са а2*. 'Все вышенаписанньіе выкладки сделаны в пред положении, что 7н>тох, а это является необходимым условием модели Н. А. Железнова [Л. 1-48].
Картина меняется, если учесть случайные аддитив ные погрешности измерений. Полагая, что а2ѵ—диспер сия погрешности, интервал корреляции Toy процесса Y(t) ие превосходит то.х и погрешность распределена нормаль
но, имеем: |
|
|
/і=(7Ѵто*) log (<r*/a„); |
|
(7-21) |
h = l o g ( a xfoy), |
|
(7-22) |
а потери информации |
|
|
AI2 = log[(ax/ay)'°* |
]. |
(7-23) |
Из сравнения формул (7-20) и(7-23) |
видно, что |
с учетом погрешностей потери информации снижаются. Это естественно, так как при интегрировании погрешно сти сглаживаются, что ведет к уменьшению условной энтропии. Однако общий характер зависимости потерь от Т1Ь тох и <Тх сохраняется.
Иное дело, если Гц«Сто*, но Тв^>тоѵ. При этих усло виях усреднение может даже увеличивать количество информации. Это имеет место, например, при измерении величин, практически постоянных за время эксперимен та, с помощью приборов, имеющих быстроизменяющуюся (случайную) погрешность. Подобное явление часто используется в метрологической практике. Достигаемое увеличение информации может 'быть оценено как
д / , = b s ( Y ^ t W ) ' |
(7-24) |
где Ох нужно понимать как среднеквадратическое значе ние измеряемой величины, взятое по множеству измере ний (например, при измерении параметров радиотехни ческих изделий—резисторов, конденсаторов и т. д. — по множеству изделий данного типа и номинала). Формулу (7-24) нужно понимать как предельно достижимый вы игрыш информации, достигаемый при непрерывном усреднении. Если усреднение ведется по дискретным во времени измерениям, то выигрыш будет заведомо мень ший.
зоз
7-2. ИЗМЕРЕНИЕ МАЛЫХ ВЕЛИЧИН
В предыдущих главах отмечалось, что количество информации уменьшается с ростом погрешности измере ний. Однако не следует думать, что существует какой-то порог измеримости, вытекающий из информационных характеристик. Покажем это на примере идеального линейного безынерционного звена. Согласно формуле
(2-126) имеем:
/ = l o g / < / < + 1 . |
(7-25) |
где чт2у— дисперсия суммарной погрешности на выходе звена.
При стж3>сгу, как это имеет место в большинстве су ществующих приборов, имеем:
/ - l ü g (сГж/сГу). |
(7-26) |
Однако при измерении количественно малых эффек тов сг.-е становится соизмеримой или даже меньшей оѵ.
|
|
|
|
|
|
|
При этом единицей под |
корнем |
нельзя пренебрегать. |
Зависимость количества |
информации от |
о х / о у |
показана |
|
на рис. 7-1. На оси абсцисс ве |
|
личины отложены в логариф |
|
мическом масштабе. |
Нетрудно |
|
видеть, |
что I— Н) |
лишь при |
|
Ох/оу-^-0, т. е. информационно |
|
го порога, указанного в [Л. 7-1], |
|
не |
существует. |
Информация |
|
всегда |
неотрицательна |
даже |
|
П р и |
О х І в у < 1 . |
|
|
изло |
|
|
В ходе дальнейшего |
Рис. 7-1. Зависимость коли |
жения |
нами |
будет |
употреб |
чества информации от отно |
ляться термин «малые величи |
шения СГхАТу. |
ны». Под этим названием под |
|
разумевается |
случай, |
когда |
измеряемая величина соизмерима или даже существенно меньше погрешности. При измерении приращений с по грешностью сравнивается не абсолютное значение изме ряемой величины, а ее изменение.
При измерении малых величин применяют один из существующих методов накопления (усреднения). Таким образом, кроме вынужденного усреднения, описанного в -предыдущем параграфе, имеется и специальное усред-
пение. На первый взгляд, многократное измерение посто янной (неизменной) физической величины, если иметь
в виду формулу |
(7-25), бессмысленно. Действительно, |
коль скоро величина неизменна, |
а погрешность меняется |
от измерения к |
измерению, то, |
казалось бы, ах1аѵ= 0 |
и количество информации 1=0. Однако подобное утверждение неправильно. .'Как уже объяснялось ранее ■в пояснении к формуле (7-24), а2х нужно понимать как дисперсию, вычисленную по множеству измерений. Сама по себе целесообразность усреднения, доказанная на практике, является дополнительным подтверждением того факта, что каждое измерение малой величины дает информацию. Поясним последнее утверждение. Усред нение есть не более чем метод обработки результатов отдельных наблюдений. Количество информации, полу чаемое в результате усреднения, естественно, складыва ется из значений, полученных в результате отдельных измерений. Если бы каждое измерение давало нулевую информацию, то и сумма их, даже без учета потерь при обработке, не могла бы превышать нуля.
