книги из ГПНТБ / Булычев, Н. С. Расчет крепи капитальных горных выработок
.pdfполагается, что ползучесть сказывается лишь на модуле деформации материала при сжатии его под углом 45° к плоскости изотропии. Остальные характеристики среды полагаются постоянными, не зависящими от времени. Но даже и в этом случае расшифровка интегральных операторов оказывается не простой. В работах [50, 75] расшифровка наиболее распространенного временного оператора приводится на шести страницах. Этот оператор имеет следующий вид:
А — У ‘2,к -- т, |
(10.15) |
где |
|
|
к - |/1 -и! |
т |
О2 |
—2рг (Н-Рі) |
||
|
|
|
|
~ |
||
|
I |
!'і |
|
|
1 |
и! |
Ga |
временной оператор |
модуля |
сдвига для плоскостей, нор |
|||
|
мальных к плоскости изотропии: |
|
||||
|
G-2— |
1 |
|
|
|
|
|
1— |
|
1 |
|
||
|
|
45 |
Ел |
|
К-л |
|
Е г, Е 2, |
р І5 р 2 — модули упругости при сжатии в плоскости изотро |
|||||
пии и в направлении, |
перпендикулярном ей, |
и соответствующие им |
коэффициенты поперечной деформации; ЕІЪ — временной оператор модуля деформации при сжатии под углом 45° к плоскости изо тропии.
Окончательное выражение иррациональной функции операторов
(10.15) имеет вид:
|
---------------- ?— = \ , |
(10.1(5) |
V |
Р 2 i ^ r ( a ) ß s [ / l + y / |
|
где У h — некоторая функция упругих констант; и, ß — параметры ползучести.
До преобразования иррациональной функции (10.15) ее можно представить в виде:
|
|
1 = У к У і + кЭа ф). |
(10.17) |
||||
В табл. 19 дано |
сравнение |
расчетных значений функций (10.16) |
|||||
и (10.17) |
при а |
= 0,7 и |
параметрах |
ползучести, |
взятых |
из |
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а |
И) |
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
—— при /, сут |
|
|
Порода |
|
К |
ß |
А |
|
|
|
|
|
100 |
|
||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|
Песчаник |
сланец |
0,719 |
0,068 |
1,010 |
1,003 |
|
|
Песчанистый |
5,062 |
0,071 |
1,009 |
1,002 |
|
69
работы [50]. |
Сравнение говорит в пользу функции (10.17), к тому же |
|||||||||||
выражение |
(10.16) является приближенным |
и |
справедливо |
при |
||||||||
[і/1'^ |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для упрощения получения временных функций при ядре ползу |
|||||||||||
чести (10.6) |
построены номограммы для определения функций пол |
|||||||||||
|
tp |
|
|
t,4 |
зучести |
Ф (рис. |
23). |
Функ- |
||||
|
|
|
ции ползучести можно так |
|||||||||
|
QM- |
|
|
г 0,25 |
||||||||
|
0,03 - |
|
|
|
же получать непосредственно |
|||||||
|
0,05-. |
Р |
|
- 0,5 |
из экспериментов. Например, |
|||||||
|
0,1 J |
|
- / |
при одноосном сжатии по |
||||||||
|
г 0,001 |
|||||||||||
|
0,2 |
0,002 |
|
стоянными |
усилиями |
функ |
||||||
|
0,003 |
|
ция ползучести определяется |
|||||||||
|
|
|
||||||||||
|
0,5 |
0,005 |
- J |
по формуле |
|
|
|
|
||||
|
■0,01 |
|
|
|
|
|||||||
|
1 |
|
|
L 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 4 |
|
|
-J |
Ф |
1 |
V |
ЕІг> |
|
|
|
|
|
|
|
-10 |
|
|
|
|
|||||
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
^IZ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
CCi/OT |
где е[Д, |
е)г) — продольные |
||||||
|
0.0J- |
|
|
деформации — мгновенная и |
||||||||
|
|
|
" 0,5 |
в момент времени |
t при |
на |
||||||
|
0,05-. |
|
|
|||||||||
|
|
Ä - |
|
пряжениях |
оу. |
|
Функцию |
|||||
|
0,1 J |
|
|
|
||||||||
|
о, г -( |
|
|
t |
ползучести, |
по данным экспе |
||||||
|
r?®/ |
риментов, |
удобно |
представ |
||||||||
|
0,5 і |
|
лять графически (рис. 24), |
|||||||||
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
£■0,01 |
- 2 |
тогда |
отпадет необходимость |
