5. Аналитические методы определения усилий в плоских статически определимых фермах. Рекомендации по конструированию.

5.1 Метод вырезания узлов

Рассмотрим на примере треугольной фермы, показанной на рис. 5.1

P=4000кH, α=

Рис.5.1.

Распределённым весом элементов ферм пренебрегают, их вес сосредотачивают в узлах.

В данном случае мы совсем не будем учитывать собственный вес фермы.

У фермы две шарнирно-неподвижные опоры: 1 и 8

Каждая из них отнимает у соответствующих узлов по две степени свободы.

а) Кинематический анализ фермы.

В скобках рядом с номерами поставлена кратность каждого узла.

.

Ферма статически определима.

Диски 4-5, 6-5, 4-6 тремя шарнирами, не лежащими на одной прямой, образуют жёсткий диск.

К нему аналогично: шарнирами, не лежащими на одной прямой, присоединены диски 4-7 и 7-6, которые образуют единый диск.

Последовательно проведя анализ, приходим к выводу, что ферма в границах узлов 2,5,8

образует единый диск, который с основанием (тоже диском) соединён тремя стержнями,

оси которых не пересекаются в одной точке.

Следовательно, ферма и мгновенно неизменяема.

б) Определение опорных реакций.

Условно отбрасываем опоры, заменяя их действия реакциями (рис. 5.2).

Рис.5.2.

Выбираем направление осей и у и реакции в узлах 1 и 8 находим в проекциях на эти оси.

Начнем с расcмотрения равновесия узла 1 (рис. 5.3).

Рис.5.3.

Из условия равновесия в проекции на ось у: = 0.

На ось : - + = 0; = .

Знак “+” говорит о том, что направление действия реакции выбрано верно, а стержень 1-2 растянут.

Составим моментное уравнение равновесия относительно узла 8:

=

=

.

Уравнение равновесия фермы в проекции на ось у:

- P = 0 ( = 0), = P = 4000кH.

Уравнение равновесия в проекции на ось :

- + = 0; = = 4618,8кH.

Линия действия всех найденных опорных реакций и внешних сил пересекаются в т. О (рис. 5.2).

в) Нахождение усилий в стержнях.

В одном из стержней усилие уже фактически найдено:

= 4618,8кH. Стержень растянут.

Порядок рассмотрения узлов определяет правило: в узле должны сходиться не более двух стержней с неизвестными усилиями.

Узел 8 (рис 5.4)

Рис. 5.4.

Уравнение равновесия в проекции на ось x:

= 0: + = 0; = - =

Стержень 8-7 сжат.

Уравнение равновесия в проекции на ось y:

= 0: + = 0; = - = - 4000кH.

Стержень 8-2 сжат.

Узел 5(рис.5.5).

Рис 5.5.

На рис.5.2. Неработающие стержни отмечены крестиком.

Узел 6 (рис.5.6).

Рис.5.6.

Стержень 6-4 растянут.

Узел 4 (рис.5.7).

Рис.5.7.

Стержень 4-7 сжат.

Стержень 4-3 растянут.

Узел 3 (рис.5.8).

Рис.5.8.

Стержень 3-2 растянут.

Узел 2 (рис. 5.9)

Рис.5.9.

= = = = 0,577, = = α.

Стержень 2-7 растянут.

Результаты вычислений сведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Стержень	1-2	2-3	3-4	4-5	5-6	6-7	7-8	2-8	2-7
Усилие,кН	4618,8	4000	4000	0	0	0	4618,8	-4000	6928,2

Cтержень	3-7	4-7	4-6
Усилие,кН	0	-4000	4000

Обратите ещё раз внимание на узлы 3, 5, 6, 8: на взаимное расположение стержней, направление внешних сил, величины усилий в сходящихся в них стержней. Выявленные закономерности позволят в дальнейшем быстрее определять усилия.