книги из ГПНТБ / Эккер, Г. Теория полностью ионизированной плазмы
.pdfЧасть II
Полностью ионизованная система
при наличии произвольного
электромагнитного поля
До сих пор рассмотрение ограничивалось куло новской системой, взаимодействующей лишь с квазистатическими полями. В последующем изложении учитывается произвольное электромагнитное поле.
Глава 5
Излучение отдельной частицы
§ 1. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
Соотношения, содержащиеся в первом параграфе дан ной главы, можно найти в большинстве учебников по электродинамике. Мы приводим их здесь в сконцентриро ванном виде в сущности лишь для удобства ссылок.
1.1. Основные уравнения электродинамики
Электромагнитное поле является векторным. Фунда ментальные эксперименты, выполненные Кулоном, БиоСаваром и Фарадеем, показали, что электромагнитные явления в вакууме могут быть описаны с помощью век торов напряженности электрического поля Е и магнит ной индукции В, которые удовлетворяют следующей си стеме уравнений:
a) |
V-E = е^рэфф, |
б) V.B = 0, |
|
в) |
V х Е = |
5В |
( 1. 1) |
----г) |
V х В = ц0Ьфф. |
||
Здесь рЭфф обозначает плотность заряда, а ]Эфф — плот ность тока, которые связаны между собой уравнением
( 1.2)
Разумеется, величины е0 и р0 зависят от выбора системы единиц. Рассматривая кулоновскую систему в гл. 1—4, мы без какой-либо потери общности достигли значитель ного упрощения формул, использовав систему единиц СГСЭ, в которой полагается 4яе0 = 1.
!£) В случае произвольной полностью ионизованной системы константы кр и ц0 играют важную роль, и, чтобы
§ 1. Общие уравнения электромагнитного поля |
297 |
довательно, в присутствии сред эти соотношения остаются неизменными.
Анализируя уравнение (1.1г), заметим, что полная эффективная плотность тока в материальной среде состоит из плотности внешних токов ь нешн> плотности тока dYIdt, обусловленной поляризацией среды, и плотности тока jm = [V х М], связанной с намагничением среды. Таким образом, уравнение (1.4) преобразуется к виду
V x B = p 0 (звнешП+ ^ - + ^ Х М + е 0^ - ) . (1.9)
Введем величину магнитной восприимчивости %т с по мощью соотношений
М = %тЯ |
(1.10) |
Q
В = Ро (Н + М) = По (1 -f Хт) Н = РоЦЯ.
(1. 11)
Используя (1.7), из уравнения (1.9) найдем
V X H = jBHeniH+ ^ - . |
(1.12) |
Итак, приведем систему уравнений Максвелла, опи сывающую электромагнитное поле при наличии мате риальной среды:
a) |
V-D = р, |
|
б) V.B = 0, |
|
в) |
V х Е = |
<9В |
г) v х Н = j 4 |
3D |
at ’ |
at |
|||
Д) j = оЕ, |
|
е) D = е0еЕ, |
(1.13) |
|
|
|
|||
ж) В=роМ-Н.
К этим уравнениям добавлено соотношение, связы вающее плотность тока и электрическое поле через прово димость а. Здесь мы опустили индекс «внешн», но всюду подразумевается, что величины р и j представляют собой плотности внешнего пространственного заряда и внешних токов.
Величины е, р и о зависят от свойств материальной среды. Кроме того, они могут зависеть от времени и ве личины поля. В случае, когда параметры среды в, р
298 Гл. 5. Излучение отдельной частицы
и о зависят от длительности или соответственно от часто ты процесса, но не зависят от величины поля, система уравнений (1.13) еще сохраняет свой вид для отдельной спектральной компоненты поля при преобразовании Фурье по времени. В этом случае оператор dldt следует заменить на гео, используя в качестве величин е, р, и а их значения еш, рши для данной частоты х), согласно формулам
(D т |
+со |
Гбоесо! |
|Е (т )'| |
1В (*) Г = ЪГ j |
j ei<0(i~T) |
< Ц0ри > |
< Н (т) > da>d%. (1.14) |
l j (t) J |
■ |
l сгш J |
I E (t ) J |
Поскольку мы не учитываем конвекционных токов, исполь зуемые нами уравнения являются точными только для покоящихся материальных сред.
