книги из ГПНТБ / Булычев, Н. С. Расчет крепи капитальных горных выработок

СО

р(0) = р о0) + 2

Ря0>cos кѲ\

k=1

7<0) ~

”

(18.1)

2

sin кѲ;

k=l

при г = R±:

со

рш = Рои + 2

Pkv cos Ш;

Ь = 1

~

(18.2)

<7Ш =

2

s i n кѲ.

k=i

Потребуем, чтобы проекции всех сил на оси х и

у (рис. 74) и сумма

моментов относительно центра были равны нулю:

J [ршВ 1 —р(0)//0)sin Ö -f (q(vB1— q(0>B0) cos Ѳ]йѲ = 0;

2"

(18-3>

[ [(j»ll,i?i - P

(0)i?0) cos Ѳ- (q(1>B1 - qmB0) sin Ѳ] dQ =

0;

(Г

2’

J (qn)B\ — r/0,i?o) dS = 0.

0

Подставляя в эти

уравнения выражения (18.1)

и (18.2)

после пре­

для рассматриваемого кольца в следующем виде:

при r = Bj

(/ = 0,1)

or — ixr& = p ^ — iq<'>).

(18.6)

Преобразуем тригонометрические

ряды (18.1) и (18.2)

в ряды

по степеням е согласно известным соотношениям:

<т,-ітгѳ= 2

4 'Ѵ ® ,

(18.8)

k=-co

где АІ° = j (ріп — q i1'*)

при

к >

0;

А

) = (р4У) -I- 4

'О

при к <

0;

^ > = р У );

Л</) = 0.

Воспользуемся далее известным соотношением для компонентов

напряжений в упругой области [126]:

о,

— ітгѲ =

Ф +

Ф -

е2іѳ (гф*

Ч').

(18.9)

z = геіѳ\ z -- ге~ів.

(18.10)

СО

СО

Ф (г) = 2 akzki

Ф (2) = 2 bkzh

(18.11)

- со

-со

в результате этого приобретут следующий

вид:

СО

СО

2 [(1 — А) akrh+ a_kr~k— bk_2rk~Ц eih®= 2

-00

-со

(18.12)

при r = Rj (/ = 0, 1).

Сравнение членов, не зависящих от Ѳ,

дает два

уравнения:

a0 + a0- b _ 2R]*----p(i) (7 =

0, 1).

(18.13)

(1 - к ) а кЩ к+ а.кЯ ) - Ь к.гЯ ^ = А ^ (/ = 0, 1).

(18.14)

(1 - k ) ( R \ - RI) ak - (R*-*k-

R*-*) a_k =

^ A ^ R X k-A ^R % -k.

(18.15)

вить, что эта

система разрешима при к Ф 0 и

к ф 1-

При к = 0

(задача Л яме)

оба уравнения сливаются в одно:

{R\-R%){a0

\ a0) = p ^ R \- p 7 R %

(18.17)

Отсюда

_

г

H \-R l

(18.18)

0

1 ао

ак = -щ -

(А -f gk)— Аиск(ft -I- 2 — gk) — /й0) (кс2к~2+

g/;) -i-

■-qk°4(k-:-2)c2k-2- g k]};

a-/e = - f f f { - № (kc2k + gk)-

№ [{к-

2) c2k - gk\ -f

+ pV>c™(к + c2gk) -r qTok~2 (к — 2

— gkc2)};

(18.25)

V 2= 4 °Hk

" ( ~ kp<kl>°К(к + °2Як) +

\к2

— C2gk (к — 2)] -!-

л- Ы 0)(kc2k+ &) +

[(ft -

2) gk - ft2c2fe]};

- /?°2+# Г

{ - крПЧк +

kc2k~2)-

#> [k2c2*-2 - ( k + 2)gk] +

кр[0}ск~2 (gk -f ft) — q(k }ck~2[(ft -f 2) gk— ft2]},

жениями:

Ф + оѳ =

2 [Ф (z) + Ф (z)] =

йе [Ф (z)];

(18.26)

аѳ — ar

2ітгѲ = 2 [гФ' (z) +

'F (z)] е2іѳ.

