книги из ГПНТБ / Кавалеров, Г. И. Введение в информационную теорию измерений

Или При соблюдении условий, для которых справедлива формула (6-143),

Наибольший выигрыш достигается при Г-Н), что и сле­ довало ожидать.

Таким образом, измерение приращений не дает существенного выигрыша. Однако в ряде технических устройств оно требуется по самому принципу действия.

Примером устройств, в которых измерение прираще­ ний является необходимой частью, служат дискретные дифференциаторы. Еще в 1911 г. знаменитый русский математик А. А. Марков в классической работе «Исчис­ ление конечных разностей» показал, что производные любого порядка могут быть представлены как явные функции приращений. В инженерной практике при по­ строении дискретных дифференциаторов обычно пользу­ ются первыми конечными разностями, т. е. принимают в качестве приближения к величине первой производной значение

где г/вх—погрешность, с которой производится измерение в узловых точках. Напомним, что дискретному диффе­ ренциатору предшествуют различные звенья преобразо­ вания измерительного сигнала, поэтому сам дифферен­ циатор можно рассматривать как t-е звено измеритель­ ного тракта. Математическое ожидание методической

погрешности на выводе г/;+і = 0. Дисперсия этой погреш­ ности

а2 (t)= Г * ((+Т)—А ()+Упх(і+Т)—ую(Т) _ x,(t)

При аддитивном характере погрешности УВх и стацио­ нарности процессов X (/) и Увх('0 имеем:

Запишем основные соотношения для вторых момен­ тов при дифференцировании случайного процесса

°х, = с2.ѵ[—р"ѵ(0)];

Rxx'{0 )= ^ ,',(0 )= 0 ;

Rx’x (т) — —Rxx, (т) — —R'x (т).

С учетом этих соотношений имеем:

с помощью линейного оператора, на выходе нашего зве­ на также имеем нормальный закон. Поэтому получен­

Таким образом, погрешность дискретного дифферен­ циатора тем больше, чем больше дисперсия процесса о2*. Она увеличивается с ростом погрешности измерения

274

в узловых точках, т. е. с ростом о2"их. При T-+-Q, т. е. при переходе к непрерывному дифференциатору, как и сле­

довало ожидать, а2 стремится к нулю. При очень ^вых

больших Т дисперсия ошибки практически равна дис­ персии первой 'производной процесса, т. е. самой желае­

на 0—0,1 с. Вычисления по формуле (6-161) при этих значениях Т громоздки и тре­

буют исключительной аккуратности. Для облегчения расчетов при аГ2<СІ целесообразно представить форму­ лу для. дисперсии в виде

3L ~ - г г & а Г + аЭ + К а - 4v* t1 - аТ2)’ <6-162)

т. е. путем замены экспоненциальной функции на первые два члена степенного ряда свести зависимости от време­ ни к параболической форме при выбранном виде корре­ ляционной функции.

6-4. ИЗМЕРЕНИЕ ЭКСТРЕМУМОВ РЕАЛИЗАЦИИ

Ранее в § '5-3 нами рассматривался один из воз­ можных методов спорадической дискретизации. При этом доказывалось, что спорадические алгоритмы в не­ котором смысле осуществляют статистическое согласова­ ние прибора с измеряемым параметром путем автоматиче-

ского выбора времени снятия отсчетов в зависимости от хода данной реализации случайного процесса. Рас­ смотрим теперь еще один алгоритм такого вида и пока­

при этом сравним среднеквадратические значения погрешностей интерполяции при спорадической и цикли­ ческой дискретизации.

Структурная схема устройства управления, опреде­ ляющего .моменты измерения, приведена на рис. 6-2. Измеряемый процесс x(t) поступает на дифференцирую­ щее устройство ДУ. Полученная при этом первая произ-

276

водная x'(t) подается на .нуль-орган НО. В момент пере­ сечения первой производной нулевого уровня, т. е. дости­ жения процессом x(t) экстремального значения, на вы­ ходе НО возникает сигнал, открывающий линейный ключ ЛК, через который x(t) подается непосредственно на измерительное устройство.