|||||||
|
2 J |
в аппроксимации эксперимен |
||||||||||
|
- J |
|||||||||||
|
5 “i |
|
|
тальной кривой. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
-4 |
Рассмотрим |
|
несколько |
||||||
|
W- |
|
|
|
||||||||
|
|
|
примеров |
использования |
||||||||
|
/4 J |
|
|
£5 |
||||||||
|
|
|
|
|
функций ползучести. |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Учет |
статического давле |
||||||
|
|
|
|
t,cym |
ния подземных вод |
на крепь |
||||||
|
|
|
|
ствола. |
В |
массиве, облада |
||||||
|
|
|
|
Г 5 |
||||||||
|
|
|
|
ющем линейной наследствен |
||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
r10 |
ной ползучестью, |
образуется |
||||||
|
|
|
|
вертикальная |
выработка |
|||||||
|
|
|
|
\15 |
круглого |
сечения, |
причем |
|||||
|
|
|
|
■-20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-JO |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-w |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r 75 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t-WO |
|
|
|
|
|
|
|
|
Pile. |
23. Номограммы для определения |
функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ползучести Ф при Абелевом ядре в зависимости от |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
времени: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а - |
і = 12 ч; б — і = 5 сут; в — і = |
іоо сут |
Рис. 24. |
График временной функции |
||||||||
|
|
|
|
|
70
упругая крепь вводится в работу с интервалом tx после обнажения пород. Кроме того, крепь испытывает давление воды рв.
На основании принципа И. В. Родина условие непрерывности
радиальных перемещений на контакте крепи и пород (г = Rj) имеет следующий вид:
ик(р ± р в) = щ (р) щ {ХуН) - ии (ХуН), |
(10.В)) |
где ик (р + рв) — смещения крепи под действием суммарного давле ния пород и воды; щ (р) — смещения пород в результате отпора крепи в момент времени t; щ {ХуН); utl {ХуН) — смещения пород под действием снимаемой нагрузки, приложенной к контуру сечения выработки в моменты времени t к t x.
Для определения смещений воспользуемся решением задачи Ляме, считая массив цилиндром бесконечной толщины. Тогда
, ч |
«J |
|
|
ut № = ~-2GrP> |
|
||
щ(ХуН) = А |
ХуН; |
(10.20) |
|
utl(yXH) = - ^ - |
ХуН- |
|
|
ик(р--гРв) = (Р+ Рв)-ф- |
СІ ( 1 |
^рк) ~f~ 1 |
|
|
|
С2—1 |
Подставляя значения величин (10.20) в условие (10.19), после несложных преобразований получим
|
|
|
1- |
Gt I |
Рв |
|
|
|
р - ХуН |
|
' |
ХуН |
|
( 10. 21) |
|
|
~Gt |
ei (1—2рк) |
1 * |
||||
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
с2— 1 |
|
|
Временные функции Gt и Gtl |
определяются по формуле (10.11) |
||||||
с помощью номограмм (см. рис. 23). |
|
бурением. Рассмотрим |
|||||
Давление на |
крепь |
ствола, |
пройденного |
||||
технологическую |
схему |
проходки |
ствола установкой УКБ-3,6: |
бурение (обнажение стенок ствола) под промывочным раствором; возведение в заполненном раствором стволе колонны крепи, не
связанной с породами; откачка промывочного раствора (разгрузка породных стенок
ствола) с интервалом времени t x после бурения;
ввод крепи в работу путем тампонажа закрепного пространства
с интервалом времени t2 после бурения. |
Эта задача подробно рас |
||||||
смотрена в работе |
[32]. |
|
|
|
|
|
|
Окончательная формула для нагрузок на крепь имеет следу |
|||||||
ющий вид: |
|
Gt |
I Vpfrp |
i Gt______Gt \ |
|
||
|
|
|
|||||
р - |
ХуН |
Gt2 |
"XyH |
\ Gt-t, |
Gtz-t1) |
( 10.22) |
|
|
G_L |
1 |
с'2(1 2рк) |
||||
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
GK |
' |
C2-1 |
|
/ 71
где Yp, h — соответственно объемный вес и высота столба про мывочного раствора.