1.2. Электродинамические потенциалы
Из уравнения (1.136) следует, что магнитная индук ция В может быть выражена через векторный потенциал А:
В = V х А. |
(1.15) |
Из (1.13в) вытекает, что электрическое поле Е можно представить в виде
Е = — ^ — V0 . |
(1.16) |
Тогда остающиеся уравнения Максвелла приводят к урав нениям
Дф + ^ . А - - - ^ |
<1Л7> |
И |
|
ДА — e0epoM'-^L- - v (* W H o -|r+ V ‘A ) = — МИ- |
(1-18) |
Скалярный потенциал Ф определен с точностью до произ вольной аддитивной постоянной, а векторный потенциал А — с точностью до произвольной величины V . А.
7) Из определения очевидно, что обратное преобразование Фурье от еш, рш и стшне должно приводить к зависящим от времени функциям е (г), р (t) и ст (<), как это могло бы показаться из формаль
ных соотношений (1.7), (1.11) и (1.13д).
§ 1. Общие уравнения электромагнитного поля |
299 |
Эта свобода выбора выражения для векторного потен циала А позволяет нам перейти от данной системы функ ций А, Ф к другой системе А', Ф'. К вектору А можно произвольно добавить градиент любой функции, не изме няя величины В:
А' = А - Тф . |
(1.19) |
Согласно соотношению (1.16), величина Е останется неиз менной, если мы используем замену
ф ' = ф + - ^ . |
(1.20) |
Соотношения (1.19) и (1.20) представляют собой так назы ваемые калибровочные преобразования. Их основной смысл состоит в гарантии того, что используемые физические соотношения приводят только к таким результатам, кото рые могут выражаться непосредственно через поля взаи модействующих частиц и токов. В частности, если в каче стве калибровки выбрать V . А = 0, то возникающее в этом случае преимущество заключается в том, что уравнение (1.17) примет простой вид уравнения Пуассона. С другой стороны, при этом весьма усложнится уравнение (1.18). Выбор указанного условия для векторного потенциала получил название кулоновской калибровки. Обычно гораздо чаще используется так называемая лоренцевская калиб ровка
V . A + е0ер0р ,-^ - = — |
(1-21) |
обладающая тем преимуществом, что ее использование приводит к симметризации обоих уравнений, определяю щих потенциалы. Используя условие (1.21), получим следующие уравнения:
ДА — е0ер0р |
— Цо!^ -§Г = |
~ ^ |
У “ |
аЕ) = — ИоИ1эл |
||
|
|
|
|
|
( 1. 22) |
|
и |
д2Ф |
„ |
дф |
|
|
|
|
Р |
(1.23) |
||||
ДФ—еоероЦ-^-----^ |
а -аГ |
е0е |
||||
|
||||||
§ 1. Общие уравнения электромагнитного поля |
301 |
Применение этого преобразования к уравнению (1.29) дает
/.-,2 ' |
*** |
(1-31) |
ДМ(х, со) + -^- М (х, ш)= — а(х, со). |
||
Частное решение неоднородного уравнения (1.31) с по мощью функции Грина, удовлетворяющей уравнению
AG(x, х', co) + ^ G ( x , х', со) = —б(х —х'), (1.32)
можно представить в виде следующего интеграла:
М (х, со) = j G(x, х', со)а(х', со)dx'. (1.33)
Функция Грина, удовлетворяющая уравнению (1.32) и условию обращения в нуль на бесконечности, опреде
ляется |
выражением |
|
|
|
|
|
|
|
|
G(x, х', ®)= 4^ г е ± ^ /с, |
|
г = | г | = |х —х'|. |
(1.34) |
||||
Таким образом, искомое частное |
решение уравнения |
|||||||
(1.31) |
есть |
|
|
|
|
|
|
|
|
М (х, (о) = J L |
j -а-^-х7’- ы) |
e±ifflr/c dx' . |
(1.35) |
||||
