такого пре­ образования оказывается четырехмерный интервал. Указанное преобразование выражается в повороте четырехмерных координатных осей в пространствен­ но-временных плоскостях. Инвариантом таких пово­ ротов является квадратичная форма четырех коор­ динатных разностей с постоянными эвклидовыми значениями компонент метрического тензора.

Однородность и изотропность четырехмерного про­

ских закономерностей этого континуума. Дальше мы увидим, что соответствие между однородностью и эвклидовостью пространства не является взаимно од­ нозначным — понятие однородности может быть обобщено на неэвклидовы многообразия. Во всяком случае, закономерности, постулированные и выве­ денные Эйнштейном в 1905— 1906 гг. и получившие форму геометрических соотношений у Минковского в 1908 г., связаны с однородностью четырехмерного псевдоэвклидова бесконечного пространственно-вре­ менного мира. Скорость света в пустоте постоянна, т. е. мировые линии света не только остаются пря­

278

мыми, но и обладают одним и тем же постоянным углом по отношению к оси времени и образуют та­ ким образом световой конус. Мировые линии тел с ненулевой массой покоя могут иметь различный угол по отношению к оси времени (тела могут двигаться с различной скоростью), но они остаются прямыми (скорость каждого тела не меняется). Эти законо­ мерности определяют поведение тел от одной миро­ вой точки к другой,— определяют чисто негативно, гарантируют отсутствие различий между мировыми точками по поведению тел и отсутствие различий в геометрических свойствах четырехмерного многооб­ разия. Именно негативность определения, отсутствие различий в поведении тел в мировых точках, посто­ янство скоростей предоставленных самим себе тел, прямые мировые линии, неизменная эвклидова мет­ рика во всем бесконечном пространстве и приводят к релятивистской трактовке движения.

Но в действительности тела никогда не бывают предоставлены самим себе. Именно поэтому специ­ альный принцип относительности, как и всякая фи­ зическая интерпретация негативно определенной ак­ туальной бесконечности, должен рассматриваться как идеализированный, предельный случай очень ма­ лых силовых полей и соответственно ускорений. Не­ гативно определенная актуальная бесконечность — частный, нулевой случай позитивно определенной актуальной бесконечности. Закон инерции никогда не приобрел бы универсального значения, если бы он не был частным случаем закона ускорения, если бы движение по инерции не было компонентой ре­ альных, ускоренных движений, если бы инерция не вызывала реальных эффектов в ускорении движу­ щихся тел (ведь силы инерции фиктивны только в

279