Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1305 вузов, 5165 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Башкирский Государственный Аграрный Университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

.pdf
Скачиваний:
24
Добавлен:
22.10.2023
Размер:
12.18 Mб
Скачать
☆

Приближенно эту величину можно представить в виде k

—

pf = Л — В т .

(9-12)

 

1=1

 

Возможны и другие зависимости вероятности сбоя от числа про­ верок. Рассмотрим вначале работу устройства с таким циклом Т,

при котором измерения независимы. Вначале предположим, что

q = a m ~ l; i n + n = r = const;

 

 

следовательно,

 

(9-13)

т| —(1—am_1) ( l —m

r

Приравняв производную по количеству проверок нулю, получим:

пг011т= Ѵ га\

(9-14)

‘Омакс — • { V 7 - V ä y

(9-15)

Отсюда видно, что чем меньше проверок надо произвести для уменьшения вероятности сбоя до приемлемой, т. е. чем меньше величина коэффициента а, тем больше максимальное значение инфор-

діацнонной надежности.

Рассмотрим устройство, у которого рабочее время остается по­ стоянным (n=const), а общее время проверки может изменяться

(л+ m^const). В таком устройстве также возможно

существование

оптимального

значения его пропускной способности при независимо­

сти отсчетов.

Пусть

(9-16)

 

т]= (1—alm )ni{n+m ).

После операций, аналогичных изложенным выше, получим:

 

 

«опт =

л + К (я + п) а.

(9-17)

Максимальное

значение

информационной надежности

равно:.

 

 

 

п V а -)- л

(9-18)

4м ftК С

'

Vа + л) (л + а + Vа (а+ л))

 

 

 

На рис. 9-1 и 9-2 приведены зависимости г| от количества про­ верок т .

Из графиков видно, что соблюдение точного значения /л0Пт необязательно. Если из конструктивных соображений требуется взять т>т0ат, близкое к лг0Пт, то при этом информационная надежность,

малр изменяется из-за не очень острого характера максимума. В то же время зависимость т| от in при 7л<лгопт характеризуется быстрым:

изменением.

Наиболее часто информационные устройства производят зависи­ мые измерения. Для обеспечения оптимального значения информа­ ционной надежности необходимо, чтобы при некоторых сравнительно' малых количествах проверок среднее количество информации на одно измерение увеличивалось при увеличении количества проверок, т. е.

34$

при некотором уменьшении вероятности сбоев прирост количества информации должен превалировать над уменьшением рабочего вре­ мени использования канала, что происходит не всегда. Условием существования максимума является

dmdq_

п + т (1 — g)[l — ?(1

— /,/р ’)]

>

(9-19)

 

« ‘ [I + (! -2?)(1

— /о/Г1)]

при малых значениях т .

В ходе предыдущих выводов по существу за время работы устройства учитывалось среднее значение ц, хотя на самом деле

о

т

го

зо

о

іо

го

зо

to so

Рис.

9-1.

Зависимость

Рис. 9-2.

Зависимость

пропускной

способности

пропускной способности

измерительного устрой­

измерительного

устрой­

ства от количества про­

ства

от количества

про­

верок

при п=100,

а= І,

верок

при

л=100,

а = I,

/Поп т “

11.

 

 

ПІопт “ ІО.

 

 

 

при эксплуатации системы q изменяется. Перейдем теперь к учету

этого обстоятельства.

Для определенности примем, что q есть какая-либо функция времени, например q(t) = \—ехр[—iß(f-Mo)], где ß и to— константы.

Тогда в конце периода работы

 

q{Tn) = I—ехр[—■ß(77i-Ko)]-

(9-20)

После проверки эта вероятность снизится, как принималось ра­

нее, на тВ :

(9-2I)

q{0) =5І—ехр[—§ta]=q(Tn)—пгВ.

Таким образом, ехр(—ßfo)=/nß{l—exp (—$Гя)]_1,

 

отсюда

(9-22)

q (t) = exp (—ß0 {1—mB[l—exp (—ß77i)]-*}.

В текущий момент времени t, отсчитываемый от начала рабоче­

го периода, при установившемся режиме

 

1 W = H - ? ( ' ) ] г Ь ; [ і - ( | - І - ) » ( о ]

(9-23)

344

при 0^ t ^ n T . Средняя информационная надежность

Тп

Ър= [(л+ /я) Л " 1 f - n ( t ) d t .

(9-24)

ö

Для получения оптимального значения числа проверок необхо­ димо вычислить производную от т|ср по m и приравнять ее нулю.