Обратное преобразование Фурье |
дает |
|
||||||
М (X, t) = ----- 1- |
ТГ- |
( |
( ±<Zl |
!± |
eia(t±r/c) dx' d(0 |
(1.36) |
||
|
4 я (2 я ) |
/2 |
J |
J |
r |
|
|
|
или соответственно
a (x', t ± r/c)
(1.37)
r
Таким образом, для произвольно заданных плотностей внешних токов и пространственного заряда искомые потенциалы определяются формулами
ф (х ’ *> = i s i r J |
[р (х', *)] |
dx' , |
(1.38) |
г |
|
|
|
А (х > *) = i H |
U ^гlM d x ' |
(1.39) |
|
302 |
Гл. 5. Излучение отдельной частицы |
|
Здесь |
квадратные скобки означают, что |
заключенные |
в них |
выражения следует брать в момент |
времени (t ± |
± г/с).
Формулы (1.38) и (1.39) напоминают формулы для реше ний в статическом случае с той лишь разницей, что в вы ражениях для плотностей токов и пространственного заря да следует заменить время на величину t + r/с. Это озна чает, что при вычислении потенциалов нужно просумми ровать вклады от зарядов и токов в различные моменты будущего и прошедшего времени.
В то время как суммирование по «запаздывающим вкладам» в момент времени t — r/с представляется вполне разумным результатом, учитывающим, что для достиже ния точки наблюдения сигналу требуется конечное время r/с, по-видимому, совершенно бессмысленно учитывать вклады в поле от будущих положений заряда. Эти реше ния, содержащие величину t r/с и известные под назва нием «опережающих потенциалов», противоречат элемен тарному принципу причинности, устанавливающему, что никакой эффект не может предшествовать во времени его причине. По этим соображениям решениями данного типа обычно пренебрегают, хотя с математической точки зрения они вполне оправданы и представляют интерес при изучении проблемы перенормировки. Однако необ ходимо отчетливо сознавать, что, исключая упомянутые опережающие воздействия, мы по существу выходим за рамки содержания исходных дифференциальных уравне ний.
Потенциал Герца
Уравнения Максвелла включают в себя условие сохранения заряда
(1.40)
Уравнение (1.40) всегда выполняется, если для плотно стей зарядов и токов использовать выражения
(1.41)
§ 1. Общие уравнения электромагнитного поля |
303 |
Аналогичным образом можно связать потенциалы Ф и А с некоторым векторным полем Z (потенциалом Герца):
® = - V . Z , А = |
(1.42) |
Это приведет к тому, что будет тождественно удовлетво ряться условие лоренцевской калибровки для вакуума.
Из уравнений (1.41), (1.42) и (1.29) получим уравне ние, связывающее величины Z и X:
□ Z(x, * ) = - - i - X . |
(1.43) |
Решение этого уравнения есть
Фурье-компонента от функции Z (х, t) равна
z<*(x) = ^ l bLr l e ~iar/cdx'- |
Ч-45) |
Очевидно, что электромагнитные поля посредством соот ношений
E = V X | V X Z ! - ± . X , I ) = i [ v x f ] (1.46)
могут быть выражены через потенциал Герца Z.
1.3. Случай произвольного электромагнитного поля
Из соотношения (1.15) следует, что фурье-компонента вектора магнитной индукции В выражается через век торный потенциал (1.39) следующим образом:
~ |
и „ |
С~ |
-гшг/с |
(1.47) |
Ba = - £ - V x |
j j№(x ')± — <b'. |
|||
После элементарных вычислений и обратного преобра зования Фурье получим
Ш X Г |
1 [dj/dt] х г j dx . |
(1.48) |