книги из ГПНТБ / Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций

6.3. В невыпуклой

задаче;

1. Множество

сравнения

L выбирается

таким, чтобы на нем

максимизируемую

функцию и функции, определяющие

множество Л,

можно

было линеаризовать.

2.

Множество

вариаций,

приводящих к

росту J-0

, и множе­

яяют собой выпуклые конусы, имеющие обцую зернину

У

и не

имеющие общих внутренних точек. Значит должна существовать

разделяющая

их

гиперплоскость (см. 2.2). Условие

ее существо­

вания и формируется как условие существования i -

множителей

со свойствами

(6 . 7) .

Обычно

Ь

есть линь подмножество-JD. Это означает,

что

ние, а

набор инозителей

Л

не

единственен.

Исключение составляет

случай,

когда множество

Л и макси­

мизируемая функция J-o

строго

выпуклы. Л ля этого нужно,

чтобв

функции

j / t '

были

линейны, а

ограничения (6.2)

выделяли

выпую

жое множество

( F j

- выпуклы).

функций линейно

зависимы

, и уаловие

(6.8а) не выполнено ни

при

каких

конечных

значениях j\ .

Случай,

когда

в

У * градиент

равен нулю, совершенно

аналогичен соответствующему случаю в 5.5. Всюду

ниже мы будем,

часто не оговаривая этого, предполагать,

что условия

регуляр­

ности

(общности

положения)

выполнены.

6.5. Седловая точка функции Лагранжа

Будем рассматривать малую выпуклую окростносвь Е

точки X

такую,

для которой

функцию

/ „

и пересечение

L

множеств £ и

Л

можно было бы считать выпуклыми. Таким

образом,

задача об у с лоз­

ном максимуме

j.0

на Е имеет

единственное

решение. Покажем,что

функция

R =

(У ) -+ J. /

• (Ю

ft

(Ю

(6.9)

имеет

в

X * седловую

точку.

Обозначим

черев

6** функции

Й » ( Л ) = , т у

й ( х , Л

( 6 . 1 0 )

'

Решение задачи (6.103 зависит от значений

Ji-множителей

и не

всегда

является

допустимым

по условиям

(6,1) н (6.2),

то еоть

X*

( j f )

не всегда

принадлежит

L ~ В Л13

_Соглаоно теореме Куна-Таккера

найдется

такое

значение

J

= j(

Для которого

X *

( Jf )

£

L

. При двбоы j /

хьу

(б . п )

так

как

L

£

Е

. При j l

=

ji

это неравенство превращается

в равенство,

причем

всюду

i

L ,

$

( Л ) не завиоит

от с//

и равен

^Д-Х ^„ (X j так как два последних

слагаемых в

(6.9)

обращаются в__нуль._Таким образом}

К

( «/»

) достигает

мини­

мума при

$*(IV

=•

m

^

5 ? * *

Q№

7)

(6-I2)

SI

j

Здесь множество вначений

J , на котором имеется ыинямун,

определено условиями (6.7).

Говорят,

что функция (?

имеет седловую точку (рис.6.4), если

для любых Х€Е

и j/

справедливы неравенства

G(k}3f*)±QC**J*)*

R(**,J).

(б.п,

л о в

/

Rt*J)^tp*xR(z,J)-™**Mv

X£V*

_

_

***

(6.14)

При

j l =»

<//

это неравенство обращается в равеяотво,

с точке макоиыума еоть

искомое решение. Причем решение, обес­

печивающее нелокальный, а абсолютный максимум

J-0 за J .

Таким образом,

Иначе говоря, волн найдется такой вектор

jj' «*

,

450 каксимуи

функции &

п о

I

на V

достигается

в точ-

к®

€ 7} ) 1

0 8 - 2 8

*Ьчка

является

сэдловой,

и функцня

&*С?) ' тЯ*

Л) иишшальиа 3

ней по J .

Для малого

нноаества

сравнения

и

и

_малой окрестности

Е

Ередполагаеного

решения такое

значение

^

должно найтись

s регулярном

случае.

§ 7. Алгоритмы численного решения

задачи об условном

маноим.7И8

УНКЦИИ

Чи о ленные алгоритмы

нахождения условного максимума можно рвя-

Ф

бить на две группы: поисковые методы,

использующие для

поотрое-

ляя улучшающей последовательности информация о поведении

функции

нян.

