книги из ГПНТБ / Джавадов, Д. М. О некоторых явлениях, происходящих во взаимодействующих телах
.pdfравлениям одинаковы, очевидно, расположение этих диффе ренциальных сил в зонах во всех сечениях вдоль оси сжатия изотропного образца — призмы — будет таким же, какдіа рис. 46. По этой причине поверхность зон равных сопротивле ний в изотропных телах при плоском штампе будет ограни чиваться поверхностью двуосного эллипсоида, а трещины будут располагаться в зависимости от морфологии сжимаю щих штампов.
§ 11. Производные геометрические фигуры:
азер, азероид вращения и азероид с двумя разделяющими
Для разъяснения процессов возникновения радиально-лу чистых и концентрических трещин, приведенных на рис. 17 и 18, строения сферической волны и трещин, возникающих в местах изгиба пластов, ниже рассматриваются производные от эллипса, эллипсоида вращения и трехосного эллипсоида геометрические фигуры.
80
I
От центра симметрии эллипса О (рис. 80/4) проводится пер пендикуляр СО к большой оси эллипса AB и из определенной точки этого перпендикуляра (критерий, необходимый для определения расположения этой точки, будет дан ниже) опи
сывается дуга AB радиусом R. Из точки Б пересечения дуги
AB с меньшей осью эллипса проводится одна вспомогатель ная окружность, радиус которой равен а, и другая радиусом в. Следует учесть, что o n e — это большая и меньшая полу оси эллипса. Далее, верхняя (большая) и нижняя (меньшая) половины окружностей делятся на п равных частей. В нашем случае, как видно на рис. 80/4, п= 12. Из точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6 большей окружности к центру -О проводятся прямые, а из то чек 1, 2, 3, 4, 5 и 6 меньшей окружности проводятся дуги,
параллельные дуге AB. Точки пересечения проведенных пря мых с дугами принадлежат кривой, которую назовем азером,-
дугу А В — его разделяющей, а прямую НГ (см. рис. 80/1) —' осью симметрии.
Для простоты выведения формулы .азера' сделаем некото рые упрощения. Ввиду того, что радиус разделяющей азера
-45 значителен по отношению к хорде AB, все точки эллипса можно переместить по направлениям, параллельным оси ОУ (рис. 805), на расстояния, равные ординатам соответствую
щих точек разделяющей AB. Например, точка М (рис. 80Б) эллипса переместится вдоль оси ОУ на расстояние ММ], рав ное ЕЕ]. і Как видно из рис. 80Б, ординаты точек азера при задан ных абсциссах соответствуют алгебраической сумме ординат
эллипса с ординатами дуги AB окружности радиуса R, с центром в точке С (О; т), при тех же заданных ординатах.
Каноническое уравнение эллипса |
— + |
— і можно |
представить в следующем виде:У |
а2 |
Ь2 |
|
|
|
У = ± — Уа2 — х2, |
|
(1) |
а |
t |
|
где а — большая полуось эллипса; b — меньшая полуось эллипса.
Уравнение окружности с центром-в точке С (О; т), т. е.
на оси ординат х2+ (y+rn)2 = R2, можно также |
разрешить, |
относительно у и представить в следующем виде: |
|
г/= ± У#2 — *2— т, |
(2) |
.где R '— радиус-окружности. |
|
Так как для простоты мы взяли тот случай, когда дуга
AB располагается над осью ОХ, то уравнение этой дуги, ис ходя из уравнения (2), примет следующий вид:
|
|
|
у = ± |
УЯ2 — я2-— >п |
|
|
|
(3) |
||||
при |
|
|
|
— а sg: X |
а. |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Исходя из вышесказанного можно написать: |
|
|||||||||||
|
|
|
|
Уаз = |
Уэ.л 4“ Ув,- |
. |
|
|
(^4 |
|||
Подставив |
значения уэ.п и |
уЛ |
из уравнений (1) и |
(3) в' |
||||||||
уравнение |
(4), получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
у |
= |
± — - У а 2 — |
X'2 + |
у/?2 — |
X 2 — |
т. |
(5 ) |
||||
Из уравнения |
(4) следует: |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
* |
Уэл = |
Уаз — Уд. |
|
|
|
(3) |
|||
Подставив |
значение |
уд |
из |
уравнения |
(3) |
в |
уравнение |
(6), |
||||
получим: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Уэл = |
Уаз — У # 2 — |
х2 + |
т. |
|
|
(7) |
|||
Найденное |
из уравнения |
(7) |
уэл , подставив |
в каноническое |
||||||||
уравнение эллипса, получим искомое уравнение азера: |
|
|||||||||||
|
|
4 |
+ M = 1 * r j E ± Jt!L. |
1. |
- |
да |
||||||
|
|
а 2 |
|
|
|
о2 |
|
|
|
|
|
|
Исходя из результатов исследования кривой азера с по мощью первой II второй производных, можем сделать вывод, что полученная, как указано выше, кривая может считаться
г, ß2 азером только при условии R > — •
Азероид с одной разделяющей или азероид вращения -- фигура, полученная от вращения азера вокруг оси симметріи! ГН. При этом сегментная поверхность, описанная разделяю щей, делит поверхность азероида на две неравные части. Пе ресечение сегментной поверхности с азероидом будет назы ваться большим круговым сечением, сегментная поверх ность — разделяющей поверхностью азероида вращения.
