книги из ГПНТБ / Савенко, В. Г. Измерительная техника учеб. пособие

ное значение измеряемой величины, которое можно полу­ чить на основании большого ряда измерений, есть среднее арифметическое из полученных значений. Зная его, можно

где рі — отклонение результата измерения от среднего зна­ чения.

В отличие от случайной погрешности это отклонение может быть вычислено для каждого измерения. Следует

Эти свойства используются при обработке результатов измерений для контроля вычислений.

Сравнивая выражения (2.9) и (2.3), видим, что погреш­ ности рі отличаются от случайных погрешностей А,- так, как отличается среднее арифметическое значение ряда из­

мерений А от истинного А (значения их близки друг другу, по, как правило, не равны). Степень приближения рі к А, будет тем больше, чем больше п, при п -> оо можно счи­ тать, что рі = Ді. Это позволяет все теоретические выводы, относящиеся к случайным погрешностям А,-, распростра­ нить и на отклонение результата измерений от среднего значения рг-. Величину абсолютной ошибки К, которая по­ является при замене истинного значения А средним ариф­

метическим значением А, можно оценить по их разности.

70

пустить погрешность к, которая меньше, чем значения Аі отдельных измерений из ряда.

Средняя квадратическая погрешность

Величину случайной погрешности чаще оценивают с по­ мощью средней квадратичной погрешности о. Определить ее по результатам измерений согласно теории вероятностей можно по приближенной формуле, вытекающей из (2.5) и приводимой без доказательства:

некоторой случайной погрешностью и имеет определенную вероятность в отношении большего или меньшего ее значе­ ния, теория случайных погрешностей вводит также понятие о с р е д н е м к в а д р а т и ч н о м о т к л о н е н и и с р е д ­ н е г о а р и ф м е т и ч е с к о г о (средняя квадратичная по­ грешность результата измерений). Возведя в квадрат правую и левую части равенства (2.10) и проделав даль­ нейшие преобразования, получим

где S j — приближенное значение квадратичной погрешно­ сти оj от ряда из п измерений.

71

пием числа измерений точность результатов возрастает, но это происходит медленнее, чем увеличение числа измере­ ний. При обработке результатов йзмерений иногда опреде­ ляют среднее относительное квадратичное отклонение

М а к с и м а л ь н а я п о г р е ш н о с т ь

При оценке результатов измерений иногда пользуются

ной теории измерений проф. П. В. Новицкий рекомендует пользоваться величиной А= 2о [12].

Д о в е р и т е л ь н ы е в е р о я т н о с т и и и н т е р в а л

При оценке погрешностей результатов измерения тре­ буется определить точность и надежность полученных ре­ зультатов для среднего значения и среднего квадратичного отклонения. Пусть а означает вероятность того, что резуль­ тат измерений отличается от истинного значения на вели­ чину, не большую чем А. Это можно записать в виде

Из выражения (2.14) следует, что результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала с веро­ ятностью, равной а, т. е. чем больше доверительный интер­

72

ристики величины случайной погрешности необходимо за­ давать два значения — величину погрешности (довери­ тельный интервал) и величину доверительной вероятности, так как указание только величины погрешности делает за­ дачу неопределенной. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного резуль­ тата.

На практике степень надежности проводимых измере­ ний зависит от их характера. При большинстве обычных измерений можно ограничиться доверительной вероятно­ стью 0,9 или 0,95, если не требуется более высокая степень надежности. Вероятность определяется законом распреде­ ления погрешностей. Для нормального закона распределе­ ния значение доверительной вероятности можно опреде­ лять по (2.7), или по таблицам приложения 3. Так, напри­ мер, средней квадратичной ошибке о соответствует значение доверительной вероятности 0,683; ошибке 2 а —

0,954; ошибке За — 0,997.