е±ыѳ = cos ft0 + i sin ft©,

(18.27)

окончательно

получаем:

Grh = [—(ft — 2) akrk (ft -u 2) a_kr~';— bk^ r k~2— &_ft_2/--*-2] cos ftö;

(18.28)

Oe’ - f(ft

2) akrk — (ft — 2)

-h bk_.2rk~2 -f

ft-2J cos ft©;

=

00

(18.29)

Рассмотрим наиболее

характерные

частные значения напряже­

ний.

0:

При к =

о©0)

1

(18.30)

0<°>

С2 —1

на внутреннем контуре коільца (при г = RД 0):

„

( 0 )

1

[2с2^ 1)— (с2 — 1) Ро051;

(18.31)

ов

■1

or(0,

. „(0 ).

_(0 ) _ л.

■Р 0 >

т лѲ —

на наружном контуре кольца (при г =

R^):

Стѳ0)

(18.32)

( 0

)

. „СП.

т(0) _ Г|

о;

- Р о

I

тгѲ — и

-

При к = 1:

CO

ЯЗ _ /)(1) — fp{0)

a)11 =

^

r

г

о

N

1

До

c4 ■— 1

r't

( 4 - 1

) cos 0;

V

o\V =

3

r

c3/?l1>—Pi0* + * L

p<i>-r/4o>

^ cos 0;

(18.33)

( d До

c4 —1

1 r3

С4 — 1

(

Г

С'ЗрО)— p(0)

Д?

Г

О

^ sin 0;

f4 _l

c4 — 1

= VДо

r3

на внутреннем контуре кольца

(при г =

R 0):

т<1>.

р (10) cos Ѳ;

°

4сЗр(1)_ (3 +

С4) ptO)

cos©;

(18.34)

с4 —1

т,ѳ = р)0’ sin Ѳ;

на наружном контуре кольца (при г =

Rj):

oJP = />^1) cos©;

rr(1>

(Зс4+

1) р[и — 4«р(0)

cos 0;

(18.35)

и©

■

С4—1

т)1^, = р)1’ sin©.

При к

2 на

внутреннем контуре кольца (г = R 0):

o p = -L - { - 2 kpPck (c2k- 1 ) -f- 2q<k )ck [2c2gk-

к (c2k- -1)] -

-I- Pi0) (C2 -

1) (gl -Г к2с2к~2) -

2qP [gk [c*k f 1) -

2kc2k~2]} cos кѲ;

(18.36)

a* = pP cos Ш;

= qP sin /сѲ;

o p 1 -

- ± - {р£> [(с2 - 1) к Ч ^ 'г g%] - 2 q P

[gk (c>k

1) - 2 k c lk \ -

-

2kph)ck~igk (c2-

1) -f 2<7ft0)cfe“2[к (c2fe

} 1) -

2gk}} cos Ш; (18.37)

alrk) =

cos Ш;

т‘ 0 — q ^ sin к&.

-- 2q(20) [(с2 f

I )2- 2]} cos 2Ѳ.

(18,38)

Деформированное состояние

кольца.

Перемещения

в кольце

при нагрузках (18.1), (18.2) определим

из следующего

известного

в теории упругости соотношения:

2G (и -f іи) = е~іѲ [хср (z) — zcp" (z) — ф(г)],

(18.39)

cp (z) =

J ф (z) dz;

ф (z) = J ¥ (z) dz.

(18.40)

Отсюда:

СО

(18.11)

00

^ ^ =

2 ~ ^ T T zk+1 ~ c 1

- 0 0

Представим перемещения в виде рядов:

СО

00

и = 2

U*C0S к&',

V = У vksin кѲ,

(18.42)

й =0

1

тогда с учетом выражений (18.7) можно записать

ОО

и + іѵ = 2

Bkeihe,

(18.43)

где

- 0 0

Вк = Щ ^ ;

В_к = ^ £ р - (к> 0),

Подставим значения комплексных потенциалов ф (z) и ф (z)

(18.41)

в уравнение (18.39)

с учетом выражений (18.42) и (18.43). Приравни­

вая коэффициенты при одинаковых степенях е,

получаем:

, .

I ..

I Г

a k

k+i

! b -k -2

~(k+l)~\ .

+

| “ ¥ + Г г ~ а~кГ

>

(18.44)

Uk— Vk:

x -£±-r r~k+1+ akrk+14 -

G

Гь—I

г к- 1

К— 1

( к = 0 , 2 ,

3 ,

. . . ) .