Перейдем к описанию существующих методов усред нения. Простейшим методом является нахождение среднеарифметического значения. Эта процедура приме нима лишь при неизменности истинного значения иско мой величины за время усреднения. Другими словами, условиями применимости его являются медленное изме нение X и быстрое — погрешностей у по сравнению со скоростью измерений.
І4так, в результате усреднения имеем:
П П
z = 4 “J j ( jc+ ^ ) = jc+ |
4 ~ 5 j ш = х + у™ ^7'27) |
«= |
i=l |
где Уі — погрешность измерения в момент времени t — U\ уп — погрешность после усреднения; п — число измере ний.
При п-»-оо уп стремится к математическому ожида нию погрешности Y. Если погрешности отдельных отсче
тов не_коррелированы, то оценка скорости |
сходимости |
уп к Y может быть получена на основании известного |
неравенства Чебышева |
|
р { \ У п - ? \ < а } > 1 - - % г , |
(7-28) |
где а характеризует желаемую точность приближения;
p[\tjn—У |< а} — доверительная вероятность, соответст вующая этой точности.
Как видно .из формулы (7-28), в принципе при увели чении числа п можно получить сколь угодно малое от клонение а. Практически точность приближения ограни чивается либо погрешностями вычисления, либо невоз можностью выбрать слишком большой интервал времени усреднения в связи с нарушением условия x(t) = const.
К. сожалению, формула (7-28) не позволяет опреде лить необходимое число п. Она говорит лишь о том, что п должно быть не менее какого-то значения. При боль ших п удобнее воспользоваться формулой, вытекающей из теоремы Ляпунова. Согласно этой теореме распреде ление суммы большого числа слагаемых близко к нор мальному закону при любом законе распределения веро ятности слагаемых. Поэтому
f I I » . - F | < - > ) « |
« . ( f | i ) ’ |
(7-29) |
где Фі — интеграл вероятности |
(функция |
Крампа, см. |
приложение 1).
Естественно стремиться к тому, чтобы доверительная вероятность в левой части формулы (7-29) была доста точно близка к единице. Отсюда вытекает возможность применения приближенной формулы
Из (7-30) видно, что по мере увеличения п довери тельная вероятность монотонно приближается к постоян ному пределу, равному единице. Необходимое число из мерений может быть определено из решения трансцен дентного относительно п уравнения (7-30).
Возвращаясь к (7-27), мы видим, что при достаточ ном числе п_ уп стремится к своему математическому ожиданию У. Последнее является одной из характери стик прибора или метода измерений и предполагается заранее известным. Поэтому путем введения поправки можно с точностью^ определяемой (7-30), исключить погрешность. Если У = 0, то поправка оказывается вве денной автоматически.
Перейдем далее к среднеквадратическим и информа ционным оценкам накопления. Согласно теореме Ляпу-
нова при независимости отсчетов
(7-31)
т. е. дисперсия погрешности при накоплении уменьша ется в п раз по сравнению с однократным отсчетом. Для нормального распределения в данном случае имеем без условную энтропию погрешности после накопления в виде
Н (Yn) = log (\^2тіе[пау), |
(7-32) |
т. е. в результате усреднения количество информации воз растает по сравнению со случаем однократного измере ния на 0,Slog п двоичных единиц. Количество информа ции, полученное в результате накопления, таким образом, нельзя считать равным произведению п на количество информации в одиночном отсчете. Дело в том, что для нашего случая формула (7-25) справедлива только для первого из отсчетов. Для каждого последующего отсче та количество информации меняется, так как результа ты накопления коррелированьи
На практике важен метод измерения не только посто янных, но и меняющихся за время наблюдения величин. Метод накопления тогда может быть применен, если в той или иной мере проявляется стационарность на ин тересующем нас отрезке времени.
Рассмотрим прежде всего задачу выделения периоди ческого сигнала иа фоне непериодических погрешностей.
Пусть измеряемый сигнал записывается в виде |
x(t)= 0,5(X)2+0,5A sin Ы + ф ) , |
(7-33) |
где A(t) и ф(t) — случайные процессы со |
скоростью |
протекания много меньше, чем sin со07. Накопление мож
но |
произвести на |
отрезке времени Ті, для |
которого |
А |
и |
ф практически |
неизменны. Погрешность |
У (t) |
по- |
прежнему полагаем быстролеременной. |
применить |
|
Если заранее |
известен период, то можно |
синхронное накопление. Знание фазы при этом не тре буется. Метод синхронного накопления [Л. 7-7] заключа ется в следующем. 'Весь период повторения процесса X(t), т. е. Г2=2я/а>о, разбивается на некоторое число
интервалов |
пг, где іп — любое целое число больше еди- |
20* |
§07 |
ницы. Для простоты рассуждения в дальнейшем считаем что TJTz есть целое число, т. е.
