закон распределения t„, который записывается в виде
I 4taTg2 при 0 < ^ ц < 0 )57’э;
0>(*а) = |47'~2(7'э —/и) при 0,5To< t a<7'3.
Выражение для а2у мо№ приобретает вид:
0,5Га
9У_макс (7’э) = 2 J ^ [ 1 , 5 + 0 ,5 р я (7’э - и
— 2р*(0,57\, — 0,5^)] 4~-сИи. |
(6-182) |
J ѳ |
|
Полагая по-прежнему рх(т:):=ехр(—ат2), имеем:
(7\,) = |
1,532+ |
^ - / |
- f [ <&,(/« Тъ) ~ |
ѲІ/.М&КС |
|
|
|
|
|
- 9Ф, ( ^ ) |
+ |
8Ф, (0,25 / Г |
Т э) ] + |
[<Г |
. „ |
—а7’“/'І , |
, „ -вГ -У 16 . |
(6-183) |
17е |
э -J- 16е |
3 ]. |
Из приведенных формул видно, что среднее значение максимальной дисперсии погрешности при фиксирован ном интервале Т0 определяется самой величиной Тъ, спектральными свойствами процесса и дисперсией изме ряемой величины а2х.
При осреднении полученных характеристик погреш ности по величине Тэ следует учитывать, что измерения в спорадической системе производятся в случайные мо менты времени, образующие поток случайных событий. Строгих методов получения характеристик этого потока из характеристик исходного непрерывного процесса, на сколько нам известно, не имеется. Наиболее детально этот вопрос разработан в [Л. 1-3], где получено лишь приближенное решение для закона распределения веро ятностей интервалов между экстремумами, к сожалению, весьма громоздкое и практически непригодное для даль нейшего использования.
Поэтому при решении поставленной задачи вновь рассмотрим два крайних случая возможных потоков экстремумов.
1. Регулярный поток, в котором экстремумы следуют через равные промежутки времени ГЭ= Я~\ где Яэ —
интенсивность потока экстремумов. Это — поток с бес конечным последействием. Интенсивность потока экст ремумов согласно [Л. 1-3]
Яэ |
я |
РІІѴ) (0) |
= |
const. |
(6-184) |
|
-Р " * (0) |
|
|
|
С учетом допущения (6-171) имеем |
|
|
Я, = ^ |
; Г = |
^ |
- . |
(6-185) |
2.Простейший поток, т. е. поток без последействия.
Внекоторых случаях целесообразно вместо потока без последействия рассмотреть поток с весьма ограниченным
последействием (например, поток Эрланга малого по рядка).
В случае регулярного потока для усреднения погреш ности интерполяции достаточно подставить в полученные ранее формулы значение 7'3, определяемое соотношением (6-185). После подстановки получим:
1)при равномерном распределении [Р.Р(£и)]
2)при дельта-распределении \Д Р (£J]
а2 |
|
= 1,5а2 + |
0,5а2 ехр ( - |
- 2а2 X |
|
|
|
X |
ехр ^ |
= 0,022а2; |
3) при треугольном распределении [ТР(іД\ |
а2 |
|
= |
1,5а2 |
- | - ^ 6 |
|
9Ф‘ ( 2|^6 ) + |
эувмакс |
|
’ * |
1 |
у ,V [Ф,( к г ) |
|
|
|
|
|
|
12 Г |
я2 |
|
+ 8 ф , ( і т г ) ] |
|
т |
- |
17 “ |
р ( - - £ |
- ) + |
16 ехр ( - - 5 г ) ] = ° ’123: |
Для сравнения вычислим величину дисперсии погреш
ности интерполяции при циклической дискретизации, если |
ТЦ= Т Э= %!/( к . |
1,5 -2 2рх ( - Ң + 0|5Рзс'(7’ц)] = 0,28а2. |
ао |
= а |
ВД„макс |
я |
|
(6-186)
Можно также оценить относительный выигрыш по дисперсии погрешности в спорадической системе по срав нению с циклической при равном числе отсчетов на за данном промежутке времени
|
о2 |
|
0,28 |
|
|
P P (Q : |
Щ/Вмакс |
|
~ 2 ; |
о2 |
~ |
0,143 |
|
эувыако |
|
|
|
|
Д Р ( й : |
^ДУдмако |
|
0,28 |
= |
12,7; |
о2 |
— |
0,022 |
|
эУвмако |
|
|
|
|
T P (Q : |
VЩ/дМакс |
_ |
0.28 |
^ |
2,34. |
9 |
|
0,12 |
|
оЛ„ |
|
|
|
|
91/дМако |
|
|
|
|
Интересно отметить, что этот выигрыш не зависит от спектральных свойств процесса, т. е. от а. Объясняется это тем, что частота циклической дискретизации выбра на равной средней частоте спорадической дискретизации, которая, в свою очередь, определяется спектральными свойствами процесса.