Получающиеся при этом уравнения крайне громоздки я не под­ даются точному решению. Приближенное значение дает результат, качественно совпадающий с ранее указанными для среднего значения q. Поэтому решения предыдущих разделов представляются правиль­

ными и целесообразными. Ранний этап усреднения во времени, види­ мо, не только необходим, но и не приводит к существенным погреш­ ностям вычислений.

На основании приведенных формул можно определить целесо­ образное число проверок. Во всех рассмотренных случаях имеется четко выраженный оптимальный режим.

9-4. УЧЕТ СБОЕВ ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧАСТОТЫ ЦИКЛИЧЕСКОЙ ДИСКРЕТИЗАЦИИ

Рассмотренные в гл. 4 соотношения между характеристиками погрешности интерполяции и частотой циклической дискретизации непрерывного стационарного случайного процесса были выведены в предположении об отсутствии сбоев. Между тем во многих типах измерительных устройств наблюдаются сбои.

іВ § 4-3 было показано, в частности, что дисперсия погрешности интерполяции при определенном виде интерполирующего многочлена является функцией от интервала времени между измерениями Т,

нормированной автокорреляционной функции измеряемого процесса р.ѵ(т) и дисперсии процесса а2х. Кроме того, было показано, что да­

же при стационарности измеряемого процесса погрешность интерпо­ ляции представляет собой нестационарный процесс, т. е. дисперсия ее агу зависит от интервала времени т, исчисляемого от ближайше­

го момента отсчета, т. е.

а1 Н = °2 К Т. РяМ. »*!■

Нетрудно видеть, что наличие сбоев означает увеличение сред­ него интервала интерполяции в тех случаях, когда имеет место обой. 'При этом существенную роль играет группирование сбоев, т. е. то обстоятельство, сколько сбоев следует подряд до момента време­ ни, когда происходит сообщение. Пусть, например, после получения приемником некоторого сообщения имеет место пропадание £ посы­

лок и прохождение

(£+1)

сообщений. Такую ситуацию будем назы­

вать

цугом

из

£

сбоев.

Дисперсия

погрешности

ин­

терполяции на этом участке определяется как

о2[т, (£-Н)Г,

рДт),

о2,].

 

 

 

 

 

 

 

Вероятность образования цуга из £ сбоев обозначим р,-. Тогда

средняя

дисперсия

погрешности

интерполяции

 

 

 

 

 

[со

 

 

 

 

 

 

” 1 С2) = S

Р і°2К ( ‘ + !') Т, ря ( Т ) , <$.

(9-25)

і=О

?3 -30|

345

По-видимому, реальной ситуации соответствует весьма быстрое убывание величины р; по мере роста длины цуга сбоев і. Поэтому

практически сказываются лишь первые члены ряда. Кроме того, при измерениях почти всегда интервал времени между отсчетами Т

много меньше интервала корреляции исходного процесса. Отсюда вытекает возможность разложения функции р.х(т) в степенной ряд. Учитывая все оказанное, рассмотрим выбор частоты дискретизации для ряда конкретных случаев.

Ступенчатая интерполяция.

Как было показано в § 4-3, максимальное значение дисперсии погрешности интерполяции при отсутствии сбоев равно:

°дмакс = 24Г '-Р *(П ].

Пусть, например, рж(т)=ехр (—а, | т | ). Тогда при наличии сбоев

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

у макс ;2а- а,7-

I +

S

‘Рх

(9-26)

 

Отсюда искомое значение интервала времени между измерениями

 

 

 

1

ау2

макс

(9-27)

 

 

 

=2.4(1+ Г)

 

2

•

где

і — математическое ожидание длины цуга из і сбоев. Аналогич­

ным

образом

при автокорреляционной

функции

вида рЛ(т) =

=ехр(—ctoT2)

имеем:

 

 

 

 

 

 

 

т.

_________ J________стIVмакс

(9-28)

 

 

^as2[l + Р + 2Г] '

°*

 

 

 

 

Обе формулы выведены в предположении, что корреляция меж­ ду соседними во времени измерениями очень велика, а вероятности длинных цугов сбоев пренебрежимо малы, что, как указывалось выше, соответствует реальным условиям измерения. Следующим ша­ гом на пути дальнейшей конкретизации полученной зависимости является рассмотрение закона распределения вероятности длины

цуга сбоев. Рассмотрим следующие случаи.

Пусть вероятность одно­

1. Сб о и

в з а и м н о н е з а в и с и м ы .

го сбоя есть р. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

Р і = Р і О — Р) .

