книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

ötkyÄä ■

Второй из приведенных в формуле (6-204) интегралов тождест­ венно равен нулю. Тогда

С учетом малости величины у и в предположении, что аТ2р<С 1,

можно произвести разложение некоторых функций в формуле (6-205) и далее пренебречь членами с у в третьей степени и выше.

Преобразованные таким образом величины имеют следующий вид:

ехр (—у2а) ~ 1—у2а;

ch(y/Tp) ~ l+ y 2/2T2p.

Разность двух интегралов вероятности можно преобразовать, применяя разложение Тейлора

■При больших значениях 'аргумента 4>і(х) может быть пред­

ставлена в виде

293

В результате преобразований формула (6-205) принимает вид

Rux„ (у) ^ 2 а2Л ja (1 - Зар2) + ~ у = ^ ~ ехр +

=ехр(—ат2) и преобразованиях, аналогичных принятым при выводе формулы (6-206), имеем:

294

где

ровки. Дисперсия •инструментальной 'погрешности, усредненная по всем У, при любом виде закона распределения равна:

где принято ог2о = сг2:с, что справедливо при определенных условиях, оговоренных в § 6-5. .

В случае, когда w(y) имеет вид (6-203),

(6-215)

295

В предыдущем параграфе было показано, что методическая погрешность была .минимальна при т=0 я х=Т , т. е. именно там,

где максимальна инструментальная погрешность. Принимая во вни­ мание, что последняя является .величиной второго порядка малости, можно рекомендовать учитывать ее при расчете суммарной погреш­ ности только на концах интервала интерполяции.

Рис. 6-7. К возникновению инструментальной погрешности из-за неточности фиксации мо­ мента экстремума.

Рассмотрим также инструментальную погрешность, обусловлен­ ную конечной точностью измерения и фиксации моментов времени измерений. На рис. 6-7 эти погрешности обозначены у *і и у*2. Зна­

чения этих погрешностей обусловлены типом применяемого измери­ теля времени. Естественно, что анализ погрешностей часовых меха­ низмов выходит за рамки данной работы. Поэтому ограничимся исследованием .влияния этой погрешности на погрешность интер­ поляции. С учетом этой погрешности интерполирующая прямая име­ ет вид:

где у* 1и у*2— погрешности в определении моментов времени, к ко­

торым следует отнести экстремумы. Учитывая, что часовым меха­ низмам свойственна накапливающаяся погрешность, можно принять:

297

Усредняя по //*, имеем:

т. е. диаперсия дополнительной погрешности не зависит от т. Не­ трудно видеть, что величина дисперсии этой погрешности еще мень­ ше, чем в 'предыдущем случае. По-видимому, на практике ею можно пренебрегать.

ГЛАВА СЕДЬМАЯ ПРЕДЕЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ ИЗМЕРЕНИЙ

7-1. О НЕИЗБЕЖНЫХ ПОТЕРЯХ ИНФОРМАЦИИ

ПРИ ИЗМЕРЕНИЯХ

Как указывалось выше, формирование измеритель­ ного сигнала п его преобразования в измерительном канале неизбежно связаны с потерями информации. Однако эти потерн не являются единственной причиной неполноты информации об истинном значении измеряе­ мой физической величины. Сам первый этап измерения— взаимодействие чувствительного элемента датчика с изу­ чаемым физическим телом — уже неизбежно связан с неполнотой отражения, с потерями информации. Здесь сказываются общие закономерности природы.

Действительно, чтобы изучить любое физическое тело, необходимо познать его свойства. Другого пути нет. Свойства же проявляются во взаимодействии с другими физическими телами, в нашем случае—-с датчиками из­ мерительных устройств. При этом мы неизбежно нару­ шаем замкнутость исследуемой термодинамической системы, т. е. искажаем какие-то параметры. Эти изме­ нения могут быть сравнительно малыми, но они неиз­ бежно имеют место. Так, внося термометр в котел с во­ дой, мы очень несущественно изменяем интересующую

в каплю воды.

Покажем это на примере. Обозначим удельную теп­ лоемкость воды Си, ее массу тв и начальную температу­ ру воды хв■Аналогично для термометра введем обозна-

298

чения ст, Шт, л'т (в данном случае для упрощения не учитывается, -что термометр может состоять из частей с различной теплоемкостью, учет этого обстоятельства не меняет общей картины, но усложняет формулы). На

Безусловная дифференциальная энтропия температу­ ры воды в предположении о нормальности распределе­ ния вероятностей значения измеряемой величины в дан­ ном диапазоне равна:

Н (Х Я) = log

хп

Предположим, что начальная температура воды име­ ет плотность вероятностей, также описываемую с по­ мощью гауссовской кривой. Тогда условная энтропия после измерения

причем масса воды предполагается постоянной.

На практике при измерении температуры в большин­ стве случаев нельзя говорить о постоянстве массы. Для , учета этого обстоятельства введем обозначения Ь=а~і. Предположим теперь, чтр. величина b распределена по

299,

нормальному закону. Тогда условная энтропия после из­ мерения

Полученные результаты согласуются с качественной картиной. Действительно, количество информации тем больше, чем больше изменчивость (дисперсия) исходной измеряемой величины. Увеличение массы или удельной теплоемкости термометра уменьшает количество инфор­ мации. С ростом неопределенности исходной температу­

мации при измерении напряжения Е а некоторого источ­ ника постоянного тока, имеющего внутреннее сопротив­ ление Двн, с помощью вольтметра с входным сопротив­ лением Rbx- Присоединяя вольтметр к источнику, на зажимах вольтметра имеем:

Если измеряемое напряжение — случайная величина, то среднеквадратическое значение его при постоянстве R t>x и Двн равно:

R a x + R aa

где

R a x + Ra

300

Дисперсия этой погрешности при случайном характе­ ре величины с равна:

а1— ЁС,Е2 ~ К ес “Ь (С)2 вЕа + (Еа)23“ +

При этом безусловная энтропия

а частное значение количества информации, доставля­ емое значением U,

аа

Напомним, что d = \ + R BXIRBn.- Последняя формула получает ясное истолкование. Количество информации тем больше, чем больше дисперсия (изменчивость) изме­ ряемой величины и чем меньше разброс возможных со­ отношений между Двх и Rbb. Наличие величины U в зна­ менателе формулы (7-15) имеет тот же смысл, что и вве­ дение понятия относительных погрешностей.

Другим источником потерь на начальном этапе изме­ рений является тот факт, что измерения всегда по необ­ ходимости интегральны. Любой прибор измеряет не мгновенное значение, а усредненное за какой-то, пусть короткий, интервал-времени. Это приводит к необ­ ратимым потерям информации. Действительно, пусть измеряется некоторый стационарный случайный процесс X(t) на протяжении времени Гц. Если бы -мы могли получить полную информацию о процессе, то имели бы без учета погрешностей измерения [Л. 1-48]

301

содержащее, как будет показано ниже, меньшее количе­ ство информации.

Представляя

измерение при усреднении меньше, чем Яо(Х), и анало­

Естественно, что эти потери тем больше, чем быстрее изменяется процесс X(t), т. е. чем меньше то*, а также, чем больше интервал усреднения Тщ и дисперсия процед-

№