|
Для оценки относительного увеличения периода меж |
ду |
отсчетами при а2 |
|
= |
а2 |
решаем относительно |
J |
|
г |
цуамвко |
|
»увмажо |
^ |
Гц уравнение |
|
|
|
|
|
|
V |
=<£ [1,5 - |
2 ехр (—0,25аГ2) -f-0,5Jexp (— аГ2)]. |
|
При различных видах закона распределения Гп име |
ем следующие результаты: |
|
|
|
|
PP (tu): Г ц = |
1,04/ у т ; |
Гэ/Гц= 1,24; |
Д Р ( Ц : Гц= 0,6/ ]/а~; Гэ/Гц= 2,14;
ГР (У : Гц= 0,98/|Га"; Гэ/Гц= 1,32.
В качестве модели потока экстремумов с ограничен ным последействием рассмотрим нормированный поток
Эрланга первого порядка с плотностью вероятности
интервалов |
(6-187) |
w(Ta) =4?A Jdexp (—2К0ТЭ). |
Тогда в случае равномерного распределения Тп сред няя максимальная дисперсия ошибки интерполяции
- ] » ( Г , ) |
(Та) ч т , = 1 ѵ + Л , / - і - Х |
(6-188)
Подставляя в последнюю формулу величину Аэ из формулы (6-67), имеем:
|
= а2{і,5 |
Кб |
Г|~. |
А ( |
Кб |
|
— |
|
|
1 - ф , |
exp I |
|
* ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
— 9 [ 1 — Ф, ( ^ J - ) |
exp ( + r ) + |
|
|
+ |
8 [і - Ф, ( |
^ ) ] |
|
exp ( - 5 - ) = 0,09Л |
(6-189) |
В случае дельта-распределения |
величины Ти получа- |
ем: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
эУпмакс |
; £ А12Т э ех р ( — 2 I j ' э) а2 X |
|
|
oJ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X [ 1,5 |
+ 0 , 5 е х р ( - |
0 ,2 5 а Г 2) |
- |
2 ех р |
( ------- і - |
а Т 2j ’ |
= |
= 1 ,5 ^ + 2г, { |
- ! - |
+ |
+ |
exp ( + ) [ |
, - |
|
- ф. ( + |
) ] } - |
81» {-Г ■- 3J7 f K |
w f u s - e o i L - J ^ |
|
* ! |
" |
а К а |
X |
1 — ф, |
|
|
[ ‘ - ф. ( т = ) ] ) -
ехР I ~ ) X
І6Х?
X
х [ ' - ф' ( + ) ] ' • |
(6' 190) |
С учетом |
формулы |
(6-185) |
преобразуем |
последнее |
выражение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а2 |
= |
аг /<,1, |
|
360 |
48 Кб |
• ехр |
- % - ) Х |
|
|
|
ѲУцМПКС |
|
X |
{ |
|
|
|
X ! |
_ |
Фі ( |
^ |
- ) |
J ехр (-5 |
- |
X |
|
X |
1 - |
ф |
|
|
0,01а2. |
|
(6-191) |
Далее, сравнивая величины, полученные в формулах (6-72) и (6-189), с максимальной дисперсией при цикли ческой интерполяции, можно вычислить уменьшение дис персии в данном случае:
|
9 |
|
|
|
РР{Ц |
а~ |
ѳувма«с 0,28/0,09 = |
3,1; |
ОДвмакс |
ДР{ І п) |
9 |
9 |
0,28/0,01 » |
28. |
ц«/пмакс К |
|
Можно также оценить относительное увеличение пе риода между отсчетами при восстановлении по экстре мумам по сравнению с циклической интерполяцией. При одинаковой максимальной средней дисперсии интерпо ляции
P P (ta): ТУГ;1~ 1,43;
Д Р (ІѴ): T J - ' =5=4,55.