Поскольку фактически азероид с одной разделяющей яв ляется производной фигурой от эллипсоида вращения, исходя из формулы последнего формулу азероида с одной разделя ющей можно написать в следующем виде:
Азероид с двумя разделяющими — фигура, которая имеет одну ось симметрии ГН и две разделяющие — короткую и длинную. Разделяющие проводятся из одного центра одним и тем же радиусом во взаимно перпендикулярных направле ниях. Азероид с двумя разделяющими имеет две плоскости симметрии. На одной расположены ось симметрии и корот кая разделяющая, а на другой — ось симметрии и длинная разделяющая. Он имеет одну сферическую разделяющую по верхность с эллиптическим очертанием, на которой располо жены разделяющие,- Очертание азероида с двумя разделяю щими на сечениях вдоль оси симметрии по любому направле нию азерпческбе, а на сечениях, перпендикулярных к плос костям симметрии, — эллиптическое. В сущности, азероид с двумя разделяющими является фигурой; производной от трех осного эллипсоида. Поэтому, исходя из формулы трехосного эллипсоида, формулу азероида с двумя разделяющими мож но представить в следующем виде: .
(у — у /?2 — |
X2 + т ) 2 |
(z — |
' |
У Я 2 — |
X2 + т ) 2 |
: |
р |
+ |
^ |
1-(Ю) |
§12. Тектонические трещины, возникающие
вместах изгиба пластов
На выпуклых и вогнутых изгибах слоев, например, на сво де антиклинальных и в местах изгиба синклинальных скла док, трещинные плоскости располагаются перпендикулярно к изогнутой поверхности наслоения слоя. При этом на изогну той поверхности наслоения они составляют две взаимно пе ресекающиеся системы трещин, а по мощности слоя — одну систему, и последние располагаются перпендикулярно к изог нутой поверхности наслоения слоя, как на рис. 81.
Рис. 81. Схема антикли нальной складки
Таким образом, независимо от положения слоя последним указанными трещинами разбивается на тектонические от дельности. Однако в данном случае тектонические отдельно сти имеют форму усеченной ' пирамиды; основание ее — БЖВЕ выпуйлое и соответствует кровле слоя (в антиклина лях), а сечение АЗГД — вогнутое и соответствует подошве слоя (рис. .82).
Из расположения трещинных плоскостей в местах изгиба пластов (см. рис. 81)tвидно, что в данном случае тектониче ские отдельности имеют форму усеченной пирамиды, как на
83
рис. 82. Поэтому не приходится сомневаться в том, что если изгиб пластов происходит по очертанию окружности, то по верхность зон равных сопротивлений и упругого ядра в этих тектонических отдельностях будет ограничиваться поверх ностью азероидов с двумя разделяющими, а ось симметрии последних будет совпадать с осью усеченной пирамиды. Раз деляющая поверхность азеронда будет параллельна изогну той поверхности напластования слоя. На срезе данной текто нической отдельности по плоскости АБВГ (см. рис. 82) кон тур зон равных сопротивлений и упругого ядра будет ограни
Жчиваться очертанием менее вытя нутых азеров, как на рис. 83, а на срезе ДЕЖЗ — более вытянутых азеров, как на рис. 84. Контур зон равных .сопротивлений и упругого ядра на плоскостях, перпендикуляр ных к оси усеченной пирамиды, бу дет эллиптическим. В процессе сжа тия частицы будут смещаться так же, как на рис. 46. В данном случае’ пласты изогнутые, и частицы будут смещаться по траектории части дуги полуэллипсов деформации, располо женных параллельно изогнутым по верхностям слоя. Однако полуоси этих эллипсов деформации от осно вания к вершине усеченных пирамид
(тектонических отдельностей) будут „ уменьшаться соответственно разме рам последних. Причиной подобного уменьшения параметров указанных
эллипсов деформации является то, что в процессе складкооб разования на слой горной породы действовали:
а) сжимающие силы по направлению биссектрисы тупого угла тектонических отдельностей, расположенных параллель но изогнутой поверхности наслоения.слоя;
б) силы, действующие по направлению, воздымания яд ра складки.