/г= errt [Гі/Г2]= Ті/Т2.
Далее можно действовать одним из следующих двух методов. Либо берутся мгновенные значения z(U) = =x(U) +y{ti), следующие друг за другом через интер вал времени Т2, либо вычисляется среднее значение функций за каждый интервал времени Т2/т. И в том, и в другом случае производим почленное суммирование по всем периодам. Пусть, например, действуя первым
методом, |
мы разбили |
период |
на 20 |
участков |
( т —20). |
За первый период Т2 получены z ( L J , |
z(tit2), . . z(tl}2о); |
за второй — z(tz,i), |
z(t2J , .... |
z(t2,20) |
и т. д. до z(tnJ , |
z(tnfi), . |
. |
z(tn ,20). |
Суммирование ведется по |
правилу |
|
|
rt |
|
|
|
п |
|
z М = |
з г |
|
V' *>)=* ('.) + д г $ ] У(*■ *.)'• |
|
|
|
І= \ |
|
|
|
f= l |
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
2 ( t s) = -jr $ ] z |
^ = •* ^ |
+ тг$] у |
(7-34) |
|
|
i = |
1 |
|
|
= 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
2 ( U |
= 4 - |
2(*. |
= X (LJ - f jj- |
у (i, t j . |
|
|
|
,-=1 |
|
|
|
|
|
|
Другими словами, используется тот факт, что значе |
ния X(t) |
периодически повторяются |
с интервалом Т2, |
а значения Y(tJ не повторяются регулярно. При исполь зовании второго метода порядок суммирования значения по участкам сохраняется, только вместо мгновенных берутся средние значения за соответствующую часть периода.
Из описания процедуры нетрудно видеть, что .после операции синхронного накопления получаются нроквантованные во времени значения.
Из (7-34) видно, что оценка погрешности при син хронном накоплении имеет тот же вид, что и при обыч ном накоплении. В случае необходимости восстановить
непрерывную функцию |
времени следует прибегнуть |
к одному из указанных |
в § 4-3 методов интерполяции. |
Естественно, что при этом имеет место погрешность интерполяции, оценка которой дана в § 4-3.
В общем случае погрешность результата яри син хронном накоплении тем меньше, чем больше т и п. Усреднение по средним значениям конструктивно слож нее, но точнее, чем вычисление по мгновенным отсчетам.
На первый взгляд может показаться, что описанный метод синхронного накопления, широко используемый в радиолокации, не применим для обычных измерений, так как период Т2 неизвестен. Однако и в измерительной технике имеются случаи, когда задание Т2 зависит от экспериментатора. Например, при измерении количества примесей нефти в воде по люминесценции смесь пери одически освещают вспышками. Период вспышек задает ся извне. Здесь может быть применено синхронное на копление.
Большее распространение получил метод отделения периодических сигналов Х(і) из непериодических по мех Y(it), при котором не требуется априорного знания периода, а именно корреляционный анализ. В этом слу
чае вычисляют |
функцию |
автокорреляции |
процесса |
Z ( t) — X(t) + Y(t). |
Например, |
корреляционный |
анализ |
применяют при обработке результатов исследования сердечной деятельности человека—баллисто- и фонокар диограмм. Для обоснования правомочности метода вы числим Rz(т) в предположении о независимости X и Y.
По определению автокорреляционная |
функция |
Rz (х) = Z (t)Z (t-f- х) = |
Rx (х) -f- Rxy (х) -I- Ryx (х) “Ь Ry (х) = |
= |
tf*(x) + tfy(x). |
(7-35) |
В соответствии с [Л. 7-9] автокорреляционная функ ция периодического сигнала x(t) также есть периоди ческая функция. Так, если
|
СО |
A'cos (a>0t + <Pft), - |
•X(if)= |
0,5* -]- £ |
TO |
fc=i |
|
|
oo |
|
|
Rx (x) = |
0,25 (X)s+ |
0,5 Yi A2hcos fo>0x. |
|
|
ft=i |
Поэтому Rx(т) имеет незатухающий характер, в то время как автокорреляционная функция непёриодичеокого шума і/?у(т)т^>0 при х— мх>. При достаточно больших
значениях t Rz(%) полностью определяется Rx{т),кото рое, в свою очередь, говорит о виде X(t). Вышесказан ное поясняется рис. 7-2.
'В ходе данной выкладки так же, как и ранее в этом параграфе, предполагалось, что X(t) имеет практически
•неизменное разложение в ряд Фурье, а Y(t) — случай ный стационарный ппоцесс па интервале наблюдения Ті.