Реальный выигрыш в увеличении периода между измерениями в спорадической системе по сравнению с циклической или погрешности при интерполяции по экстремумам виден из данных табл. 6-1.
|
|
|
|
Т а б л и ца 6-1 |
|
Закон рас- |
д |
макс |
Д |
Вид потока |
|
пределения |
эув макс |
гц |
|
|
Регулярный поток |
PP (*п) |
|
2 |
1 ,2 4 |
ДР (<„) |
|
1 2 ,7 |
2 , 1 4 |
|
|
Поток Эрланга первого по- |
РРѴи) |
|
3 ,1 |
1 ,4 3 |
ря д к а |
ДРЦщ) |
|
28 |
4 , 5 5 |
|
|
Поскольку .различие между верхней и нижней оценками весьма велико, было 'предпринято численное решение задачи. Для этого на ЭЦВМ моделировался случайный процесс с автокорреляционной функцией р*(т)=ех-р(—ß 2T 2 ) по методике, описанной в § 2-6, с целью изучения закона распределения вероятностей Т3. В резуль
тате моделирования были |
получены |
значения, |
представленные |
в табл. |
6-2. |
|
|
Таблица 6-2 |
|
|
|
|
р |
0,10 |
0,15 |
0,30 |
0,40 |
0,60 |
Тя |
17,6 |
12,8 |
4.5 |
3,2 |
2,3 |
9 |
53,9 |
45,1 |
6,4 |
2,5 |
1,4 |
|
°г. |
|
|
|
|
Кроме того, было показано, что удовлетворительной аппрокси |
мацией плотностей вероятности Т0 является |
|
|
|
о'(7'э) = \і ( W " |
-Ѵ„ |
|
(6-192) |
т. е. плотность вероятности |
интервалов времени |
между |
заявками |
в эрланговском потоке лх-го порядка. |
Для выяснения этого обстоя |
тельства при численном расчете были проверены гипотезы о близо сти эмпирического и теоретического распределений с помощью кри терия X2Расчет велся следующим образом. Математическое ожи дание и диоперсия интервалов времени между заявками в эрлангов
ском потоке записывались в форме |
|
|
пг + |
1 |
|
|
_ |
m + |
1 |
0 |
= - |
|
(6-193) |
г = |
- ^ |
; |
4 |
g |
- . |
|
Отсюда параметры, |
входящие |
в |
формулу |
(6-192), имеют вид: |
/п = ent 1(Т„)г/ 4 |
в ] — >: |
|
Х»= |
ent (ТВ) У 4 |
(6-194) |
|
|
¥ |
В |
|
|
|
|
--- і |
--- -■ |
В результате расчета получены значения, сведенные в табл. 6-3. С учетом полученного числа степеней свободы гипотеза о при
надлежности к закону распределения |
(6-192) при /п=2 |
и вычислен |
ных по |
(6-104) значениях |
проходит .во всех |
случаях. |
График |
|
|
|
|
Таблица 6-3 |
Р |
0,10 |
0,15 |
0,30 |
0,40 |
|
0,60 |
К |
0,20 |
0,35 |
0,70 |
1,01 |
( |
. 1,67 |
тп |
2 |
2 |
2 |
2 |
|
2 |
г2 |
7,1 |
17,4. |
3,8 |
5,5 |
|
1,3 |
зависимости %э от ß представлен |
|
|
на рис. 6-4. Зависимость эта хо |
|
|
рошо |
аппроксимируется |
формулой |
|
|
|
|
X,a=2,38ß, |
|
(6-195) |
|
|
что с |
точностью |
до погрешности |
|
|
вычислений соответствует формуле |
|
|
(6-485). |
|
|
|
согласно |
|
|
Действительно, |
|
|
(6-1®5) и |
(6-193) |
|
|
|
|
|
|
т |
+ |
3 Ѵ'б |
1= |
2,34. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С учетом полученных значений |
Рис. 6-4. |
Зависимость интен |
|
|
|
к~19 —ѴГ |
|
|
|
|
і 3 -7 -2 |
|
|
|
|
w(TB)=- |
2 |
■ е |
8 |
|
сивности |
потока экстремумов |
|
|
|
|
|
|
|
от параметра корреляционной |
|
= |
2,8ß37'fe |
2,38?Гв- |
(6-196) |
функции. |
|
|
|
|
Усредняя (6-.176), (6-177) и (6-183) по Т3 с учетом (6-196), по
лучаем, что при равном числе отсчетов на заданном промежутке времени выигрыш по максимальной диоперсии составляет при PP(tn) 2,68 раза, при ДР (tn) 18,7 раза, т. е. укладывается в ранее
полученные оценки.