і = 0.

 

При этом математическое ожидание длины цуга

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

І{= 0.(1 -

/

О

(!-/>) =

 

 

 

 

 

 

 

дрі _

 

=

р Ѵ

- р ) 5 j

i/71"1 = (’ ~

P)P

 

 

 

fei

d

p

 

fei1 = 1

 

 

-

p ^ -

 

p

(9-29)

 

p) ö

i — p = г

 

346

Средний квадрат длины цуга

со

i = 1

( *

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x ( S

' (і

 

 

 

 

 

 

 

,

1

1 _

Р 2

1

 

 

/■2 + t

(9-30)

1 P O - ■ Р ) Ц

( 1 - р У 1

 

 

 

 

 

 

При 'Подстановке этих значений в 'формулы (9-27) и

(9-28) для

необходимых интервалов между измерениями имеем:

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

Т і = -

2а,

ау макс

 

 

(9-31)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 — р

__

макс

(9-32)

 

 

 

V

 

 

 

 

2 а , (I + р)

ах

 

 

На основании этих формул, задаваясь вероятностью р и осталь­

ными параметрами, имеем искомые значения

7Т и 7'2..

 

2. Д л и н а

цуга

р а с п р е д е л е н а

по

э к с п о н е н ц и а л ь ­

но м у з а к о н у. В этом случае

 

 

 

 

 

 

 

рі=а ехр(—Ьі).

 

 

(9-33)

Из условия нормировки имеем а=1—ехр(—Ь).

Математическое ожидание длины цуга в результате вычислений,

аналогичных предыдущим, равно:

 

 

 

 

ехр (— Ь)

ехр (—Ь) — Г

(9-34)

‘

1 — ехр (— Ь)

 

Средний квадрат длины цуга

 

 

 

 

ехр (— Ь) [1 +

ехр (— Ь)1 ,

1+ехр (— Ь)_

 

1

[1— ехр(— Ь)\г

1 1— ехр (— Ь)

 

 

I [^1

+

1— еХр (— ^

 

(9-35)

Тогда можно получить интервалы

времени между измерениями в

виде

 

 

 

 

 

 

 

I — ехр (— b)

°</ макс

 

Т. —

2 а ,

 

а 2

(9-36)

Тг

[1 — ехр (—

Ь)\

 

(9-37)

________________________qy макс

 

V^2as [1 +

ехр (— Ь)\

°х

 

Нетрудно видеть, что при

ехр (—Ь) = р

формулы для

случаев 1

а 2 дают совпадающие результаты.

 

 

 

23*

 

 

 

 

 

347

3. Д л и н а цу г а р а с п р е д е л е н а по з а к о н у В е и б у л- л а. Рассмотрим частный, но практически важный случай, когда ве­ роятность цуга из одного сбоя 'меньше, чем цуга из двух сбоев. Пусть

 

0,5С, ехр (— /2/16) _

при і >

0;

Рі

а

 

при і =

[(9-38)

 

 

0.

Множитель Сі выбирается из условия нормирования раопреде-

ления, т. е.

 

2(1—л)

1—л

 

 

=

(9-39)

 

------------ -------^ - 2 - -

 

£

1ехР I (2/16)

 

 

 

<=1

 

 

Дальнейшие вычисления удобно вести

в численном виде. Если

а=0,96, то ро=0,9600; рі=0,0047; р2=0,0078; р3=0,0086; р4=0,0074;

/35=0,0053;

/76=0,0033;

р7=0,0017;

 

рв= 0,0008; ро= 0,0003; рю =

=0,00009;

рі і= 0,00003;

рп=0,000006.

 

Тогда

 

£ = 0,14-13; і2=0,6533.

Интервалы времени между измерениями должны определяться

как

 

 

 

 

 

 

 

 

1

°у макс

,

(9-40)

 

Т і ~ 2,28а,

 

02

 

 

 

 

 

 

гг.

^

 

ыакс

(9-41)

 

2

1.965 V а 2

а*

 

 

 

 

Таким образом может быть найден необходимый интервал вре­ мени между измерениями стационарного процесса при восстанов­ лении его с помощью ступенчатой интерполяции.

Линейная интерполяция

По подобной же -методике может быть рассмотрен выбор интервалов циклической дискретизации при последующем восстанов­ лении с помощью линейной интерполяции. При отсутствии сбоев со­ гласно § 4-3

« I макс = «*П.5 + 0,5Ря (Т) - 2?х (0,57-)].