Сравним расчетные нагрузки с измеренными в стволе шахты № 31 в Кара гандинском бассейне [33]. Характеристики пород и крепи на участке замерной станции № 1 (Я = 50 м) следу
|
|
|
ющие: |
порода — серый аргил |
|||||||
|
|
|
лит: |
Я = |
1,1 • ІО5 |
тс/м2; |
у = |
||||
|
|
|
= |
2,1 тс/мэ; [X= 0,26; к р е п ь - |
|||||||
|
|
|
железобетон: |
R 0 = |
1,6 |
м; |
|||||
|
|
|
/?! |
= |
1,75 м; |
с = |
1,1; |
Ек = |
|||
|
|
|
= 3-10« тс/м2; Цк = |
0,2. Испы |
|||||||
|
|
|
тание |
реологических |
свойств |
||||||
|
|
|
пород не проводилось, поэтому |
||||||||
|
|
|
воспользуемся |
параметрами |
|||||||
|
|
|
ползучести, |
полученными |
|||||||
|
|
|
Г. Ф. Бобровым для |
кузбас |
|||||||
|
|
|
ских аргиллитов при раз |
||||||||
|
|
|
грузке: |
а = 0,852, |
|
б = |
|||||
Рис. 25. Изменение нагрузок |
на крепь |
ствола, прой |
= |
0,0044. Прочие данные: ур = |
|||||||
= |
1,2 |
тс/м9; |
hp = |
Я; |
|
К = |
|||||
денного бурением, |
во времени: |
= 5 мес; t 2 — t t = |
3 сут. Разу |
||||||||
1 — расчетные нагрузки; г — средние |
измеренные |
||||||||||
меется, в этом случае ожидать |
|||||||||||
нагрузки; 3 — минимальные; 4 — максимальные |
|||||||||||
|
|
|
хорошего |
совпадения |
расчет |
||||||
ных и измеренных нагрузок трудпо, тем не менее |
сходимость |
(рис. 25) можно |
|||||||||
признать удовлетворительной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 26. Номограмма |
для определения |
Рис. 27. Номограмма для определения |
|
величины В в формуле (10.24) для по |
|||
величины А в формуле (10.24) для по |
|||
род (табл. 20) |
|||
род (табл. |
20) |
||
|
72
Необходимо отметить, что степенное ядро (10.6) характеризует незатухающую ползучесть, а в данном примере (который характерен для широкого класса пород) мы имели дело со стабилизацией де формаций пород и нагрузок на крепь. В подобных случаях целесо образно пользоваться экспериментальными графиками функций ползучести.
Давление на монолитную крепь горизонтальной выработки. Рас смотрим монолитную крепь выработки круглого сечения. От задачи с вертикальной выработкой дан с ная задача отличается тем, что в массиве пород, моделируемом упруговязкой плоскостью, дей ствует неравнокомпонентное поле напряжений (уН и ХуН), поэтому взаимодействие мас сива с крепью описывается зна чительно более громоздкими формулами (см. § 6). Для удоб ства практических расчетов про ведена серия вычислений па раметров взаимодействия пород
икрепи на основании работы
[6]с использованием предло женных выше временных функ ций. Результаты вычислений
представлены в виде номограмм
(рис. 26—28). Исходные дан |
Рис. 28. Номограммы для определения коэф |
|
ные следующие: крепь — моно |
фициента неравномерности нагрузок на крепь: |
|
а — полный контакт между крепью и породой; |
||
литный бетон: Ек = 2 -ІО6 тс/м2; |
б — свободное проскальзывание без трения: |
|
|лк — 0,2; массив |
представлен |
1 — алевролит; 2 — аргиллит; 3 — песчаник; |
4 — известняк |
||
четырьмя типами |
наиболее ха |
|
рактерных для Донбасса литологических разностей, реологические характеристики которых приняты по данным Ж. С. Ержанова [65] (табл. 20). Коэффициент Пуассона пород принят постоянным (ц =
= |
0,25), так |
как нагрузка на крепь от него мало зависит (при изме |