6-5. ВЛИЯНИЕ ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫХ ПОГРЕШНОСТЕЙ НА ПОЛНУЮ ПРИ ИЗМЕРЕНИИ
ЭКСТРЕМУМОВ
При исследованиях спорадических алгоритмов, как правило, основное внимание уделяется анализу методических погрешностей восстановления исходного непрерывного процесса по замерам, про изводимым в случайные 'моменты времени. Однако априори ясно, что любое устройство, реализующее алгоритм, не может иметь идеальную передаточную функцию, и при этом неизбежно возникают инструментальные погрешности. Влияние инструментальных погреш ностей на полную погрешность спорадического измерительного уст ройства, насколько нам известно, не исследовалось другими автора ми, хотя это представляет большой практический интерес при сравне нии алгоритмов. В данном параграфе делается попытка частично восполнить этот пробел. Исследуется влияние инструментальных погрешностей применительно к одному из спорадических алгоритмов, анализ методических погрешностей которого выполнен в предыду щем параграфе. Хотя рассмотрение в данной статье проведено на примере одного алгоритма, методика, по мнению авторов, обладает достаточной общностью.
Применение спорадического алгоритма, исследованного в § 6-4, связано с дополнительным введением в схему устройства, структур ная схема которого приведена па рис. 6-2. Все указанные на рисунке элементы схемы неизбежно вносят свои специфические погрешности. Можно указать следующие виды инструментальных погрешностей
применительно к данной схеме: |
— |
1) |
погрешность, связанная с |
неточностью определения времени |
наступления экстремумов; |
|
19—301 |
|
289 |
2)погрешность от неточности отнесения измеренного экстремаль ного значения к соответствующему моменту времени;
3)погрешность, связанная с неточностью измерения исследуемой величины в моменты отсчетов.
Ниже проводится 'Исследование (первых двух из перечисленных инструментальных погрешностей.
Попрешиость, связанная с неточностью определения времени наступления экстремумов, обусловлена несовершенством дифферен
|
|
|
|
|
|
|
|
|
цирующего |
устройства и |
|
|
нудь-органа (см. рнс. 6-2). |
|
|
Каи |
правило, |
погрешность |
|
|
нуль-органа может быть сде |
|
|
лана весьма .малой, так что |
|
|
влиянием |
второго фактора |
|
|
можно пренебречь. |
|
|
|
!В § -2-3 проведен веро |
|
|
ятностный анализ іпогрешио. |
|
|
стен |
дифференцирующего |
|
|
устройства. Получены стати |
Рис. 6-5. К влиянию инструменталь |
стические |
характеристики |
ной |
погрешности дифференциатора |
погрешностей, |
вносимых |
на |
погрешность интерполяции. |
дифференциаторами |
как |
|
|
аналогового, так и дискрет |
|
|
ного |
действия. |
П,рн |
этом |
в качестве текущего значения погрешности дифференцирующего
устройства Уя.у У) |
брали разность между процессами на выходе иде |
ального звена |
*'(/) |
и на выходе реального звена и(і) : |
|
|
y * .y ( t) = x '( t) - u ( t) . |
(6-197) |
Вследствие |
наличия Уя.у(і) измеренные значения |
не совпадают |
с экстремумами, и при (восстановлении исходного непрерывного ста ционарного процесса x (f) возникает дополнительная погрешность уг (рис. 6-5). Действительно, вместо интерполирующей прямой zi( т)
будем иметь z2(т). При условии, что начальная точка отсчета вре мени /,= О, уравнение этой новой прямой имеет вид:
Za (t. Уи Уг) = X (Уі) + |
уг [X ( Т + |
(/•>) — X (</.)]. |
(6-198) |
где уі и |
уг — ошибки |
в определении времени наступления |
/-го и |
(і-Ы)-го |