При рж (т) = ехр (— al I г | ) имеем;

 

 

0<у макс ^

°'5 °;е а \ Т \ ,

 

При наличии сбоев

 

 

 

СО

 

у

макс

:0,5с2а17 ' , Е М » + 1 ) = 0 , 5 а * а 1Г 1

і-0

 

 

 

 

откуда искомое значение

 

 

 

 

у макс

 

 

Ч (1

+ і )

СО

 

* + £ 1Рі

(9-42)

;=о

(9-43)

348

Аналогичным образом при ря (т) = ехр (— cc2té)

■ /

оо

I /

S (IН- О4 а

Г>=0

V

Ѵ3а2[1

(9-44)

+ 4( + 6(2-f 4і3 + И]' о*

Рассмотрим несколько различных законов распределения веро­ ятностен цугов сбоев. Отметим, что величины і и і2 нам уже из­

вестны из вышеизложенного. Таким образом, задача сводится к на­ хождению і3 и і4 и подстановке их в последнюю формулу.

Рассмотрим независимые сбои и экопоненциалыюе распределение вероятностей длин цугов. Поскольку в ходе предыдущего рассмотре­ ния мы убедились, что эти два случая совпадают, то рассмотрим их совместно. В качестве величины і2 возьмем его точное значение

 

12 = Т=“7 + 2 Р - =

1 - е х р ( - Ѵ

+ 2ехр (~ Щ ■

(9’45)

Вычислим далее Гэ

СО

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

г3 = [1 — ехр (— 6)] ^

і 3ехр (— Ы) —

 

 

 

 

і= I

 

 

 

 

 

=

[I — ехр (— &)]

3/ ехр ( — Ы)

д3 ехр (— Ы)

 

 

дЬ3

 

 

 

(=1

 

 

 

 

 

 

 

д3

ехр (— Ь)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— ЗГ — [1 — ехр (— 6)j1дЬ3

1— ехр (— 6)

 

— ЗГ +

 

 

,

ехр(— 6) [1 — ехр,(— &)]

ог

7

,

,,

(9-46)

 

+

--------1 — е"хр (— Ь)-------- =

31+ е х р ( -

Ь).

Вторая из интересующих нас величин

 

 

 

 

 

 

 

 

00

 

 

 

 

 

 

 

 

/4 ^ \ \ — ехр (— 6)] ^

ехр ( — Ы) =

 

 

 

 

со

і ~ 1

 

 

 

 

 

 

 

 

г<Э4 ехр (— Ы)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ьі)““

 

=

[1 — ехр(— Ь)}

р

------+ 6‘2 ехр

 

 

 

і=і

[1— ехр (— 6)] ехр (— Ь) _

 

' -

Зехр ( - Ы)) = er—

 

з -г

j

— ехр (— Ь)---------7

 

 

 

— 6і2 — 3 + ехр (— Ь).

 

 

 

(9-47)

Подставляя эти, значения в ранее выведенные формулы для Т,

имеем зависимость, удобную для расчета необходимой частоты ди­ скретизации. Таким образом, и три линейной интерполяции имеем возможность учесть влияние сбоев на частоту дискретизации.

349

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

НЕКОТОРЫЕ ИНТЕГРАЛЫ, ВСТРЕЧАЮЩИЕСЯ В КНИГЕ

При выполнении расчетов в тексте настоящей книги исполь­ зовались следующие интегральные соотношения.

Интеграл вероятности

Под интегралом вероятности (или вероятностен) здесь пони­

малась функция Лапласа

и

 

Фі (и) =

j* exp (— X*.) dx.

 

О

Значения табулированной

функции Фі(ц) ом. в приложении 2.

В литературе встречается также несколько иное понятие интеграла

вероятности

и

ехр (— хг/2) dx — Ф]

О

Ф, (и) = Ф2(и Ѵ 2 ).

Используется иногда форма

1

Фз И = /й Г

U

^ ехр (— х 2/2) dx; Фз ( - и) = I — Ф, (и),

для которой имеются таблицы производных. Нетрудно видеть, что

^

0,5

/

и

\

■

Ф3 («) = 0,5 + у

=

Ф, [ y

Y

j

Вместо символа Фі в ряде книг употребляется символ erf. В

хо­

де дальнейшего изложения вместо Фі употребляется обозначение

Ф.

Интеграл вероятности допускает разложение в ряд

ч

2 у і (— l)l,ü2fc+1

_

2ехр (— и2)

«П

2^ц2,^+,

 

« ( “ + 0 ”

v ~

2j

(2й+ 1) и

 

k—0

 

 

Ä=0

 

Предельные значения интеграла

вероятности

 

 

 

ф (0) =0;

Ф(±оо) = 1.