Окончательные выражения для перемещений получим, подставляя

в уравнения (18.44) значения коэффициентов ак и Ък

(18.19),

(18.20),

(18.23)

- (18.25).

При к = 0

Ііі

V I

-р Г

[с2(* - 1 ) + 2 ( 4 і

-)2

(18.45)

на внутреннем контуре кольца

(при г = R 0)

„

_

«о

\ріис2(х + 1) - р і ю(х -

1 + 2с2)];

(18.46)

0

4G(f2—1)

на наружном контуре (при г =

И г)

о

П1

[с2 (х —1)4-2] —ро’

(х -pi)}

(18.47)

- 4с (С2_ 1) №

При

/с =

1

смещения на

внутреннем контуре кольца (г = і?0):

«о

и,

-і- V,

2G И —1) [р)1!с3 (х -1- 1) — р)0' (х -4 с4)];

(18.48)

«п

[рш сз _ рсе) ц_С].

и,1 —ѵл —— G( c 4 - 1)

на наружном контуре

(при г — R ^:

«1 + ^ :

2G (с4 -1)

fPi

(хс4 - 4- 1) —

р)0)с (х

1-1)];

(18.49)

и, —V,

Ір^’с3 —р)0) -f С],

С И - 1 )

При к Зі 2 смещения на внутреннем контуре кольца

(г =

R 0) со­

ставляют:

ик+ Ог= ^ (/t'+ i0) е д ;

0>л1,с‘ (А -г S k ) — q$'ck (к 4- 2 -

gÉ) -

-р£°> (fcc2*-2 + & +

о ,) f

q p 1(к + 2) c2fe~2- g k-

Dk})-

(18.50)

Ro

(кс

+

— Ч^с [gk —{к — 2) c2fe] -

uk- v k = -2 (Ус-1) GDk

рсо) [c2fc-2 + c^gk)~-Dk]+

[c2ft-2 (2 — к -\-gkc%) — £>*]},

отсюда

иk =

/lG{J h i ) D-

[ Ml + c*k)

■-gk(c2 -r-1)1 -

- qlv ck [ - f t2 (c2k- 1)+k(c2k + i) + 2g-,c2I - р Г [2ftV*-2 + kgk (1 +

c2*)^

(C2fc - 1) ■- 2Dk\

- q ^ [ft [2c2fe_2 -

gk(c2* -

1) - 2Dk\ + gk {c2k+ 1)]}.

(18.51)

Смещения на наружном контуре кольца (при г = Я г) составляют:

и*

у* =

-j>g (//j- i)£»fe

{ ^ 1’ К* +

Sk) c2k - ^*1 -

— qk” [c2k (ft - f 2 - & ) +

A J - p  0)cft(ftc2*-2 + Ы

-г ?Л0,с* [(ft + 2) c2fc-2— £*]}.

(18.52)

щ ~ ѵ к^ -2G ^

|} Dk {Ркѵ [ftc2* - g* - f

Dk\ — qiiy[gk — (ft — 2) c2i - f

Dk]—

— р5г0)с*-2 (ft 4- c2gfe) — g^c*-2 (c2gk— ft + 2)},

отсюда

и* = - \G (/>"— I) Dk

{p i1} [2ft2c2ft

ftg* (c2fe

1)

-ft, (c2ft - 1 ) + 2Dk

— qk» [ft [2c2ft- gk (c2ft - 1 ) +

2£>*[ +

gk (c2fe -f 1)] •

— kp(k0)ck-2 [ft (c2ft-f 1) + g* (c2 -f-1)] -}-

где

^ 0,cfc-a [ft2 (cafe- l ) -

ft (c3k

1) -f 2g*]},

(18.53)

Я к

/Л

X-г- 1

Очевидно,

суммарные смещения

кольца при нагрузках

(18.1)

и (18.2) составляют:

и ~ 2 ukcos ftO;

: 2

yKsin ft®-

(18.54)

h=o

h=1

аѳ0) -= 2 рі«» -р ‘о0>;

(18.55)

а)?’ = (—4р(°°) f р[0) — 2<7І0)) cos 2Ѳ;

(18.56)

ogi = (pl?i - 2 q ln)co sm (Ä > 3);

(18.57)

4ЛG0 ■[р(»)(х + і)-2рП;

(18.58)