Поскольку трещинные плоскости расположены перпенди кулярно к изогнутой поверхности наслоения слоя, то, несом ненно, они образовались в результате действия первых сил. Очевидно, при этом' в результате действия вторых сил слои
изгибались. По этой причине в местах изгиба импульс пер вых сил от подошвы однородного слоя к его кровле умень шался, вследствие чего параметры указанных эллипсов де формации соответственно увеличивались. В результате этого.
84
тектонические отдельности приобрели форму усеченной пира миды. Поскольку трещинные плоскости тектонических от дельностей в местах изгиба слоев располагаются пёрпенди-'
Рис. |
83. Сечение фигу |
фигуры, |
приведенной |
||
ры, |
приведенной |
на рис. |
|||
82, |
по |
меньшей |
диаго |
на рис. 82, |
по большей |
|
нальной плоскости |
диагональной плос |
|||
|
|
|
|
кости |
|
кулярно к изогнутой, поверхности наслоения однородногЬ слоя, несомненно, что они образовались в момент завершения изгиба слоев.
§13. Процессы возникновения тектонических трещин
вплоской анизотропной среде при штампе
споверхностью части цилиндра
Выше мы рассматривали процессы возникновения трещин в горизонтальном слое горной породы, в котором сжимающие штампы были плоскими, т. е. контакт между взаимодейст вующими частями слоя ограничивался плоскостью. В природ-
Рис. 85. Зубчатый туфогенный песчаник (сел. Калайбугурт, Азербайджан), натуральная вели чина
85
пых условиях встречаются весьма редкие случаи, когда кон такт между взаимодействующими частями слоя ограничива ется цилиндрической поверхностью. Очевидно, морфология тектонических трещин, возникающих при подобном контакте взаимодействующих частей слоя, будет иной. Так, в районе гор. Шемахи у сел. Калапбугурт в туфогепно-осадочиых песчаниках был найден образец песчаника, край которого был зубчатого строения. Основание зубцов ограничивается примерно дугой окружности (рис. 85). В данном случае для ■объяснения процессов возникновения трещин, составляющих зубцы в указанном образце, следует рассматривать распре деление напряжений и расположение характеристик вокруг отверстия, ограниченного окружностью, по контуру которой действует равномерно распределенное давление. Решение этой задачи приводится в работе В. В. Соколовского ([44], стр. 151), где компоненты напряжения
Or = — р + |
2/г ln — , |
(И) |
|
а |
|
°ѳ = - Р + 2ь( |
1 + 1 п ^ -) |
(12) |
*г ѳ= 0’
ахарактеристиками являются два ортогональных семейства логарифмических спиралей:
' |
0 |
- |
± 1 п — |
= const, |
(13) |
|
а |
|
|
||
где Р — давление; |
|
|
|
|
|
г, Ѳ — полярные координаты; • |
|
||||
k '— интенсивность касательной напряжения; |
|
||||
а — радиус отверстия; |
|
|
|||
t |
— касательное напряжение. |
случае |
|||
Из |
приведенной формулы |
следует, что в данном |
|||
максимально напряженное состояние тела вблизи отверстия возникает по двум взаимно пересекающимся системам орто гонально-логарифмической спирали, как на рис. 86.