||||||
нении ц от 0,2 до 0,4 изменение нагрузок не превышает 10%). |
||||||||
|
Нагрузка на крепь выработки определяется по формулам: |
|||||||
|
|
|
p = po(l + cocos20); |
|
|
'(10 23) |
||
|
|
|
q —2р0со (1 + |
1,5m.)sin 2Ѳ, |
|
|
||
где |
Ѳ — полярный |
угол, отсчитываемый от горизонтальной оси. |
||||||
Значение р0 определяется по формуле |
|
|
|
|
||||
|
|
|
Ро , у н Ц ^ - --------- é - ----- , |
|
|
(10.24) |
||
где |
Е — м одуль уп р угости , взяты й из |
табл. 20; |
А , |
В |
— величины , |
|||
определяем ы е |
по |
номограм мам |
(рис. |
26, 27); |
м |
— |
коэф ф ициент |
Т а б л и ц а 20
Порода |
а |
б |
Е, |
1 ■іо-*, |
|
тс/м* |
|||
Алевролит |
0,725 |
0,0094 |
|
6,2 |
Аргиллит |
0,710 |
0,0080 |
|
13,4 |
Песчаник |
0,670 |
0,0021 |
|
29,5 |
Известняк |
0,701 |
0,0018 |
|
31,9 |
неравномерности нагрузок, определяемый по номограмме (рис. 28). Номограммы можно использовать и для определения среднего давления на крепь выработки по известному аналогу. Пусть в опре деленных условиях нам известны величины рА, НА, ХА, А л , В А, тогда при несколько изменившихся условиях (І7, X, А, В) нагрузка
на крепь
II |
1---Л |
А |
11 л, |
(10.25) |
р ~ р А |
|
|
— |
Давление на сборную крепь. Рассмотрим взаимодействие с упру говязкой средой сборной восьмиблочной крепи выработки круглого сечения с прокладками в стыках блоков. Условие контакта с поро дой — свободное проскальзывание без трения. Как и в рассмотрен ных выше случаях, при решении задачи учитывается принцип И. В. Родина, а также интервал времени между обнажением пород и возведением крепи. В отличие от предыдущих примеров расчет крепи производится методами строительной механики стержневых систем (см. § 40). Окончательные расчетные формулы для нагрузки на крепь имеют следующий вид:
р — Ро - 4 - cos 2Ѳ, |
( 10. 26) |
где Ѳ — полярный угол, отсчитываемый от вертикали;
1 -f* А |
|
|
Ро = уН |
|
Ек |
г |
1,95Я + 2,5бпр—: |
|
vf |
F |
іапр |
• + *
4 , 5 - 6 , ( 4 , 5 - 6 ^ ) - ^
1 — X
Pi -- YH
0,42
•41p толщина прокладки; Епр — модуль деформации прокладки.
Сопоставим расчетные величины с измеренными на опытном участке пере гонного тоннеля Ленинградского метрополитена*. Исходные данные для рас-
Данные измерений предоставлены авторам Г. А. Скобенниковым.
74
чета: |
П -- 2,68 м; |
F = 0,0935 ма; I = 0,69 • КГ^м*; Ек = 3 • 106 тс/м2; цк ^ |
= 0,2; |
бПр = 0,01 |
м; Епр — 1. 1Q4 тс/.м2; интервал времени между обнажением |
пород и возведением крепи t L -- 1 сут. Породы — кембрийские глины. По дан ным испытаний в лаборатории механических испытаний пород В1ІИМИ, имеют следующие характеристики: Е ~ 4,1 • 104 тс/.м2; ц. =--■=0,3; а - 0,862; б = 0,0108. Результаты расчетов хорошо согласуются с опытными данными (время стабилизации нагрузок составляет 75 сут)
Измеренные (расчетные) нагрузки при крепи, кгс/см2
Показатели |
|
|
|
без прокладок |
с прокладками |
Р0/Ун |
0,133 (0,120) |
0,100 (0,100) |
0) |
— (0,0021) |
- (0,0025) |
Интересно отметить, что шарнирная крепь без прокладок испытывает средние нагрузки в рассматриваемых условиях такие же, как и аналогичная монолитная крепь, степень же неравномерности нагрузок в шарнирной крепи ниже. Расчеты для монолитной крепи дали следующие результаты: pJvH —
= 0,122; со = 0,0038.