Пусть процесс Х ( і ) — непрерывный, дважды диффе­ ренцируемый (по вероятности), нормальный стационар­ ный случайный процесс с нулевым математическим ожиданием и дисперсией <у2х. В момент времени про­ цесс достигает минимума, а в момент ^■+7’э— максиму­ ма (рис. 6-3). В общем случае Гэ— случайная величина, закон распределения которой определяется спектральны­

Погрешности измерения в узловых точках «а первом этапе рассмотрения считаются пренебрежимо малыми. Одновременно исключаются из анализа погрешности, вносимые предыдущими звеньями преобразования сигна­ ла. В дальнейшем, для упрощения записи формул, учи­ тывая стационарность процесса, перенесем начало отсче­ та в точку ti. Тогда (6-163) можно записать в виде

z{t) = x (0) + *В[х (Т3) — х (0)].

Для нахождения среднего и максимального значений дисперсии погрешности интерполяции определим прежде всего статистические характеристики экстремальных значений процесса.

Плотность вероятности максимумов wM(x) имеет вид (Л. 1-3]:

где Фз — интеграл вероятности, определяемый по прило­ жению 1; k —коэффициент, определяемый как отмще­ ние среднего числа максимумов в единицу времени

277

Цмакс к среднему числу пересечений процессом нулевого уровня в единицу времени с заданным знаком производ­ ной М(0)

В [Л. 1-3] было также показано, что

ном представлении величина Дг является радиусом инер­ ции плоской кривой, описывающей энергетический спектр); ,рз:(ІѴ)(0)— четвертая производная автокорреля­ ционной функции процесса в точке нуль.

Зная плотность вероятности распределения максиму­ мов, можно найти первый и второй моменты. Матема­ тическое ожидание максимумов при произвольном зако­

(і — І Ч- О (3Ч- к-)1

+Б /! 2і /=!

Для нормального закона распределения X выраже­ ние существенно упрощается

?75

Дисперсия максимумов в случае нормального закона распределения равна:

Из 'приведенных формул видно, что математическое ожидание .максимумов больше математического ожида­ ния процесса, а дисперсия меньше сгД. Также можно получить статистические характеристики минимумов.

Вернемся к рис. 6-3, из которого видно, что интерпо­ лирующая прямая z(t) обязательно пересекает реализа­ цию процесса x(t) хотя бы одни раз на отрезке интер­ поляции, и число пересечений x(t) с z(t) заведомо нечет­ но. Вероятность трех и более пересечений заведомо меньше вероятности одного пересечения. В дальнейшем будем считать, что на интервале интерполяции имеет

По аналогии с формулами из [Л. 2-4] дисперсия по­ грешности интерполяции на участке (0, tn) имеет вид:

-тг)Ч+-И-£

+ 2(‘ - і ах 7--ажРл(^и) -- ахР*w ] =

(6-170)

На участке (/п, Гэ—tn) выражение для дисперсии погрешности интерполяции .аналогично (6-170), но вместо tn подставляется Гэ—ta.

279

Для дальнейших выкладок необходимо задаться конкретным видом автокорреляционной функции процес­ са. Примем

Такой вид автокорреляционной функции характерен для широкого класса процессов. Следует отметить, что процесс с автокорреляционной функцией такого вида является сингулярным. Однако наличие сингулярности не препятствует использованию принятой модели для анализа поставленной задачи. Кроме того, большинство несингулярных моделей не позволяет решать задачи, связанные с определением статистических характеристик выбросов случайного процесса за горизонтальный уро­ вень.

Найдем среднее значение дисперсии ошибки интерпо­ ляции. Для этого сначала произведем усреднение по т на интервале (0, tn) :

(6-172)

Величину а2 (tn,T3) в формуле (6-172) необходимо ус-

Ув

реднить по всем возможным tn. Для этого необходимо знать плотность вероятности величины tn. Закон рас­ пределения w(tn) неизвестен. Однако для стационарного процесса можно предполагать наличие симметрии отно­ сительно середины интервала Тэ, т. е. w(tn)= w (T g —tu). В качестве крайних случаев рассмотрим равномерное распределение іп на интервале (0, Та) и дельта-распре­ деление в середине этого интервала.

280

В начале параграфа указывалось, что в качестве критериев оценки мы будем рассматривать не только среднее, но и максимальное значение дисперсии погреш­ ности интерполяции. Известно, что при обычной линей­ ной интерполяции дисперсия максимальна в середине интервала. В пашем случае интервал интерполяции раз­ бивается по крайней мере на два участка (О, ^п) и (£ц, Та). На каждом из них дисперсия погрешности интерпо­ ляции имеет максимумы, равные:

— 2рх (0,57э,— ОДfД при < ц < Га — ta.

при равномерном распределении и автокорреляционной функции вида (6-171), имеем:

В качестве промежуточного между равномерным и дельта-распределением можно рассмотреть треугольный

232