экстремумов в данной реализации; |
Т — интервал времени |
между двумя последовательными отсчетами. Величина уг может
быть определена через разность между моментами времени, -в кото рые x '(t)= 0 и u (t)= 0. Значения tji и уг представляют собой кон кретные реализации случайной величины Y. Учитывая, что в даль
нейшем нас интересуют статистические характеристики, а также то
обстоятельство, что на практике уг— |
запишем разность между |
интерполирующими прямыми zj(t) и z2(r) в .виде |
|
Уг К у) = X (//■) — X» (0) + |
[X ( Т + у2) — |
х (//,)] — |
— |
[х в ( Т ) — |
х 9 (0)], |
(6-199) |
где ха— экстремальное значение X,
Для получений статистических характеристик этого вида ин струментальной погрешности необходимо провести усреднение по
всем возможным X и |
У. Как было отмечено выше, величина у опре |
деляется ходом x '(t) |
и u(t). Учитывая некоррелированность X '(t) |
и Х(1) в совпадающие моменты времени, а также малость вели
чины у, проведем усреднение сначала |
по х при фиксированных у |
и Т. Математическое ожидание Уг{х) |
равно нулю при Х =0. Дис |
персия имеет вид: |
|
(*. у ) = 2оэ {п — |
—f + i r ( | — т ) + |
|
|
|
(6 - 200) |
где рх(Т) — нормированная автокорреляционная |
функция процесса |
X (t). Перейдем далее к усреднению но |
К |
Для |
нахождения связи |
между величинами Уд.у и К обратимся к рис. 6-6, |
где представлены |
четыре возможные случая пересечения x '(t) |
и и(1) нулевого уровня. |
Принимая во внимание малость Уд.у и |
У, |
можно принять, что они |
Рис. |
6-6. Возможные варианты взаимного расположения |
х '(і) |
и сигнала u(t) на выходе дифференциатора. |
являются катетами прямоугольного треугольника. Тогда искомое вы ражение для у во всех четырех изображенных на рис. 6-6 случаях
может быть записано в виде частного
Уя.7 (О
У (6- 201) tga ’
где tg a — тангенс угла наклона x '(t) к оси времени, равный второй
производной процесса в соответствующий момент времени.
Таким образом, 'Можно записать:
Хотя автокоррелящюнная функция погрешности дифференциатора Уд.у(<) убывает сравнительно быстро, но в силу малости у величина
р„ (у) незначительно отличается от единицы.
''д.У
Для нахождения закона распределения У воспользуемся фор мулой (6-202) и зависимостью плотности вероятности частного от распределений делимого и делителя. В предположении о нормаль ности закона распределения Х (і) ошибка Уц.у(і) н вторая произ
водная процесса также распределены нормально, поскольку опера ции дифференцирования есть линейные преобразования, Искомая плотность вероятности имеет вид:
w(y) = |
. |
V ' |
- |
Ри |
|
|
ux" |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
" Д. У' |
|
|
|
2 |
|
|
|
= |
V ''-’V* °~х" - |
Ry„ X " ( у ) |
](6-203) |
|
"HL |
+ °-X" - 2 y RuBjX"(y)l |
|
Входящие в последнюю формулу величины могут быть раскры ты следующим образом. Прежде всего
СО
dx4 т=-0
При автокорреляционной функции процесса вида
Ях (т) = а2*ехр (—ат2)
искомая дисперсия второй производной процесса принимает вид:
„2і, = 1 20^
Для нахождения взаимной корреляции процессов Уд.у(0 и X "(t) отметим, что
% уА" (у) = Яихи (у) Яхіхі , (у).
Что касается взаимной корреляции процесса на выходе реаль ного дифференцирующего устройства U (t) и второй производной процесса X "(t), то она может быть найдена из следующих соотно
шений. Взаимный энергетический опект.р [Л. 1-2]
в цх„ (со) = со27 ^ р (/с о ) Gxx (со) = |
т у х У |
X |
,«о«7р:(соГр'+ 1) I |
|
Х |
<*гТІ+\ 1 |
’ |
|