Комбинированная упруговязкая модель взаимодействия пород и крепи
с учетом образования зоны разрушения
Комбинация упруговязкой модели взаимодействия пород и крепи с другими моделями расширяет возможности расчетного метода и позволяет полнее отразить в расчетной схеме реальные процессы в массиве пород. Некоторые комбинированные модели рассмотрены В. Т. Глушко [51]. Поскольку главным в этих моделях является учет фактора времени и представление о нетронутом массиве как упруговязкой среде, мы отнесли комбинированные модели к разделу упруговязких.
Рассмотрим упруговязкий массив, характеризуемый временной функцией длительной прочности и деформационным критерием разрушения (1.6), ослабленный подкрепленной выработкой круглого сечения. В таком массиве вокруг выработки в общем случае образуется три зоны: зона разрушения, зона пластических деформа ций и зона упруговязких деформаций. Радиусы граничных поверх ностей между этими зонами изменяются во времени. Задача рас сматривается как плоская полярно-симметричная (X -- 1).
В качестве условия пластичности принято условие Кулона —
Мора (3.22), в которое подставляются значения |
и срх для зоны |
|
разрушения и |
и ф — для зоны пластических |
и упруговязких |
деформаций. Таким образом, на границе зоны разрушения возможно скачкообразное изменение свойств массива и соответственно тангенциальных нормальных напряжений. Деформации в зоне
/Г)
разрушения и в зоне пластических деформаций определяются на основании ассоциированного закона течения.
Окончательное выражение для радиальных перемещений пород ного контура сечения выработки имеет следующий вид:
* * " » . (Y *r+ b*«< tt> ( т г |
+ '••> 1 ) |
( - £ ) “ ( % ) " ’ Sill (рѵ |
|
||
где Ф — функция ползучести; |
|
(10.27) |
|||
|
|
|
|||
Jtc_ |
(1 — sin ф) (yH-\-ltK c tg ф) |
(АТ °tg Фі — K ctg4-') |
|
||
|
P-VltKl ctgVi |
|
|
||
Ri |
|
|
Rp |
||
Относительная |
протяженность |
зоны пластических деформаций |
|||
|
|
|
|
|
н 0 |
определяется из деформационного условия прочности (1.6):
|
ОСД2 |
|
|
|
SII1 ф |
(10.28) |
|
Не |
Rn |
- (1-Р) |
|
(] —р Г а) ( I —sin ф) |
|
||
|
|
§ 1 1 . ВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПОРОД II КРЕПИ
Эта модель близка по своим особенностям к упругопластической модели взаимодействия пород и крепи. Вязкопластическая модель исследовалась А. П. Максимовым [112], который в качестве модели массива пород использовал среду Шведова — Бингама и показал, что по достижении касательными напряжениями предельного сопро тивления пород сдвигу деформации пород (выдавливание их в выра ботку) могут быть описаны уравнениями движения вязкой жидкости Навье-Стокса *.
А. Т. Крыжановская [98] исследовала задачу опускания столба породы над выработкой, используя ту же модель. Для упрощения задачи приняты допущения, что скорость вертикальных смещений не зависит от глубины (dwjdz = 0), а вертикальные напряжения не изменяются вдоль горизонтальных сечений (дох/дх = 0). Таким образом, решение задачи сведено к дифференциальному уравнению:
daz |
d^w |
^ - 0 Г |
= ТІ 1 І Г ’ |
где ц — коэффициент вязкости пород;
w — скорость вертикальных смещений. Отсюда
w = l ^ ( a2x2) - - ^ - ( a - x)’
где ts — предельное напряжение сдвига.
( 11. 1)
(11.2)
* Исследования вязкопластпчеекой модели в более строгой постановке принадлежат I!. А. Лыткину (Механизм пучения пород в подземных выработках.
М., «Наука», 19(15).