Методы

поиска условного

максимума

Рассмотрим

первоначально

задачу

поиска

максимуыа

функции

J-0QL) при

наличии

условие

типа

равенотв

J-i(X)*0

(7.1)

1=

i , 2 . . .

m.

я ограничениях,

наложенных

линь

на

отдельные составляющие J( .

Все методы решения этой задачи сводятся к движении э направ­

ленна

условного

градиента

{

1

).

7 . 1 . Метод проектирования градиента

{

49 3

Пусть

начальная

точка поиска

J(0

удовлетворяет

уоювияа

(7 . 1) . Б общем случае, чтобы ее вайтн, нужио ревить вопомота-

тедьную

задачу

минимизации

функция

ят прн

фиксированных значениях

(Г\ - Тг\ ) составляющих X оп­

ределить

остальные

ТА составляющих

иа

системы

(7 . 1) .

5

точке

XQ

находится направление

условного

градиента

j ^ (

X ) ,

т . е .

направление

наиоолеэ быстрого роста

целевой

функции в линейном подпространстве, касательном к поверхноств,

определяемой связями (7.1).

При достаточно малом жаге я найденном1

направлении

в точке

не слипком сильно нарушены уравнения

свявей. Поэтому

и з н е ё о помощью,

например,

процедуры минимизаций

«уму

/ о ( Х ) .

Остановимся неоколько подробнее на определении направле­

ния уоловного градиента. Линейное подпространство,

касатель­

ное к поверхности (7.1), обладает тем овойотзом, что любой

вектор

£

,

лежащий

в нем,

нормален

к любому из

градиентов

функций

J.^

в

точке

Х0

I

-

i,

2, . . .

v n

Будем

считать градиенты

^ .

линейно

независимыми, так

что

число уравнений

( 7 . 3 )

равно

Тп .

Так как нао интересует только направление наискорейшего

роста

j.0

,

нормируем вектор

£

•

потребовав,

чтобы

ft

"

'

1

Л )

Величина

пронвводной функции

Jc

по

направлению

t?

оп­

ределяется как скалярное произведение градиента

/ 0

на

век­

тор

i

_

Таким

образом,

необходимо

найти

такой

У\ -мерный вектор &%

который

доставляет

максимум

( 7 . 5 ) при

(W- )-OM условиях

( 7 . 3 )

и

( 7 . 4 ) .

Зто

задача

условного

экстремума,

облегченная

Z

тем

обстоятельством,

что выражения

( 7 . 5 ) и

1 7 . 3 )

линейны, а

( 7 . 4 )

квадратично

зависят

от

.

Таким

образом,

решение

Разобьем

П. составляющих вектора

У

на

гл.

)

свободных

У с

и

УЛ - зависимых

У 9 .

'Гак что

при

задан­

ных переменных первой группы,вторые могут быть определены

ив уравнений

(7 . 1) .

Запишем

функцию

Лагранжа

R - 1Л*) +24-A-W,

'

(7.6)

I -

'

содержащую

ТУ]

добавочных переменных

^//- .

Пусть

в

начальной

точке

У0

, как

и раньие,

удовлет­

ворялись

условия (7 . 1), а

значит

Q

(Ук

)

=

/ 0

(Х0).

Вдоль

поверхности

(7.1)

второе

слагаемое

в (7.6)

равно

кулю, а значит

градиент

V

R

вдоль

этой

поверхности равен

уоловноыу

градиенту

. Выберем

теперь

jf«

так,

чтобы

функция

R.

в

точке

^

не

зависела

от составляющих J<^

о Изо

-7,

Ъ**о

^ = 1. 2 , . . . l r w

вычисляем

составляющие

градиента

по

направлениям

^

5 5

I ,

2 . . . .

( Г \ . - Щ ) ) иQ

изменяем

каждую И8

них.

* г ^ У « / Х . »

( 7 ' 8 )

зованы в окрестности д(„

, и переменные d(s найдены из сис­

темы линейных уравнений

(19).

зависимые

составляющие

затрудняет решение.

В этом случае удобен алгоритм, изложенный ниже, где все

составляющие вектора -X

равноправны.

7;3.

Поиск седаовой

точки функции Лагранжа

[ 22 ]

Представление о решении задачи условного максимума как о

седаовой

точке функции

Лагранжа полезно не только потому, что

приводна

к возможности

вычислять оценку искомого

решения.