. Из рис. 87 видно, что в действительности при сжатии круг лого' стального листа круглой центральной нагрузкой линии скольжения в стальном листе составляют две взаимно пере секающиеся системы ортогонально-логарифмической спирали. Поскольку в данном случае контакт между взаимодействую щими частями слоя ограничивается поверхностью цилиндра ѵ и слой является анизотропным, в соответствии с изложенным в § 4 по ту и другую стороны контакта будут возникать упру гие ядра и зоны равных сопротивлений с поверхностью полу-
азероида с двумя разделяющими, а па противоположном час ти этих ядер и зон в шахматном порядке.будут образовывать ся упругие ядра и зоны равных сопротивлений с поверх ностью азероида с двумя разделяющими, ограниченные дву-
Рис. 86. Распределение напряжений и расположение характёристик в окрестпости отверстия, ограниченного окружностью (из книги В. В. Соко ловского [44], стр. 152)
'мя взаимно пересекающимися системами кривых трещинных плоскостей. В пределе упругости поверхность этих зон рав ных сопротивлений и упругих ядер практически будет огра ничиваться поверхностью сферы, а за пределом упругости — поверхностью четко выраженных азероидов с двумя разде-
Рис. 87. Распределение линий скольжения в круглом стальном листе при сжатии его круглой центральной нагрузкой (из книги А. Надан [32],
стр. 56)
87
-ляющими. Поперечные сечения этих упругих ядер, зон рав-
. ных сопротивлении и двух взаимно пересекающихся систем кривых трещинных плоскостей на плоскостях, параллельных плоскости наслоения слоя, в пределе упругости будут, как на рис. 8S, а за пределом упругости, как па рис. 89, т. е. попе-
Рис. 88. Схема части слоя, в которой показаны поперечные, сечения плоскостей максимального напряжения в виде двух систем ортогональных логарифмических спиралей и поперечные сечения упругих ядер в виде окружностей (поперечные сечения зон равных сопротивлений приведены на одной половине слоя в виде окружнос тей. и частей окружностей) ■
речные сечения упругих ядер и зон равных сопротивлений за пределом упругости будут азерическими, а поперечные сече ния двух взаимно пересекающихся систем кривых трещинных плоскостей будут представлены двумя системами ортогональ ных логарифмических спиралей, как на рис. 89. Поперечные сечения зон равных сопротивлений ввиду большого объема графических работ не приведены, но они должны слагаться так же, как на рис. 88. Однако очертание их будет не по ок ружности, как это приведено на рис. 88, а азерическое.
Тектонические отдельности будут в виде призм, у которых две боковые грани будут выпуклыми, а две другие — вогну тыми.
На рис. 89 кривые ВМ и МД соответствуют поперечным ■сечениям выпуклых граней, а кривые BE и ЕД — вогнутых Граней тектонической отдельности. Поперечным сечениям этих отдельностей на рис. 89 соответствуют четырехсторонни ки, в середине которых расположены азеры. В процессе сжа- 'тия частицы в данном случае будут смещаться от плоскости сжатия азероидов с двумя разделяющими (поперечным се чениям этих плоскостей на рис. 89 соответствуют прямые AB, КД, ЛЕ, ЕГ и т. д.), т. е. от плоскости, на которой располо жены" ось симметрии и короткая разделяющая азероидов, к разделяющим поверхностям последних (поперечным сечениям
этих поверхностей на рис. 89 соответствуют дуги АЛК, БЕИ,
ВГД и т. д.) по траектории 1І2 части дуги полуазеров и части полуазеров. Сплошность пород будет нарушаться в местах
'.88
встречи частиц с противоположным направлением движе ния.
Траектория и направление смещения частиц на попереч
ных |
сечениях указанных тектонических отдельностей на |
рис. |
89 представлены тонкими кривыми стрелками, а местам |
встречи частиц с противоположным направлением движения,
Рис. 89. Схема части слоя, в котором показаны поперечные се чения трещинных плоскостей в виде двух систем ортогональных логарифмических спиралей и по перечные сечения упругих ядер в
виде азероз
т. е. местам, где происходит нарушение сплошности пород, соответствуют две взаимно пересекающиеся системы ортого нальных логарифмических спиралей.
Контакт между взаимодействующими частями слоя, в ко тором возникли тектонические полуотдельности, приведенный на рис. 85, ограничивался поверхностью цилиндра. Основания зубцов в данном образце ограничиваются примерно частью ок ружности и края некоторых зубцов слегка выпуклые, т. е. поперечные сечения тектонических полуотдельностей ограни чиваются слабо изогнутыми кривыми, т. е. ортогональной ло гарифмической спиралью.
♣ 14. Разрушение горных пород действием взрыва .
При взрыве бомб, снарядов и производстве взрывных ра-
'бот воронки, полученные от взрывов, имеют круговое очер: тание. Это означает, что в горных породах, являющихся ани зотропными телами, механические изменения по всем направ лениям происходят одинаково, т. е. горные породы в данном случае, деформируются как изотропные тела. Если воронки, полученные от взрывов, имели бы эллиптические очертания, то мы могли бы считать, что при приложении силы к анизот ропным телам механические изменения в них во всех случаях по разным направлениям происходят по-разному.' Поэтому