Рис. 7-2. Автокорреляционная функция суммы
периодического сигнала |
и непериодического |
шума. |
|
|
1ІХ{т) — автокорреляционная |
функция |
сигнала; |
« (т) — автокорреляционная |
функция шума; |
/?2(т) — |
автокорреляционная функция суммы сигнала и шума.
Сравнивая синхронное накопление и корреляцион ный прием, можем отметить следующее. Оба метода применяются для выделения периодического сигнала на фоне непериодических погрешностей. Корреляционный метод пригоден при аддитивных погрешностях. При син хронном накоплении требование аддитивности необяза тельно. Недостатком синхронного накопления, ограничи вающим область его применения, является требование априорного знания периода X(t). При корреляционном анализе этого не требуется. При синхронном накоплении принципиально всегда имеется дискретизация по време ни. При корреляционном анализе результат может быть получен в непрерывной или дискретной форме в зависи мости от принципа действия применяемого коррелометра. Аппаратурная реализация синхронного накопления, как правило, проще.
Оба метода могут быть распространены на случай сигналов со случайно меняющейся длительностью перио?
да, если имеется возможность введения поправки—пере менного масштаба во времени.
Перейдем к рассмотрению выделения непериодиче ского сигнала из непериодических же погрешностей. В качестве примера рассмотрим метод асинхронного накопления. Согласно этому методу измерение одного и того же параметра Х(і) производится с помощью двух датчиков. Первый из них имеет погрешности Yi(t), вто рой— Yz(t). В каждый момент времени мы тем самым имеем два значения:
+Z2(t)= X (t) + Y2(t).
Нетрудно видеть, что
а д - а д = В Д - В Д ;
Zlit) +Z2(t)=2X(t) + Yl(t)+Y2(t).
Возводя полученные сумму и разность в квадрат и усредняя по времени, получаем:
Щ Г ) - 2Yl(t)Y%(t) + Y W ;
4 Щ У + 4 Х (І) Yi(t) +4Xß) Y2(t) + + Yh(t)+2Yl(t)Y2(tl) + Y\(t).
Вычитая первое выражение из второго, при соблюде нии эргодической гипотезы имеем:
4 Щ ) + 4 [RXU1(0) + Rxyt (0) + |
(0)]. |
(7-36) |
Если величины X, Уі и Y2 между собой независимы, то выражение в квадратных скобках обращается в нуль,
в итоге обработки имеем 4X2(t), т. е. результат целиком определяется истинным значением измеряемой величины.
Таким образом, для осуществления асинхронного на копления требуется получить сигналы с двух датчиков, вычесть и сложить их, возвести эти разность и сумму в квадрат, проинтегрировать и результаты интегрирова ния вычесть. В отличие от предыдущих методов .после
обработки получается не |
функция, а число — средний |
квадрат X(t). Например, |
если X ( t ) — напряжение, то |
результат характеризует среднюю мощность. При прак тическом осуществлении, разумеется, не удается пол ностью отстроиться от погрешностей. Причины этого
таятся прежде всего в том, что интегрирование в ко нечных пределах не дает математического ожидания. Кроме того, отстраиваясь от погрешностей, внесенных предыдущими звеньями преобразования сигнала, мы не минуемо вносим новые погрешности.
Естественно, что все методы накопления помогают лишь уменьшению так называемых случайных погреш ностей.
Читателя, интересующегося дальнейшими подробно стями, можем отослать к (Л. 7-7]. Более общая поста новка задачи о накоплении содержится в теории опти мальной фильтрации, а также в работах по комплексированию измерителей, представляющих собой один из разделов оптимальной фильтрации.
Г Л А В А В О С Ь М А Я
ВЛИЯНИЕ ВНЕШНИХ УСЛОВИЙ НА ПРОЦЕСС ИЗМЕРЕНИЯ
8-1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
При анализе точности любого измерительного устройства необходимо учитывать характеристики среды, в которой это устройство находится при эксплуатации. Для описания внешней среды можно воспользоваться заданием статистических характеристик таких величин, как температура, влажность и т. д. Другую группу усло вий составляют электрические величины (напряжение питания, напряженность внешнего электромагнитного поля и т. д.), которые также поддаются статистическому описанию.
Изменение внешних условий приводит к увеличению
•погрешностей, т. е. дополнительным потерям информации. Подобные погрешности могут быть описаны с помощью ограничения их сверху. Например, в паспорте прибора оговаривается, что при увеличении температуры на +10° от номинального значения может иметь место «дополни тельная» погрешность, не превосходящая основную. Однако такой метод представляется крайне неудачным, в особенности если иметь в виду, что влияющих факто ров может быть много и каждый из них нормируется таким способом отдельно. Действительно, мы не знаем, каков «коэффициент запаса», т. е. насколько вероятно