76
Из выражения (11.2) следует, что при т5 О 1/%уа скорость сме щения пород получается отрицательной, т. е. выдавливания пород в выработку не происходит. Например, при у = 2,5 тс/м2, а = 2 м,
X -- |
0, t s =- 50 тс/м2 |
получаем w < 0 . При интегрировании уравне |
ния |
(11.1) следовало |
принять во внимание, что по оси симметрии |
{х — 0) скорость максимальна, следовательно, dwldy — 0. С учетом этого условия, а также граничного условия а z — р при z — Н не трудно получить следующее выражение для максимальной скорости смещений:
w "
В данном случае скорость смещения получилась постоянной, в реальных же условиях она обычно уменьшается во времени. Это
обстоятельство можно учесть, если согласно М. И. Бескову |
[41] |
ввести изменяющийся во времени коэффициент вязкости |
|
"Л/ = "По ехР Р J ’ |
(И -4) |
где ß — эмпирический коэффициент, равный для глинистых |
слан |
цев 0,25. |
|
Тогда для крепи нарастающего сопротивления с учетом времени tx введения ее в работу получим следующую формулу для определения нагрузок:
|
о х р |
Р = |
(11.5) |
|
1 |
|
2ßr)0/l |
|
3/<2у |
где А — механическая характеристика (6.1) крепи нарастающего сопротивления, определяемая для монолитной крепи выработки
круглого сечения выражением (6.2). |
|
[41 ]: Н = 600 м; |
|||
г)0 |
Для примера воспользуемся данными работы |
||||
= |
6,9• 105 т-сут/м2; у = 2,5 т/м3; ß = 0,25; |
R = 2 м; |
с — 1,1. |
||
При |
вводе крепи в работу через tx = |
30 сут расчетная |
нагрузка |
||
на |
крепь при t -> со составит 4,7 тс/м2, |
что согласуется с данными |
натурных наблюдений.
Вязкопластическая модель взаимодействия пород и крепи иссле дована в ряде работ [160, 208, 248, 253, 254]. В работе [277] пред лагается определяющее уравнение вязкоупругопластической среды, которое устанавливает связь между октаэдрическим предель ным напряжением сдвига и средним нормальным напряжением. Предложен алгоритм решения плоских задач с использованием
метода конечных элементов. |
[17, |
41] |
разработана инженерная мето |
|
В работах М. И. Бескова |
||||
дика прогноза смещений пород |
в |
подготовительных |
выработках. |
|
В основу положено решение |
задачи |
о выдавливании |
вязкопласти |
77
ческого слоя. Окончательная формула для определения скорости деформаций контура сечения выработки имеет следующий вид:
9 [2Qm —2рт—ts(лііп
V
где Q — нагрузка на слабый слой в долях уН (зависит от глубины разработки и способа охраны выработки); 2т — мощность слоя сла бых пород; т, — предел текучести пород; I — размеры пластической зоны.
Предложенная зависимость удовлетворительно согласуется с дан ными натурных наблюдений в подготовительных выработках.
§ 12. УСТОЙЧИВОСТЬ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ ГОРНЫХ ПОРОД
Использование теории статической устойчивости для исследова ния устойчивости горных выработок. Первые шаги в исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем сделаны, как изве стно, Л. Эйлером (1744 г.) и Ж. Лагранжем (1788 г.). Дальнейшее развитие теории устойчивости упругих систем связано с именами Дж. Брайана, Ф. С. Ясинского, С. П. Тимошенко, А. Н. Динника и др. Возможность использования уравнений математической теории упругости для решения задач устойчивости упругого равновесия показана Л. С. Лейбензоном [103] и А. Ю. Ишлинским [83].
Первые исследования устойчивости упругопластического равно весия тел (применительно к стержням) принадлежат Ф. Энгессеру, Ф. С. Ясинскому и Т. Карману [87].
Аппарат устойчивости упругопластического равновесия дефор мируемых тел применен Л. В. Ершовым для решения задач меха ники горных пород [70]. Используя статический критерий устой чивости и метод малого параметра, он исследовал формы равновесия горизонтальных и вертикальных выработок. Указанное направление получило развитие в работах М. Т. Алимжанова, который рассмо трел, в частности, задачу устойчивости упругопластического равно весия монолитной бетонной крепи выработки круглого сечения [4].
Статический критерий устойчивости состоит в следующем [87]. При нагружении тела возможен такой случай, когда наряду с основ ной (тривиальной) формой равновесия могут существовать другие,
бесконечно близкие к ней. Достигается так называемая точка |
б и |
ф у р к а ц и и — разветвления форм равновесия. Подобное |
состо |
яние может оказаться переходным от устойчивого равновесия к не устойчивому, тогда наименьшая нагрузка, соответствующая точке бифуркации, называется к р и т и ч е с к о й . Однако бифуркация сама по себе еще не свидетельствует о критическом состоянии тела, так как возможен и такой случай, когда все формы равновесия тела будут устойчивыми.
78