Ошибки конечного рода измерений

До настоящего времени искомая величина А определя­ лась большим числом измерений (п ^ -1 7 ), и при этом

считалось, что она лежит в некотором интервале Л±А,. При технических измерениях неизвестная величина находится при малом числе измерений ( п ^ 2), поэтому следует вво­ дить коэффициент ta на количество измерений

А — А = ± ta l или А — А ± ta К.

Закон изменения коэффициента ta определяется рас­

пределением Стьюдента (псевдоним английского статисти­ ка Госсета). Р а с п р е д е л е н и е м С т ь ю д е н т а при любом п > 2 называется распределение с плотностью ве­ роятности 5 (t, п ) :

73

Для любого заданного значения ta доверительную ве­

или по таблицам приложения 4.

Значения К определяются из выражения .

/і—п

t„ а

1 = “

Точность, величина надежности и число измерений свя­ заны между собой. Зависимость относительной ошибки от числа измерений при заданной надежности показана в табл. 2.2.

Таблица 2.2

при п->-оо распределение Стьюдента приближается к нор­ мальному.

§ 2.4. ВЫЯВЛЕНИЕ И ИСКЛЮЧЕНИЕ ПРОМАХОВ ИЗ СЕРИИ ИЗМЕРЕНИЙ

При проведении ряда одинаковых измерений всегда будет некоторый статистический разброс его результатов. При этом могут встретиться измерения с большими слу­ чайными ошибками, которые являются естественным ста­ тистическим отклонением. Их незаконное отбрасывание (считая их промахами) может необоснованно завысить

74

ошибками могут оказаться промахами. Их наличие в серии из небольшого числа измерений может исказить как сред­ нее значение измеряемой величины, так и границы довери­ тельного интервала. Поэтому в процессе обработки резуль­ татов наблюдения промахи надо выявить и исключить из дальнейшего анализа.

Наиболее простой способ исключения грубых ошибок основан на том, что вероятность появления значения, укло­ няющегося от среднего арифметического более чем на За, равна 0,003 и поэтому результаты, вероятность получения которых меньше 0,003, можно считать промахом:

Р (|бг|> За) = 0,003,

где б , - р , = (а,-— И)— приближенное значение ошибки каждого измерения;

о — средняя квадратичная погрешность.

При этом считают маловероятным, чтобы модуль ошиб­ ки превысил За. Если же найдется какое-нибудь р;, модуль которого превышает За, то такое измерение считается со­ держащим промах и отбрасывается. В некоторые виды задач вводят условие исключения измерения, у которого |рі| > 2 а . _После отбрасывания промаха приближенные

значения А и о вычисляются заново [8].

В рассмотренном способе вероятность появления откло­ нений от среднего значения при заданной надежности а при одном измерении равна ßi = l —а. Вероятность ß воз­ растает при увеличении числа измерений п\ ß (l—a n)= ttß i. Это значит, что, например, при а = 0,997 вероятность того, что из десяти измерений хотя бы одно будет случайно от­ личаться от среднего более чем на За, будет уже не 0,003, a 0,03. Кроме того, при проведении измерений точное зна­ чение а неизвестно, и ее значение приближенно заменяется

при различных п и надежности а = 1 —ß. Для применения

этой таблицы надо вычислить среднее арифметическое А и среднюю квадратичную погрешность 5 П из всех измере­

75

ний. Если найти Uh— относительное отклонение от сред­ него арифметического измерения йй, которое может ока­ заться промахом, в долях S n:

рассматривать как промах; при U h < U m&% значение йл является следствием статистического разброса. При ма­ лом числе измерений в (2.15) вводится поправочный мно­

житель ~ ^ / -— - K S n [11].

§2.5. ПРАВИЛА СУММИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ

ИСИСТЕМАТИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ

Погрешность сложных измерительных приборов зави­ сит от погрешностей отдельных его частей, которые сумми­ руются по определенным правилам.

Пусть, например, измерительный прибор состоит из т блоков, каждый из которых обладает независимыми друг от друга случайными погрешностями. При этом известны абсолютные значения средних квадратичных о& или мак­ симальных Ми погрешностей каждого блока.

максимальное значение всех возможных погрешностей прибора, которое имеет ничтожно малую вероятность и поэтому редко используется для оценки точности работы прибора в целом. Согласно теории ошибок результирую­ щая погрешность оре3 и Мрез определяется сложением по квадратичному закону:

Аналогично определяется и результирующая относи тельная погрешность измерения

(2.16)

76

Уравнение (2.16) можно применять для определения допустимых погрешностей отдельных блоков разрабаты­ ваемых новых приборов с заданной общей погрешностью измерения. При конструировании прибора обычно задают­ ся равными погрешностями для отдельных входящих в не­ го блоков. Если в измерительной сх^ме существует не­ сколько источников погрешностей, которые на конечный результат измерения влияют полностью или частично (или прибор состоит из нескольких блоков), в (2.16) следует ввести поправочные коэффициенты ЛѴ

влияния случайной погрешности данного измерительного прибора или его блоков на результат измерения.

При наличии у измерительного прибора (или его бло­ ков) также и систематических погрешностей общая по­ грешность определяется их суммой

б г = £ б , . , + 1 ^ 1 8 ?,

где 6 . ) — систематическая погрешность от воздействия

на і-й блок р-го фактора; бг- — случайные погрешности для і-го блока.

Суммирование зависимых друг от друга составляющих погрешностей, т. е. погрешностей, имеющих взаимную кор­ реляционную связь, основано на следующем положении теории вероятностей: дисперсия суммы двух корреляцион­ ных случайных величин характеризующихся дисперсиями oj и о\ и коэффициентами корреляции г п, определяется

выражением

<4 = а? + 2П2а1о2 + 4

Из этого следует, что средняя квадратичная результи­ рующая погрешность вычисляется по формуле

На практике обычно пользуются двумя крайними слу­ чаями (2.18): при сильной взаимосвязи случайных величин,

77

когда Гі2 « ± 1 , составляющие погрешности суммируются алгебраически:

. при слабой связи, когда Гі2« 0 погрешности независимы и суммируются геометрически

Такой же подход справедлив и для большего числа со­ ставляющих коррелированных погрешностей.

При оценке влияния частных погрешностей следует учи­ тывать, что точность измерений в основном зависит от по­ грешностей, больших по абсолютной величине,' а некоторые наименьшие погрешности можно вообще не учитывать. Частная погрешность устанавливается на основании так

всех т частных погрешностей, среди которых некоторая погрешность' бгимеет малое значение. Если суммарная по­

погрешности: б ;-<0,3 брелЭто означает, что если частная погрешность меньше 30% общей погрешности, то этой част­ ной погрешностью можно пренебречь. В случае нескольких погрешностей критерий ничтожности их совокупности име­ ет вид:

В практике технических расчетов часто пользуются ме­ нее строгим критерием — в эти формулы вводят коэффи­ циент 0,4.

§ 2.6. ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ

При косвенных измерениях искомая величина А функ­ ционально связана с одной или несколькими непосредст­ венно измеряемыми величинами х, у, .... /. Рассмотрим про­

78

стейший случай определения ошибки одной переменной, когда A = F ( x ) . Обозначим абсолютную ошибку измерения величины X через ±А х, получим

А + &А = F (х ± Ах).

Разложив правую часть этого равенства в ряд Тейлора и пренебрегая членами разложения, содержащими Ах

в степени выше первой, получим Л-{-Дѵ4: 'F(x): dF (X) Ax dx

dF (je)

или A/4ä;± A x

dx

Относительная ошибка измерения функции определит­ ся из выражения

Формулы для вычислений абсолютных и относительных погрешностей измерения некоторых, наиболее часто встре­ чающихся в измерительной технике, функций приведены в табл. 2.3.

79