 

____________

350

Удобно пользоваться следующими приближенными выражения­ ми для интеграла вероятности:

для малых значений аргумента

 

для больших значений аргумента

 

 

 

 

Ф (ц)

!

 

ехр (— иг)

 

f

1

г 3

15 N

 

 

V I Г и

 

Ѵ‘ ~ 2 н = + 4н‘

8ц6 J ’

 

 

 

 

 

 

для суммы интегралов вероятностей

 

 

 

( х + а\

 

{х_— а \

 

, 11

х2£+ 1у(2п) (fl)

 

ф (

/ т )

+ Ф \ У ~

)

~

4 и

(2t+ 11)! ’

где

/9„ ч

 

 

 

 

 

i=J

 

 

rf 2,1

exp (—x2/2)

 

 

 

 

e x p (— х 2/2 )

 

p

 

 

/ 1 ^

= ( — \)-n H 2n{x)

У2п

а полиномы Эрмита равны:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0,5п (п— I )

 

 

 

 

 

 

Я 2„ (х) =

Yi

(—

 

 

М с|‘

 

‘=0

(о полиномах Эрмита см. [Л. П-1].

Интегральные функции о т интеграла вероятностей

а

1

 

I

Ф (и) сіи —

аФ (а)

К"

[1 — ехр (— а5)];

|ф(ам +

р)Лг =

^a + 4-j Ф(ад + ?)—

(ß) +

 

 

а У я {ехр [— (ад + ?)2 J — ехр (— |J2)};

 

 

00

 

 

 

2

 

 

 

j

 

 

 

 

 

 

х Ф (х) ехр (— д2х2) сіх

l f

 

—схэ

 

 

д2Кд2+

а

 

 

 

 

 

 

2^-

— 4^-j Ф (м ) + р=== ехр (— а2д?) J ;

J хф (ах) dx =

О

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

j Х2Ф (ах) d X =

Ф (ад) — -з-

 

 

 

 

 

аг +

~ Г ) ехр (— а 2а 2)

I.

К р о м е

того ,

ряд и с п о л ь зо в а н н ы х

]•

д л д в ы ч и с л ен и я ң н те гр а л о р

с о д е р ж и т с я

в [Л .

П -1].

 

 

 

 

Интегралы от функций, содержащих ехр(—х1) и степенную функцию X.

Приведем ряд зависимостей, полезных для решения задач

теории

измерений

 

 

 

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

0,5 [exp (— а2) — exp (— ö2)];

^ х ехр (— х 2) dx =

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

^ X2 ехр (— X2) dx = 0,5 [а ехр (— а2) — Ьехр (— Ь-)\ +

 

а

 

+

0,25

[Ф (Ь) — Ф (а)];

 

 

 

 

 

ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J X3 ехр ( — X2) dx =

0,5 [(1 +

а2) ехр (— а2) — (1 +

Ь~) ехр ( — 62)];

а

Ь

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J X4 ехр (— X2) dx =

0,5 [а (а2 — 1,5) ехр (—а2) —

 

а

 

 

 

 

 

 

 

 

 

— Ь (62 — 1,5) ехр (— 62)] +

0,375

[Ф (й) — Ф (а)];

О

 

 

ф (ta) Jx _ I

 

 

 

I

ü £ t f £ L

 

 

£

(_ ,,, x

 

 

 

 

 

 

 

i=D

а

 

 

 

 

 

 

 

Ь2іх 2і

 

2Ь

V4!

1)1

Ь2І

Г

exp {- ax) dx =

Х щ

і у dx =

 

 

2 j (-

іі(2і +

I) J

 

 

 

 

 

i=0

 

 

0

 

 

2b

 

,

2b

 

b62*i (S2t)!a~(2*+')

 

=7iTa+71rLi<-‘'>, >’

1)

 

 

 

 

 

i=l

 

(2i+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

X21 exp (—ax) d x = (2t)! a “(2t+ ’);

 

согласно формуле (3.351.3) из [Л. П-1]

 

 

 

а

ехр (— р/х)

,

I

, „, ,

 

 

I

 

 

------ ІГ:----- dx =

- у ехр (— р/а).

 

 

 

 

Интегралы, содержащие ехр(—ах2 + 6х_) и степени х

Раскроем прежде всего интеграл вида

N

J ехр (— ах2 + Ьх) dx,

352

Соседние файлы в папке книги из ГПНТБ
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности