книги из ГПНТБ / Ониани, Ш. И. Тепловой режим глубоких шахт при гидравлической закладке выработанного пространства и сложном рельефе поверхности

д2

d

pt3

(x, p)-f(0)

= a3

{L[t3(x, t)]} =

a3

J3(x,

p).

(5.16)

Изображение

функции

t(x, p) не зависит от времени т, по­

этому

частная

производная

от оригинала функции t3(x, х) заме­

няется

обыкновенными производными для изображения

13(х, р).

В результате

дифференциальное уравнение

в частных

производ­

для

изображения.

С учетом

условия

(5.3)

можно

написать

ф ,

р )

- ~

1а(х,р)

+

~

= °-

(5Л7)

и3

и3

Теперь применим

преобразование Лапласа к переменной

х

[37,91]:

р)]-

~г

ЬЛШ

Р)\ + L x

t3

,

0,

(5.18)

а з

' о

С1-,

Ьх[ф,

р)] = рзф3(Р,

р)-Р<р(0)-

ф'(0),

(5Л9)

где

ср(0) —значение

искомой потенциальной функции на нейтраль­

ной плоскости в данный момент времени.

Согласно

условию

(5.6),

ср'(О) =

0 и <р(0) = const =

tx (где

^—некоторая

постоянная,

равная

температуре

закладки

иа ней­

тральной плоскости), поэтому уравнение (5.18)

можно переписать

в

виде

Р'Ф3(Р,

p)-Ptx-

" ^ Ф з ( Л

Р)+

~р

=

0

(5.20)

или

ФДР, Р) = —

V " ^

I

Р N '

С 5 ' 2 2 *

Р 2 _

—

Р

\

Р 2

-

—

а3

а3

I

-

^ch у

±-

Xm

(5.23)

Для нахождения обратного изображения по Р

второго

чле­

на

того же выражения

воспользуемся

теоремой разложения,

сог­

ласно

которой

tlla3

А

В

С

'

(

- - i f

т

( 5 ' 2 4 '

та,к как корни

характеристического

уравнении

г—

р

Определение значений постоянных коэффициентов при­

водит к следующим выражениям:

/3

^3

^3

А =

р

, В = 7^ ,

С = — •

2р

2р

Подставляя

разложение (5.24) с полученными

значениями

коэффициентов

А,

В,

С в выражение (5. 22),

получаем

Ф - ' Р ' ^ ^ _ ( ]

/ Т Г + ^ +

Н

7 = ^

(5.25)

+

(

x

-

£

M

-

i

/

-

f

Если обозначим tx—

~

= Av то уравнение

(5.26)

при­

мет вид

73

(х, Р)=

~

+ A,ch y^-Z-

х .

(5.27)

r;(x,p)-~-

ty(X>P)+

- ^ - - ^ ^ - ' i ) - ^ - ( x - / 1 ) = o .

Р

ff/fly

oJar

eai'i

Фу(Р,р)=к

j

- -

—f

p \ H

7

p r +

+

7

T V

~

(

'

( 5 , 3 0 )

p2 p2 - —ay /

p \ p2

ay

Ф(Р)

/л=1

а для кратных корней —

+

г - н

/дм

1

Чт \

d*"1 ГФ(Р)(Р -Рл)*

Р*

L

H « P ( ^ ) ] -

ТТЛ)!

Р - 0

( ^

[

ф ( Р Т ~

е

2

га

Ф[Р(т-М

]

(5.32)

где

Ф (Р) —полином

некоторой степени в числителе изображе­

ния;

ф(Р) —полином

степени

т в знаменателе

изображения;

Р х ,

Р2...,Рт

—корни уравнения

ф(Р) = 0;

k—показатель

кратности

корней.

Для

третьего

члена

ф ( Р

) =

A

e V

i ,

ф (Р) = (Р+а,)

(рз -

,

а корни

уравнения

ф (Р) = 0 имеют

следующие

значения:

Рх =

=

— ах ,

Р 2 =

и Р 3

— — j

/

^

" ,

поэтому обратное из

{P +

aJ\P*-f-

5i

uv

ec i'i

av

exp

+

]

/ fly,

Oy

(5.33)

Г У

/

Р

Для

четвертого члена

Ф(Р) =

, ф(Р) = Р 2 Р 2

—

—

cty

у

dy

корнями

уравнения

ф (Р) = 0 являются

Р 1 1 2 = О, Р 3

=

"I /

и Р 4 =

— 1r / ау

, т = 4,

& = 2. Подставляя эти значения в

чаем обратное изображение

по оператору Р для этого члена ура­

внения (5.30):

Ty/fZy

ръ | Р 2 — ^

Р

2 р / ^

^

ау

2Р Л/

7 e x p { - l / v 4

( 5 -3 4 )

а

? . .

.

( / " ~ 7 Г

l

*

i

(

_ Г ~

) , «

у '(х, „) =

ехр { - j / J L .

*} -

^

е х р

{ - | /

J L * } + А -

- ^ - { / t ^ } + - 2 7 - ! - > /

i ^ } +

— e-f f i<"-')

г — e a i h .

z—e°ili

+ ^

L

,

+

= x

Gf—

+ 0\ I /

— СГ, 1 /

—

ay

я у

1 у

ay

ay

x у

ay

-

Гу

f , f~P~

1 , ^Гу /Х

Г у / ,

4

- j ? L ( J C - / i ) + - f - '

( 5 - 3 5 )

где

^

_

I 2ay

1

Г у

Г у / Х

1

= 2

^ " l " j L _ „ i

l / x - ^ r 7 i - i r -

ay

V

fly

к

a y

(5.36)

ay

1 К

ay

r |/

ay

У

у

2 Г %

I К ау

J aycr; — р

р

(5.39)

рения исключается.

Учитывая

сказанное,

изображение

(5.35)

можно перепи­

сать

следующим

образом:

ty{x,

р) = Вх

ехр ( -

у

+

V

Г

Р

Р

(x—li)-

к

p-OyOi

•

e-ai(x-'i>

(5.40)

Постоянные Ах

и Вх

уравнений (5.27) и (5.40)

определяются с

помощью граничных условий (5.4) и (5.5), которые для

изображе­

ния по переменной х принимают вид

д

1

д

Г„

(5.41)

дх

t,0vp)=

Ty(lvp). -

(5.42)

Подставляя в выражения (5.41) и (5.42)

соответствую­

щие

значения

из

уравнений (5.27)

и

(5.40)

и

производя

ний для определения

коэффициентов

Ах и

Вх:

ty

о .

(5.43)

Р

- Оу<Ч

— ехр

1

ехр

+

1

"у

5 Л

+ Г„

(5.44)

Из

выражения

(5.43) следует,

что

5 +

'

2

(5.45)

+ ^

ау

а3

+ ехр

[ -

у JL-

k

(5.46)

или

^е х р (

/

'

0 ~ / C i e x p

П

5.

(5.47).

где /Сх =

1 — —критерий,

характеризующий

теплоЕую ак-

тивность закладки по отношению к

уголь­

ному

массиву;

Ка!

=••

критерий,

характеризующий

теплоинерци-

Оу

онные

свойства

закладки

относительно'

угольного

массива.

После

некоторых

преобразований

из последнего уравне­

ния определяется

коэффициент

4 L -

Si

x

X

'

( 5 ' 4 8 )

Подставляя полученное значение

коэффициента Ах в выра­

жение (5.45), после требуемых

преобразований имеем

Р

. /У

8

р - ау а; / ' 1 + Кг

x

(5.50)

Цх, р) = ~

'ty— f

5г

X

+

Р -

Оу'

{р-ауа\

1 / ^

йу

X

1

" P / ^ O + ^ I - Z l b ' 1

1 +

(5.51)

tJx,

р) =

•

; e-^C-'i)

*-(* -

/,) - f

-

- +

+ Р - ауаЦ • i + к ;

I f р \

I

г

р

X

X

ехр

У а3

i _|_

1

X

X

(5.52)